Electrodinámica en notación tensorial

Por supuesto la electrodinámica es en sí misma consistente con la relatividad especial; precisamente así comenzó todo con esta última. En este caso lo que un observador interpreta como un proceso eléctrico, otro observador puede interpretarlo como un proceso magnético, pero la cinemática de las partículas involucradas será la misma. Al extender la descripción del electromagnetismo a donde pertenece naturalmente, i.e. al espaciotiempo 4-dimensional, en este caso plano o de Minkowski, surge "la forma más sencilla y elegante" de las ecuaciones de Maxwell, que pueden condensarse incluso en una sola expresión. Esto es bastante divertido, ya que la forma más popular de las ecuaciones de Maxwell, y en la que son rigurosamente conocidas por cualquier físico o hasta ingeniero, son las 2 ecuaciones vectoriales y 2 ecuaciones escalares que seguido sirven como adorno e.g. en playeras, i.e. 8 ecuaciones escalares, aunque de hecho originalmente las ecuaciones de Maxwell se escribían explícitamente como 20 ecuaciones escalares al incluir e.g. la ecuación de continuidad o el potencial magnético.

Se sabe pues que campos eléctricos pueden transformar en campos magnéticos y viceversa; i.e. los campos $\B{E}$ y $\B{B}$ no son invariantes de Lorentz. Se debe juntar los campos eléctrico y magnético en un solo objeto en el espacio de Minkowski para poder escribir las ecuaciones de la electrodinámica en forma covariante (en el sentido de invariancia explícita ante transformaciones de Lorentz, no al de covarianza vs contravarianza). Adviértase que en adelante emplearé la signatura ${(-+++)}$ para la métrica de Minkowski ${\eta_{\mu\nu}}$.

La forma más sencilla de hacerlo es definir (el tratamiento formal por supuesto es una historia un poquitín más larga) el tensor antisimétrico
\begin{equation}F^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\
-E_x&0&B_z&-B_y\\
-E_y&-B_z&0&B_x\\
-E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}\end{equation} llamado tensor de campo electromagnético (también llamado tensor de Faraday, bivector de Maxwell o ya en contexto, simplemente tensor de campo; tómese en cuenta también que su definición depende de la signatura de la métrica), de donde tenemos que
\begin{align}\B{E}=\begin{pmatrix}F^{01}\\{F}^{02}\\{F}^{03}\end{pmatrix},\hspace{0.5in}\B{B}=\begin{pmatrix}F^{23}\\{F}^{31}\\{F}^{12}\end{pmatrix}
\end{align} La otra forma de lograrlo es definiendo el tensor dual,
\begin{equation}G^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&B_x&B_y&B_z\\
-B_x&0&-E_z&E_y\\
-B_y&E_z&0&-E_x\\
-B_z&-E_y&E_x&0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\end{equation} donde ${F_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\rho}F^{\rho\sigma}\eta_{\sigma\beta}}$ y $\epsilon$ es el símbolo de Levi-Civita. Ambos tensores, al ser invariantes de Lorentz, deben satisfacer
\begin{equation}F^{\mu\nu}={\Lambda^\mu}_\alpha{\Lambda^\nu}_\beta{F}^{\alpha\beta}\label{electroin}\end{equation} donde las ${{\Lambda^\mu}_\nu}$ son matrices de Lorentz y de manera análoga para ${G^{\mu\nu}}$. De aquí entonces uno puede verificar fácilmente las leyes de transformación del campo electromagnético,
\begin{align}\bar{\B{E}}_\parallel&=\B{E}_\parallel\\
\bar{\B{B}}_\parallel&=\B{B}_\parallel\\
\bar{\B{E}}_\perp&=\gamma(\B{E}_\perp+\B{v}\times\B{B})\\
\bar{\B{B}}_\perp&=\gamma\left(\B{B}_\perp-\B{v}\times\B{E}\right)\end{align} para $\bar{S}$ moviéndose a una velocidad de dirección arbitraria $\B{v}$ respecto a $S$ y donde los subíndices $\parallel$ y $\perp$ denotan los campos paralelos y perpendiculares a $\B{v}$.

