Inclinación magnética

La imagen muestra un campo magnético terrestre evidentemente caótico. La simulación de supercomputadora me ha parecido fascinante y me gustaría compartir tres hechos relevantes que me he encontrado junto con la imagen. Primero, que han ocurrido ya varias inversiones de polaridad del campo magnético terrestre hasta ahora, luego, que una inversión tarda unos cuantos miles de años en llevarse a cabo, y finalmente, que el campo magnético no se anula durante una inversión de polaridad.

Puedes consultar información detallada en estos enlaces:
Gary A Glatzmaier: The Geodynamo
NASA science news: Earth's inconstant magnetic field

He llegado hasta acá en realidad sólo por un problema de electromagnetismo que me ha resultado muy interesante, un tanto complicado y un poco más divertido de resolver. El ángulo de inclinación magnética es el ángulo entre la dirección de la inducción magnética y el plano tangente a la superficie terrestre. El problema pide una expresión para la inclinación magnética en términos de la latitud geomagnética suponiendo que la inducción magnética es un bonito campo dipolar. Aunque parece una aproximación grotesca viendo lo anterior, en realidad tiene bastante sentido, ya que cerca de la superficie terrestre el campo magnético se manifiesta básicamente como uno de un dipolo magnético inclinado respecto al eje de rotación terrestre en unos pocos grados; el embrolladero mostrado en la imagen de la simulación en realidad muestra el campo justo en el núcleo terrestre.

El comportamiento del ángulo de inclinación magnética, que aquí llamaré $\mho$, debe ser tal que éste sea nulo en el ecuador y de ${\pm\pi/2}$ en los polos terrestres. Lo más inmediato es notar que con un sistema de referencia sobre cualquier plano tangente, se puede descomponer el campo magnético simplemente como
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau&=B\cos\mho\\\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau&=B\sin\mho\end{align} (marco las direcciones con un subíndice $\tau$ para hacer énfasis en que se trata de un sistema de referencia montado en cualquier plano tangente, no se trata del sistema cartesiano del sistema en general) donde el plano generado por ambas direcciones será paralelo a cualquier otro que cruce el 'eje' del dipolo (eje geomagnético), dada la simetría en la dirección azimutal (longitud geomagnética), que se hará evidente a continuación. La inducción magnética para un dipolo magnético está dada por
\begin{equation}\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5}\right]\end{equation} de aquí entonces podemos descomponer este vector en términos del ángulo polar o de colatitud. Dispongamos el dipolo (la Tierra, considerada esférica) en nuestro sistema de referencia tal que ${\mathbf{m}=m\hat{\mathbf{k}}=m\left(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\right)}$, entonces en coordenadas esféricas, con $\varphi$ el ángulo polar (colatitud) y $\theta$ el ángulo azimutal (longitud). Se tiene en la dirección radial ${\hat{\mathbf{r}}}$,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{m\cos\varphi}{r^3}+\frac{3mr^2\cos\varphi}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0m\cos\varphi}{2\pi{r^3}}\end{align} mientras que para la dirección azimutal,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=0\end{align} ya que ${\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}=\left(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\right)\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}=0=\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}$, y finalmente para la dirección polar,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0m\sin\varphi}{4\pi{r}^3}\end{align} Ahora bien, un bosquejo puede dar idea de qué está sucediendo.


En rojo se muestra la 'dirección' de un plano tangente en un punto cualquiera, que como se dijo, será paralelo a cualquier otro que cruce el eje de la esfera (que se está pensando como el dipolo). El bosquejo es sólo una representación cualitativa, véase que el campo puede o no coincidir con el mostrado, sin embargo lo que aquí es de interés, es que las componentes siempre coincidirán, i.e. mediante el bosquejo es evidente que
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}&=\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau\\\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}&=\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau\end{align} de aquí entonces, se pueden relacionar los ángulos polar y de inclinación como
\begin{equation}\frac{\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}=2\cot\varphi=\frac{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau}{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau}=\tan\mho\end{equation} Ahora bien, la latitud, digamos $\delta$, está relacionada con la colatitud $\varphi$ mediante
\begin{equation}\delta=\frac{\pi}{2}-\varphi\end{equation} por lo que la expresión para el ángulo de inclinación en función de la latitud geomagnética está dada por
\begin{equation}\mho=\arctan\left[2\tan\delta\right]\end{equation} que efectivamente se anula en el ecuador y toma el valor ${\pm\pi/2}$ en los polos.


Este problema me gustó mucho y se me dificultó otro tanto, sin embargo me ha resultado gratificante en general todo el electromagnetismo por la misma razón. Mucho se ha comentado desde que inicié la licenciatura, que los buenos problemas brindan más preguntas que respuestas, y en este caso me ha resultado bien fecundo este problema, como muestro al inicio de la entrada.