Interferencia en Rendijas Múltiples

Considérese una fuente de luz monocromática que pasa a través de tres rendijas paralelas separadas entre sí por una distancia $d$. Por simplicidad además, considérese que las ondas tienen la misma amplitud $\mathcal{E}$, la misma longitud de onda $\lambda$, y así la misma frecuencia angular $\omega$ y una diferencia de fase constante ${\phi=\frac{d\sin\theta}{\lambda}}$ donde ${\theta\ll1}$ es el ángulo entre la normal a las rendijas y el vector al punto de incidencia.

Se tiene entonces que las tres ondas que emergen de las rendijas son de la forma
\begin{align}\mathbf{E}_1&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\omega{t}\\
\mathbf{E}_2&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+\phi)\\
\mathbf{E}_3&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+2\phi)\end{align} Para conocer la intensidad, se necesita calcular el promedio temporal
\begin{equation}\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}|\mathbf{E}(t^\prime)|^2\,dt^\prime\end{equation} donde ${\mathbf{E}=\sum_i\mathbf{E}_i}$ y el periodo $\tau$, en general para funciones armónicas es ${2\pi/\omega}$.

Para lograrlo entonces, hay que calcular la norma de la resultante del campo eléctrico al cuadrado. Se tiene que
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin\omega{t}+\sin(\omega{t}+\phi)+\sin(\omega{t}+2\phi)\right]\end{equation} y empleando la identidad
\begin{equation}\sin{A}+\sin{B}=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\end{equation} puede verse que es conveniente realizar la suma
\begin{equation}\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_3=2\boldsymbol{\mathcal{E}}\cos\left(\phi\right)\sin(\omega{t}+\phi)\end{equation} de modo que
\begin{align}\mathbf{E}&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin(\omega{t}+\phi)+2\cos(\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\right]\nonumber\\&=\boldsymbol{\mathcal{E}}(1+2\cos\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\end{align} donde es inmediato realizar el promedio,
\begin{align}I&\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega{t}+\phi)\,dt\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{4\pi}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2}{2}\end{align} i.e. simplemente
\begin{equation}\left\langle\sin^2(\omega{t}+\phi)\right\rangle=\frac{1}{2}\label{ast}\end{equation} De aquí entonces puede verse que la intensidad máxima ${I_m}$ ocurre cuando ${\cos\phi=1}$, i.e.
\begin{equation}I_m\propto\frac{9}{2}\mathcal{E}^2\end{equation} entonces puede escribirse
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{(1+2\cos\phi)^2}{9}\end{equation} es decir, explícitamente
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{1}{9}\left[1+2\cos\left(\frac{d\sin\theta}{\lambda}\right)\right]^2\end{equation} con esto entonces uno puede graficar el comportamiento de la intensidad respecto a la fase $\phi$, e.g. en Mathematica:

Plot[(1 + 2 Cos[2Pi F])^2/9, {F, -Pi, Pi},
 Axes -> None, Frame -> True, FrameLabel -> {"2Pi F", "I/Im"},
 FrameTicks -> {{{0, 1/2, 1}, None}, {{-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi}, None}},
 GridLines -> Automatic, GridLinesStyle -> Directive[Gray, Dashed]]

La generalización natural de la triple rendija es considerar el caso de n rendijas. Considérense entonces ahora, de manera análoga, las n ondas
\begin{equation}\mathbf{E}_\alpha=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\left(\omega{t}+\alpha\phi\right),\hspace{0.25in}\alpha=0,1,\ldots,n-1\end{equation} en cuyo caso entonces, debe calcularse el promedio ${\langle\mathbf{E}^2\rangle}$ con
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)\end{equation} entonces recordando de la serie geométrica que $\displaystyle{\sum_{a=0}^{b-1}r^a=\frac{1-r^b}{1-r}}$, se tiene,
\begin{align}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)&=\sum_{\alpha=0}^{n-1}\left(\sin{\omega{t}}\cos\alpha\phi+\sin\alpha\phi\cos{\omega{t}}\right)\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}+\cos{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\nonumber\\[0.1in]
&=\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\left\{\sin{\omega{t}}\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]+\cos{\omega{t}}\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]\right\}\nonumber\\[0.1in]
&=\csc\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\omega{t}+\frac{n-1}{2}\phi\right]\end{align} y por tanto, empleando el resultado (\ref{ast}), se tiene simplemente que
\begin{equation}I\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{\mathcal{E}^2}{2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} donde la amplitud máxima ahora depende del valor de n. Uno puede investigar fácilmente cómo se relaciona la amplitud máxima graficando la función ${\csc{x}\sin{nx}}$,

donde se hace evidente que la amplitud máxima será
\begin{equation}I_m\propto\frac{\mathcal{E}^2}{2}n^2\end{equation} lo que concuerda con lo hallado para 3 rendijas. Así entonces
\begin{equation}\frac{I}{I_0}=\frac{1}{n^2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} y nuevamente uno puede visualizar los resultados para un distinto número de rendijas, e.g. con Mathematica,