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell, que en notación del siglo XIX se escriben como
\begin{align}\nabla\cdot\B{E}&=4\pi\rho\\
\nabla\cdot\B{B}&=0\\
\nabla\times\B{E}&=-\p_t\B{B}\\
\nabla\times\B{B}&=4\pi\B{J}+\p_t\B{E}
\end{align} Estas ecuaciones por supuesto son invariantes ante transformaciones de Lorentz, esa ha sido la motivación de la relatividad especial desde un principio, sin embargo no lo son de manera evidente, lo que puede arreglarse fácilmente con notación tensorial,
\begin{align}\p_i{E}^i&=4\pi{J}^0\\
\p_iB^i&=0\\
\epsilon^{ijk}\p_jE_k&=-\p_0B^i\\
\epsilon^{ijk}\p_jB_k&=4\pi{J}^i+\p_0E^i
\end{align} Aquí en realidad es irrelevante si los índices están arriba o abajo, ya que la métrica en el espacio 3-dimensional plano es simplemente la delta de Kronecker ${\delta_{ij}=\delta^{ij}}$. También se ha usado implícitamente la definición del 4-vector de corriente,
\begin{equation}J^\mu\equiv(\rho,\B{J})\end{equation} Nótese entonces que
\begin{equation}F^{0i}=E_i,\hspace{0.5in}
F^{jk}=\epsilon^{jk\ell}B_\ell\end{equation} de modo que se tiene para la ley de Ampère-Maxwell y la ley de Gauss,
\begin{align}\p_jF^{ij}&=4\pi{J}^i+\p_0F^{0i}\\
\p_iF^{0i}&=4\pi{J}^0\end{align} que, empleando la antisimetría de ${F^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{F}^{\mu\nu}=4\pi{J}^\mu\end{equation} De manera análoga, nótese que
\begin{equation}G^{0i}=B_i,\hspace{0.5in}G^{jk}=-\epsilon^{jk\ell}E_\ell\end{equation} entonces para la ley de Faraday y la ley de Gauss magnética,
\begin{align}\p_jG^{ij}&=\p_0G^{0i}\\
\p_iG^{0i}&=0\end{align} que también, empleando la antisimetría de ${G^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{G}^{\mu\nu}=0\end{equation} y de este modo las cuatro ecuaciones de Maxwell pueden ser reemplazadas por las dos ecuaciones tensoriales
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=4\pi{J}^\mu\\
\p_\nu{G}^{\mu\nu}&=0\end{align} Además de la economía que representan, ambas ecuaciones evidentemente transforman como tensores, i. e. evidentemente son invariantes ante transformaciones de Lorentz; a esto es a lo que comúnmente se refiere como la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell.

Ahora bien, podemos demostrar también, que la versión covariante de la fuerza de Lorentz, seguido llamada fuerza de Minkowski, está dada por
\begin{equation}K^\mu\equiv\frac{dP^\mu}{d\tau}=qF^{\mu\nu}U_\nu\label{e1}\end{equation} Para ello deben emplearse las siguientes condiciones.

Primero, evidentemente
\begin{equation}F^{\mu\nu}U_\nu{U}_\mu=-F^{\nu\mu}U_\mu{U}_\nu=0\label{co1}\end{equation} por antisimetría del tensor de campo, y porque pudimos haber elegido definir ${K^\nu\equiv{qF^{\nu\mu}U_\mu}}$ en lugar de (\ref{e1}), de modo que el escalar producto interno, siendo el mismo en ambos casos, sólo puede ser nulo a modo de satisfacer la ecuación izquierda de esta última ecuación. Esto debe satisfacerse en general cuando se tiene masa inercial constante dado que ${U^\mu{U}_\mu=-1}$ (en nuestra signatura para la métrica).

Luego, empleando la 4-velocidad ${\B{U}\equiv\gamma(1,\B{v})}$, podemos ver que para ${\mu=1}$,
\begin{align}K^1&=qF^{1\nu}U_\nu\nonumber\\
&=qF^{1\nu}\eta_{\nu\alpha}U^\alpha\nonumber\\
&=q\left[-F^{10}U^0+F^{11}U^1+F^{12}U^2+F^{13}U_3\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+v_yB_z-v_zB_y\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+\epsilon^{1jk}v_jB_k\right]\end{align} y de manera análoga para ${\mu=2,3}$ se encuentra
\begin{align}K^2&=q\gamma\left[E_y-\epsilon^{2jk}v_jB_k\right]\\
K^3&=q\gamma\left[E_z+\epsilon^{3jk}v_jB_k\right]\end{align} entonces la parte espacial de ${K^\mu}$ es
\begin{equation}\B{K}=q\gamma\left[\B{E}+\B{v}\times\B{B}\right]\end{equation} que por supuesto se reduce a la fuerza de Lorentz cuando ${\gamma\to{1}}$, i. e. cuando ${v\ll1=c}$.

