Apenas va terminando mi malísimo curso de Radiación y Óptica, y sin embargo he rescatado algunas cosas al trabajar por mi cuenta. Lo primero fue graficar el mapa de contorno de la componente de los campos eléctrico $\B{E}$ y/o magnético $\B{B}$ para un dipolo eléctrico oscilante. Lograrlo de hecho fue sencillísimo, ya que uno llega a las expresiones del tipo
\begin{equation}\B{E}=-\alpha\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\theta}},\hspace{0.75in}\B{B}=-\frac{\alpha}{c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{equation} con $\alpha$ constante, $\theta$ el ángulo polar, $\varphi$ el ángulo azimutal y ${\tau=t-r/c}$ el tiempo de retardo, entonces uno puede simplemente graficar curvas de nivel para la correspondiente componente angular manteniendo algún parámetro dado fijo, e.g. $t$, y haciendo ${\alpha=1}$ por simplicidad,
o bien, para $y$ fijo y variando $t$,
Sin embargo, uno bien pudo haber decidido pasar el campo (ya sea $\B{E}$ o $\B{B}$) a coordenadas cartesianas y graficar en dichas coordenadas alguna componente arbitraria, esto es, por ejemplo para el campo $\B{E}$, sabiendo que
\begin{equation}\boldsymbol{\hat{\theta}}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\end{equation} además, en los anteriores gráficos he hecho explícitamente ${\theta=\arccos\frac{z}{r}}$, por lo que de manera análoga ahora se sustituye explícitamente ${\varphi}$ en términos de ${x,y}$ (véase atan2); y uno puede llevarse una sorpresa al querer graficar las 3 componentes del campo como se hizo con la componente angular, por ejemplo con la componente $x$, uno obtiene
aunque en cierto modo era de esperarse, pues se trata de la componente $x$ de un campo que sólo cambia en la dirección polar graficada en el plano ${\{x,z\}}$; de hecho la componente cartesiana más parecida a la componente polar es la componente $z$, como también es de esperar, por ello resulta difícil interpretar cualitativamente el gráfico en este modo, mientras que es muy sencillo hacerlo con el gráfico de la componente polar.
Esto lo digo porque después de estudiar el caso del dipolo, estudié el caso de una carga en movimiento circular uniforme (clásico), y la visualización a primeras no arrojó nada cualitativamente bueno, presuntamente por el detalle de las coordenadas que menciono aquí. Uno puede ir y encontrar los potenciales explícitos de Liénard–Wiechert para el problema, que son de la forma
\begin{align}V(\B{r},\tau)&=\frac{1}{\sqrt{r^2+\rho^2-2\rho\left(x\cos\tau+
y\sin\tau\right)}-\rho\left(y\cos\tau-x\sin\tau\right)}\\
\B{A}(\B{r},\tau)&=\rho\,V(\B{r},\tau)\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{align} donde simplemente tomé todas las constantes como la unidad, excepto el radio de la órbita clásica ${|\boldsymbol{\rho}|=\rho}$, que puse en el plano ${\{x,y\}}$ y donde ${\tau=t-\frac{|\B{r}-\boldsymbol{\rho}|}{c}}$ con ${\B{r}=(x,y,z)}$. De aquí uno entonces puede obtener los campos vía
\begin{equation}\B{E}=-\nabla{V}-\p_t\B{A},\hspace{0.75in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} tomando antes, por supuesto, el tiempo de retardo $\tau$ explícitamente en función de $t$, y haciendo todo de una buena vez en coordenadas esféricas, i.e. con ${x=r\cos\varphi\sin\theta}$, ${y=r\sin\varphi\sin\theta}$ y el gradiente y el rotacional en esféricas. Finalmente al graficar, debe regresarse a las variables cartesianas, aunque ya se podrá graficar cualquier componente esférica. De manera análoga uno puede partir directamente de los campos de radiación sin pasar por los potenciales, si uno cuenta con las expresiones explícitas.
El cómputo es notablemente caro con un ordenador promedio, por lo que hay que tener algo de paciencia. Lo ideal sería generar una imagen .gif para cada componente para poder interpretar claramente cada componente, como hice con el dipolo, pero para eso haría falta bastante tiempo o un ordenador más rápido. De cualquier modo no pienso quitarle al lector la diversión de hacerlo por su cuenta, por lo que solo comparto una de las salidas para la componente angular del campo $\B{E}$, la que exhorto a verificar, pues meter la pata puede ser bastante fácil, además aparentemente no gané mucho al pasarme a las componentes del campo en coordenadas esféricas, pues las curvas de nivel son muy parecidas a las de las componentes cartesianas. En color rojo marco la posición de la partícula, que describe una órbita circular de radio 3.