Funciones cilíndricas de Bessel

Aprovecho el tema de la entrada anterior para compartir la solución a la ecuación de Bessel por método de Frobenius; uno usualmente ve una ecuación Bessel y no tiene que resolverla de este modo, las soluciones son funciones Bessel y listo, sólo falta tomar en cuenta detalles, sin embargo siempre es bueno degustar una u otra vez la solución completita. Se tiene la ecuación diferencial
$$u^2\frac{d^2R}{du^2}+u\frac{dR}{du}+\left(u^2-\mu^2\right)R=0$$ (de Bessel) con ${R=R(u)}$ y ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$, que evidentemente es singular en ${u=0}$; sea ${R\equiv{u^\alpha}\varrho(u)}$, entonces ya que
$$\frac{dR}{du}=u^\alpha\varrho^\prime+\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho$$ y también
$$\frac{d^2R}{du^2}=u^\alpha\varrho^{\prime\prime}+2\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho^{\prime}+\alpha(\alpha-1)u^{\alpha-2}\varrho$$ se satisface
$$u^{\alpha+2}\varrho^{\prime\prime}+(2\alpha+1){u^{\alpha+1}}\rho^{\prime}+\left[\left(\alpha^2-\mu^2\right)u^\alpha+u^{\alpha+2}\right]\varrho=0$$ y cuando ${u\to0}$, siendo que ${u^\alpha}$ está definido y posiblemente es no nulo, se tiene que la ecuación se satisface con
$$\alpha=\mu$$ por tanto ${R(u)=u^\mu\varrho(u)}$. De aquí entonces, se propone la solución en serie de potencias
$$R(u)=u^\mu\varrho(u)=\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}$$ de modo que debe satisfacerse
$$\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)(k+\mu-1)u^{k+\mu}+\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)u^{k+\mu}+\left(u^2-\mu^2\right)\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}=0$$ es decir,
$$\sum_{k=0}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)+(k+\mu)-\mu^2\right]a_ku^{k+\mu}+\sum_{k=2}^\infty{a_{k-2}}u^{k+\mu}=0$$ expandiendo para ${k=0,1}$
$$\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}+\sum_{k=2}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)a_k+(k+\mu)a_k-\mu^2a_k+a_{k-2}\right]u^{k+\mu}=0$$ tomando la expresión para ${k\leq1}$, se tiene que ${\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}=0}$, entonces ${a_1=0}$. Para ${k\geq2}$ entonces,
$$a_{k}=-\frac{1}{k\left(k+2\mu\right)}a_{k-2}$$ y todos los coeficientes impares son nulos, i.e. ${a_1=a_3=\ldots=a_{2n+1}=0}$. Para coeficientes pares entonces, nótese que, usando la propia recurrencia de coeficientes,
\begin{align*}a_{2n}&=-\frac{1}{4n\left(n+\mu\right)}a_{2(n-1)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^2}{4^2n(n-1)(n+\mu)(n-1+\mu)}a_{2(n-2)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^3}{4^3n(n-1)(n-2)(n+\mu)(n-1+\mu)(n-2+\mu)}a_{2(n-3)}\\&\vdots\\&=\frac{(-1)^n}{4^nn(n-1)\cdots2\cdot1\cdot(n+\mu)(n-1+\mu)\cdots(1+\mu)}a_0\end{align*} que por definición de la función Gamma,
$$\Gamma(\eta)\equiv(\eta-1)!$$ puede escribirse como
$$a_{2n}=\frac{(-1)^n\,\Gamma(\mu+1)}{4^nn!\,\Gamma(n+\mu+1)}a_0$$ entonces
\begin{align*}R(u)&=\sum_{n=0}^\infty{a_{2n}}\,u^{2n+\mu}\\[0.1in]&=2^\mu\,\Gamma(\mu+1)\,{a_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}\end{align*} por definición, se tienen las funciones Bessel,
$$J_\mu(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ por lo que, definiendo el coeficiente de la función Bessel en ${n=0}$, precisamente como
$$\frac{1}{2^\mu\,\Gamma(\mu+1)}\equiv{a_0}$$ se tiene la solución
$$R(u)=J_\mu(u)$$ que son precisamente las llamadas funciones de Bessel de primera especie y orden $\mu$. Ahora bien, la ecuación de Bessel es de segundo orden, por lo que el método de Frobenius sólo nos ha dado una de las soluciones. Si $\mu$ tomara valores no enteros, la solución más general podría simplemente expresarse como ${R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,J_{-\mu}(u)}$ con
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ ya que ${J_\mu,\,J_{-\mu}}$ son linealmente independientes,
$$\begin{vmatrix}J_\mu&J_{-\mu}\\J^\prime_\mu&J^\prime_{-\mu}\end{vmatrix}\neq0$$ para $\mu$ no entero. De otro modo, para $\mu$ entero positivo, podemos escribir la función Gamma en términos de un factorial, de modo que
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,(n-\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ y ${(n-\mu)!}$ diverge por lo que recorriendo índices, de modo que la serie inicie en ${n=\mu}$ (es decir, reemplazando n por ${n+\mu}$),
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+\mu}}{n!\,(n+\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ se obtiene la conocida relación ${J_\mu=(-1)^{\mu}J_{-\mu}}$, por ello es que sólo hemos obtenido una solución de la ecuación Bessel. En este caso se introduce la función de Bessel de segunda especie y orden $\mu$ (también llamada función de Neumann o función de Weber),
$$y_\mu(u)\equiv\lim_{p\to\mu}\left[\cot(p\pi)J_p(u)-\csc(p\pi)J_{-p}(u)\right]$$ que por regla de L'Hôpital,
$$y_\mu(u)=\frac{1}{\pi}\left[J^\prime_\mu(u)-(-1)^{\mu}J^\prime_{-\mu}(u)\right]$$ (verifica la independencia lineal con ${J_\mu}$ y nota la divergencia en el origen) con lo que la solución más general para $\mu$ entero, es
$$R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,y_\mu(u)$$ De cualquier modo muchas situaciones físicas, como el caso de la entrada anterior, implican condiciones de frontera que anulan la constante $\beta$. Finalmente, son llamadas funciones cilíndricas (consulta además el caso de las funciones modificadas de Bessel) porque son precisamente la solución radial de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, o en general puede ser, como para la entrada anterior, de una ecuación tipo Poisson en coordenadas cilíndricas.