Finalmente la condición más importante es la de la invariancia ante transformaciones de Lorentz. Sabemos que un vector covariante transforma como ${x^\bar{\mu}={\Lambda^\bar{\mu}}_\nu{x}^\nu}$, entonces un vector covariante debe transformar como,
\begin{align}x_{\bar\mu}&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}x^\alpha\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta{x}^\beta\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}x_\sigma\equiv{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}x_\sigma\end{align} donde he definido ${{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}\equiv\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}}$. Ahora bien, la métrica por supuesto transforma como ${\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\bar{\nu}}_\mu{\Lambda^\bar{\mu}}_\nu\eta_{\bar{\mu}\bar{\nu}}}$, por tanto se satisface
\begin{align}{{\tilde{\Lambda}}^\mu}_{\nu}{\Lambda^\nu}_\sigma&=\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\mu}{\Lambda^\nu}_\sigma\nonumber\\
&=\left(\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\nu}_\sigma{\Lambda^\alpha}_\beta\right)\eta^{\beta\mu}\nonumber\\
&=\eta_{\sigma\beta}\eta^{\beta\mu}=\delta^\mu_\sigma\end{align} entonces se tendrá para la fuerza de Minkowski en algún otro sistema con barra, \begin{align}qF^{\bar{\mu}\bar{\nu}}U_{\bar{\nu}}&=
q\left({\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho{\Lambda^{\bar{\nu}}}_\sigma{F}^{\rho\sigma}\right)\left({{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}U_\alpha\right)\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho\left({\Lambda^{\bar\nu}}_\sigma{{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}\right)F^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\delta_\sigma^\alpha{F}^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho{F}^{\rho\sigma}U_\sigma\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(qF^{\rho\sigma}U_\sigma\right)\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(\frac{dP^\rho}{d\tau}\right)\nonumber\\
&=\frac{dP^{\bar\mu}}{d\tau}=K^{\bar\mu}\end{align} que es precisamente la misma forma que en el sistema sin barra, de modo que en efecto la fuerza de Minkowski equivale a la forma covariante de la fuerza de Lorentz.

Por último, puede verse que definiendo naturalmente al 4-vector potencial como
\begin{equation}A^\mu=(\phi,\B{A})\end{equation} donde $\phi$ y $\B{A}$ son los potenciales electromagnéticos escalar y (3)vectorial, respectivamente,
\begin{equation}\B{E}=-\nabla\phi-\p_0\B{A},\hspace{0.5in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} entonces se tiene que
\begin{equation}F^{\mu\nu}=\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\end{equation} donde empleo la notación ${\p^\alpha\equiv\displaystyle{\frac{\p}{\p{x}_\alpha}}}$. Uno puede evaluar algunas componentes para comprobarlo, e. g.
\begin{align}F^{01}&=\p^0{A}^1-\p^1{A}^0\nonumber\\
&=-\p_0{A}_x-\p_x\phi\nonumber\\
&=-[\nabla\phi+\p_0\B{A}]_x=E_x\end{align} Reescribiendo entonces las dos ecuaciones de Maxwell-covariantes, se tiene que
\begin{align}\p_\mu{G}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\p_\nu\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\left(\p_\alpha{A}_\beta-\p_\beta{A}_\alpha\right)=0\end{align} que se anula idénticamente por igualdad de parciales cruzadas, ${\p_\nu\p_\gamma=\p_\gamma\p_\nu}$ y la antisimetría del símbolo de Levi-Civita en cada par de índices, i. e. no hay nueva información, mientras que
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=\p_\nu\left(\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\right)\nonumber\\
&=\p_\nu(\p^\mu{A}^\nu)-\square^2A^\mu=4\pi{J}^\mu\end{align} es la ecuación de Maxwell inhomogénea, donde
\begin{equation}\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\displaystyle{\frac{\p^2}{\p{t}^2}}\label{dalembert}\end{equation} es el operador d'Alembertiano. Si además se utiliza la norma de Lorentz, ${\nabla\cdot\B{A}+\p_0\phi=0}$, es decir, ${\p_\mu{A}^\mu=0}$, y nuevamente por igualdad de parciales cruzadas, simplemente
\begin{equation}\square^2A^\mu=-4\pi{J}^\mu\end{equation} que es la formulación más simple y elegante de las ec. de Maxwell.

