Considérese una fuente de luz monocromática que pasa a través de tres rendijas paralelas separadas entre sí por una distancia $d$. Por simplicidad además, considérese que las ondas tienen la misma amplitud $\mathcal{E}$, la misma longitud de onda $\lambda$, y así la misma frecuencia angular $\omega$ y una diferencia de fase constante ${\phi=\frac{d\sin\theta}{\lambda}}$ donde ${\theta\ll1}$ es el ángulo entre la normal a las rendijas y el vector al punto de incidencia.
Se tiene entonces que las tres ondas que emergen de las rendijas son de la forma
\begin{align}\mathbf{E}_1&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\omega{t}\\
\mathbf{E}_2&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+\phi)\\
\mathbf{E}_3&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+2\phi)\end{align} Para conocer la intensidad, se necesita calcular el promedio temporal
\begin{equation}\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}|\mathbf{E}(t^\prime)|^2\,dt^\prime\end{equation} donde ${\mathbf{E}=\sum_i\mathbf{E}_i}$ y el periodo $\tau$, en general para funciones armónicas es ${2\pi/\omega}$.
Para lograrlo entonces, hay que calcular la norma de la resultante del campo eléctrico al cuadrado. Se tiene que
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin\omega{t}+\sin(\omega{t}+\phi)+\sin(\omega{t}+2\phi)\right]\end{equation} y empleando la identidad
\begin{equation}\sin{A}+\sin{B}=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\end{equation} puede verse que es conveniente realizar la suma
\begin{equation}\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_3=2\boldsymbol{\mathcal{E}}\cos\left(\phi\right)\sin(\omega{t}+\phi)\end{equation} de modo que
\begin{align}\mathbf{E}&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin(\omega{t}+\phi)+2\cos(\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\right]\nonumber\\&=\boldsymbol{\mathcal{E}}(1+2\cos\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\end{align} donde es inmediato realizar el promedio,
\begin{align}I&\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega{t}+\phi)\,dt\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{4\pi}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2}{2}\end{align} i.e. simplemente
\begin{equation}\left\langle\sin^2(\omega{t}+\phi)\right\rangle=\frac{1}{2}\label{ast}\end{equation} De aquí entonces puede verse que la intensidad máxima ${I_m}$ ocurre cuando ${\cos\phi=1}$, i.e.
\begin{equation}I_m\propto\frac{9}{2}\mathcal{E}^2\end{equation} entonces puede escribirse
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{(1+2\cos\phi)^2}{9}\end{equation} es decir, explícitamente
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{1}{9}\left[1+2\cos\left(\frac{d\sin\theta}{\lambda}\right)\right]^2\end{equation} con esto entonces uno puede graficar el comportamiento de la intensidad respecto a la fase $\phi$, e.g. en Mathematica:
La generalización natural de la triple rendija es considerar el caso de n rendijas. Considérense entonces ahora, de manera análoga, las n ondas
\begin{equation}\mathbf{E}_\alpha=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\left(\omega{t}+\alpha\phi\right),\hspace{0.25in}\alpha=0,1,\ldots,n-1\end{equation} en cuyo caso entonces, debe calcularse el promedio ${\langle\mathbf{E}^2\rangle}$ con
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)\end{equation} entonces recordando de la serie geométrica que $\displaystyle{\sum_{a=0}^{b-1}r^a=\frac{1-r^b}{1-r}}$, se tiene,
\begin{align}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)&=\sum_{\alpha=0}^{n-1}\left(\sin{\omega{t}}\cos\alpha\phi+\sin\alpha\phi\cos{\omega{t}}\right)\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}+\cos{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\nonumber\\[0.1in]
&=\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\left\{\sin{\omega{t}}\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]+\cos{\omega{t}}\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]\right\}\nonumber\\[0.1in]
&=\csc\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\omega{t}+\frac{n-1}{2}\phi\right]\end{align} y por tanto, empleando el resultado (\ref{ast}), se tiene simplemente que
\begin{equation}I\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{\mathcal{E}^2}{2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} donde la amplitud máxima ahora depende del valor de n. Uno puede investigar fácilmente cómo se relaciona la amplitud máxima graficando la función ${\csc{x}\sin{nx}}$,
donde se hace evidente que la amplitud máxima será
\begin{equation}I_m\propto\frac{\mathcal{E}^2}{2}n^2\end{equation} lo que concuerda con lo hallado para 3 rendijas. Así entonces
\begin{equation}\frac{I}{I_0}=\frac{1}{n^2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} y nuevamente uno puede visualizar los resultados para un distinto número de rendijas, e.g. con Mathematica,
Se tiene entonces que las tres ondas que emergen de las rendijas son de la forma
\begin{align}\mathbf{E}_1&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\omega{t}\\
\mathbf{E}_2&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+\phi)\\
\mathbf{E}_3&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+2\phi)\end{align} Para conocer la intensidad, se necesita calcular el promedio temporal
\begin{equation}\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}|\mathbf{E}(t^\prime)|^2\,dt^\prime\end{equation} donde ${\mathbf{E}=\sum_i\mathbf{E}_i}$ y el periodo $\tau$, en general para funciones armónicas es ${2\pi/\omega}$.