Unicidad de la serie de Laurent

Últimamente he tenido el tiempo para jugar con problemas que me resultan bastante interesantes, sobre todo de análisis vectorial y tensorial, teoría de números y variable compleja. Uno de ellos se lee: "Prove that the Laurent development is unique" en "Complex Analysis" de Lars V. Alfors. (3a ed., ej. 1, cap. 5.1.3). El problema es de hecho sencillo de argumentar, ya que por la convergencia uniforme de una serie de Laurent y el teorema integral de Cauchy, cualquier otra serie de Laurent propuesta de la misma función en la misma corona será idéntica. Pero bueno, lo que se quiere es demostrarlo.

La serie de Laurent de una función $f$ en $z$ analítica en ${\mathfrak{D}:\,r_1<|z-z_0|<r_2}$ es
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n$$ por tanto si el desarrollo es único, cualquier otro satisface
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}B_n(z-z_0)^n$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n=0$$ Un paso en falso que he cometido es considerar aquí el teorema integral de Cauchy, sin embargo como el lector se puede dar cuenta, sólo se llega a que ${A_{-1}=B_{-1}}$. Para generalizar por este medio es necesario de algún modo considerar una forma de mantener a $n$ en la solución de la integral de contorno. La forma más sencilla es tomar una constante arbitraria.

Sea $m$ un entero arbitrario, entonces también
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n(z-z_0)^{-m-1}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}=0$$ Sea $C$ un contorno positivo contenido en $\mathfrak{D}$, entonces
$$\oint_C\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)\oint_C(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ y por el teorema integral de Cauchy
$$2\pi{i}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)\delta_{nm}=0$$ donde
$$\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{ll}1,&n=m\\0,&n\neq{m}\end{array}\right.$$ es la delta de Kronecker.

Finalmente, ya que $m$ es arbitrario, se sigue que
$${A_n=B_n}$$
como se quería mostrar.