Lagrangiano clásico desde la fuerza de Lorentz

Acá muestro la obtención de la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo a partir de la lagrangiana clásica. El siguiente es el proceso inverso, que se puede extender fácilmente en presencia de campo eléctrico vía la relación ${\vec{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial{t}}}$. El detalle está en hallar el potencial V (si existe) tal que la fuerza de Lorentz sea monogénica
\begin{equation}\vec{F}\equiv{e}\,\dot{\vec{r}}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\frac{\partial{V}}{\partial\vec{r}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\vec{r}}}\end{equation} La i-ésima componente de la fuerza es (empleo la suma sobre índices repetidos)
\begin{align}F_i&=e\,\epsilon_{ijk}\dot{r}_j\left(\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\right)\nonumber\\
&=e\,\dot{r}_j\,\epsilon_{kij}\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right)\nonumber\\
&=e\left[\dot{r}_j\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{align} y ya que ${\vec{A}=\vec{A}(\vec{r},t)}$, se tiene ${\dot{A}_i=(\partial_jA_i)\dot{r}_j}$, entonces
\begin{equation}F_i=e\left[\frac{dA_i}{dt}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{equation} de modo entonces que por comparación con la primer ecuación, se sigue que
\begin{equation}V=-e\,\dot{r}_iA_i=-e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} por tanto
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{\,2}+e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} como se esperaba. En la entrada pasada muestro la obtención del hamiltoniano por transformada de Legendre, sin embargo véase que la lagrangiana es de la forma
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^{\,\mathrm{T}}\mathbb{M}\,\dot{\vec{r}}+\vec{a}\cdot\dot{\vec{r}}\end{equation} de modo que $\mathcal{H}$ puede escribirse en la forma
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)\end{equation} entonces en este caso, ya que ${\mathbb{M}=m\mathbb{I}=m\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\end{pmatrix}}$ y ${\vec{a}\equiv{e}\vec{A}}$, se sigue inmediatamente que
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-e\vec{A}\right)^2\end{equation} como se sabe.

Fuerza de Lorentz desde el lagrangiano clásico

Trabajar con índices puede resultar muy fructífero incluso para realizar cálculos que no necesariamente lo exigen, como muestro en este ejemplo, que he resuelto en un curso de electromagnetismo (acá muestro otro ejemplo para con mecánica clásica). Considera la Lagrangiana para una partícula de masa M y carga q dada por
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{r}}^2+q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\end{equation} donde $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial; ${\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}$ con $\mathbf{B}$ el campo magnético. Empleando la notación de suma en índices repetidos, la lagrangiana se escribe como
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{x}_i^2+q\,\dot{x}_iA_i\end{equation} se tiene entonces las ecuación de Lagrange para la j-ésima componente
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}_j}\end{equation} esto es, haciendo explícitas las derivadas sabiendo que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$,
\begin{equation}M\ddot{x}_j+q\dot{A}_j=q\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\dot{A}_j\right)\label{florentz1}\end{equation} ahora bien, considerando nuevamente que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$, por regla de la cadena (y notación de suma),
\begin{equation}\dot{A}_j\equiv\frac{dA_j}{dt}=\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\frac{\partial{x}_i}{\partial{t}}=\dot{x}_i\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\end{equation} entonces se reescribe la ec. (\ref{florentz1}) como
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\dot{x}_i\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\right)\end{equation} y véase que (empleando por simplicidad la notación ${\partial_i\equiv\partial/\partial{x}_i}$),
\begin{align}\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j&=\epsilon_{jik}\dot{x}_iB_k\nonumber\\[0.1in]&=\epsilon_{jik}\dot{x}_i\left(\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\right)\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\epsilon_{kji}\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\delta_{j\ell}\delta_{im}-\delta_{jm}\delta_{i\ell}\right)\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\partial_jA_i-\partial_iA_j\right)\end{align} por tanto se concluye que
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{\mathbf{r}}=q\,\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\end{equation} que es precisamente la ecuación en la forma de la segunda ley de Newton para la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo. Esta es una muestra de lo sencillo que pueden tornarse cálculos en general utilizando notación de índices. He procurado antes obtener el mismo resultado con notación vectorial y no me parece que sea tan claro, pues en algún punto u otro es necesario recurrir o a coordenadas en particular o a la notación de índices.

Podemos obtener además el hamiltoniano mediante su definición como transformada de Legendre de la lagrangiana, i.e. (usando nuevamente convención de suma),
\begin{equation}\mathcal{H}=\dot{x}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}-\mathcal{L}\end{equation} donde el i-ésimo momento generalizado está definido por
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}=M\dot{x}_i+qA_i\end{equation} entonces
\begin{equation}\dot{x}_i=\frac{1}{M}\left(p_i-qA_i\right)\end{equation} y así,
\begin{align}\mathcal{L}&=\frac{1}{M}(p_i-qA_i)\left[\frac{1}{2}(p_i-qA_i)+qA_i\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\end{align} por tanto
\begin{align}\mathcal{H}&=\frac{1}{M}\left(p_i^2-qp_iA_i\right)-\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-2qp_iA_i+q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2\end{align} procura comprobar ahora que esto es correcto obteniendo a partir de este hamiltoniano la ecuación de segunda ley para la fuerza de Lorentz.