Para lograrlo entonces, hay que calcular la norma de la resultante del campo eléctrico al cuadrado. Se tiene que
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin\omega{t}+\sin(\omega{t}+\phi)+\sin(\omega{t}+2\phi)\right]\end{equation} y empleando la identidad
\begin{equation}\sin{A}+\sin{B}=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\end{equation} puede verse que es conveniente realizar la suma
\begin{equation}\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_3=2\boldsymbol{\mathcal{E}}\cos\left(\phi\right)\sin(\omega{t}+\phi)\end{equation} de modo que
\begin{align}\mathbf{E}&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin(\omega{t}+\phi)+2\cos(\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\right]\nonumber\\&=\boldsymbol{\mathcal{E}}(1+2\cos\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\end{align} donde es inmediato realizar el promedio,
\begin{align}I&\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega{t}+\phi)\,dt\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{4\pi}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2}{2}\end{align} i.e. simplemente
\begin{equation}\left\langle\sin^2(\omega{t}+\phi)\right\rangle=\frac{1}{2}\label{ast}\end{equation} De aquí entonces puede verse que la intensidad máxima ${I_m}$ ocurre cuando ${\cos\phi=1}$, i.e.
\begin{equation}I_m\propto\frac{9}{2}\mathcal{E}^2\end{equation} entonces puede escribirse
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{(1+2\cos\phi)^2}{9}\end{equation} es decir, explícitamente
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{1}{9}\left[1+2\cos\left(\frac{d\sin\theta}{\lambda}\right)\right]^2\end{equation} con esto entonces uno puede graficar el comportamiento de la intensidad respecto a la fase $\phi$, e.g. en Mathematica:
Plot[(1 + 2 Cos[2Pi F])^2/9, {F, -Pi, Pi},
Axes -> None, Frame -> True, FrameLabel -> {"2Pi F", "I/Im"},
FrameTicks -> {{{0, 1/2, 1}, None}, {{-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi}, None}},
GridLines -> Automatic, GridLinesStyle -> Directive[Gray, Dashed]]
\begin{equation}\mathbf{E}_\alpha=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\left(\omega{t}+\alpha\phi\right),\hspace{0.25in}\alpha=0,1,\ldots,n-1\end{equation} en cuyo caso entonces, debe calcularse el promedio ${\langle\mathbf{E}^2\rangle}$ con
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)\end{equation} entonces recordando de la serie geométrica que $\displaystyle{\sum_{a=0}^{b-1}r^a=\frac{1-r^b}{1-r}}$, se tiene,
\begin{align}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)&=\sum_{\alpha=0}^{n-1}\left(\sin{\omega{t}}\cos\alpha\phi+\sin\alpha\phi\cos{\omega{t}}\right)\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}+\cos{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\nonumber\\[0.1in]
&=\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\left\{\sin{\omega{t}}\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]+\cos{\omega{t}}\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]\right\}\nonumber\\[0.1in]
&=\csc\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\omega{t}+\frac{n-1}{2}\phi\right]\end{align} y por tanto, empleando el resultado (\ref{ast}), se tiene simplemente que
\begin{equation}I\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{\mathcal{E}^2}{2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} donde la amplitud máxima ahora depende del valor de n. Uno puede investigar fácilmente cómo se relaciona la amplitud máxima graficando la función ${\csc{x}\sin{nx}}$,
donde se hace evidente que la amplitud máxima será
\begin{equation}I_m\propto\frac{\mathcal{E}^2}{2}n^2\end{equation} lo que concuerda con lo hallado para 3 rendijas. Así entonces
\begin{equation}\frac{I}{I_0}=\frac{1}{n^2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} y nuevamente uno puede visualizar los resultados para un distinto número de rendijas, e.g. con Mathematica,
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