\begin{equation}\B{E}=-\alpha\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\theta}},\hspace{0.75in}\B{B}=-\frac{\alpha}{c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{equation} con $\alpha$ constante, $\theta$ el ángulo polar, $\varphi$ el ángulo azimutal y ${\tau=t-r/c}$ el tiempo de retardo, entonces uno puede simplemente graficar curvas de nivel para la correspondiente componente angular manteniendo algún parámetro dado fijo, e.g. $t$, y haciendo ${\alpha=1}$ por simplicidad,
Table[ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}])
Cos[t - Norm[{x, y, z}]] /. {t -> Pi}, {x, -25, 25}, {z, -25, 25},
MaxRecursion -> 5, ContourShading -> None, FrameLabel -> {x, z}, ContourStyle -> Black,
PlotLabel -> "y=" ~~ ToString[y]], {y, 0, 9, 1}]
o bien, para $y$ fijo y variando $t$,
GIF = Table[
Manipulate[
ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}]) Cos[
t - Norm[{x, y, z}]] /. {y -> 0}, {x, -10, 10}, {z, -10, 10},
Contours -> 10, ContourShading -> None, ContourStyle -> Black,
Exclusions -> {x == 0}, FrameTicks -> None, MaxRecursion -> 4],
{t, k, Pi, ControlType -> None}], {k, 0, 9Pi/10, Pi/10}];
Export["Campo.gif", GIF, "DisplayDurations" -> 0.2]
\begin{equation}\boldsymbol{\hat{\theta}}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\end{equation} además, en los anteriores gráficos he hecho explícitamente ${\theta=\arccos\frac{z}{r}}$, por lo que de manera análoga ahora se sustituye explícitamente ${\varphi}$ en términos de ${x,y}$ (véase atan2); y uno puede llevarse una sorpresa al querer graficar las 3 componentes del campo como se hizo con la componente angular, por ejemplo con la componente $x$, uno obtiene
aunque en cierto modo era de esperarse, pues se trata de la componente $x$ de un campo que sólo cambia en la dirección polar graficada en el plano ${\{x,z\}}$; de hecho la componente cartesiana más parecida a la componente polar es la componente $z$, como también es de esperar, por ello resulta difícil interpretar cualitativamente el gráfico en este modo, mientras que es muy sencillo hacerlo con el gráfico de la componente polar.
Esto lo digo porque después de estudiar el caso del dipolo, estudié el caso de una carga en movimiento circular uniforme (clásico), y la visualización a primeras no arrojó nada cualitativamente bueno, presuntamente por el detalle de las coordenadas que menciono aquí. Uno puede ir y encontrar los potenciales explícitos de Liénard–Wiechert para el problema, que son de la forma
\begin{align}V(\B{r},\tau)&=\frac{1}{\sqrt{r^2+\rho^2-2\rho\left(x\cos\tau+
y\sin\tau\right)}-\rho\left(y\cos\tau-x\sin\tau\right)}\\
\B{A}(\B{r},\tau)&=\rho\,V(\B{r},\tau)\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{align} donde simplemente tomé todas las constantes como la unidad, excepto el radio de la órbita clásica ${|\boldsymbol{\rho}|=\rho}$, que puse en el plano ${\{x,y\}}$ y donde ${\tau=t-\frac{|\B{r}-\boldsymbol{\rho}|}{c}}$ con ${\B{r}=(x,y,z)}$. De aquí uno entonces puede obtener los campos vía
\begin{equation}\B{E}=-\nabla{V}-\p_t\B{A},\hspace{0.75in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} tomando antes, por supuesto, el tiempo de retardo $\tau$ explícitamente en función de $t$, y haciendo todo de una buena vez en coordenadas esféricas, i.e. con ${x=r\cos\varphi\sin\theta}$, ${y=r\sin\varphi\sin\theta}$ y el gradiente y el rotacional en esféricas. Finalmente al graficar, debe regresarse a las variables cartesianas, aunque ya se podrá graficar cualquier componente esférica. De manera análoga uno puede partir directamente de los campos de radiación sin pasar por los potenciales, si uno cuenta con las expresiones explícitas.
El cómputo es notablemente caro con un ordenador promedio, por lo que hay que tener algo de paciencia. Lo ideal sería generar una imagen .gif para cada componente para poder interpretar claramente cada componente, como hice con el dipolo, pero para eso haría falta bastante tiempo o un ordenador más rápido. De cualquier modo no pienso quitarle al lector la diversión de hacerlo por su cuenta, por lo que solo comparto una de las salidas para la componente angular del campo $\B{E}$, la que exhorto a verificar, pues meter la pata puede ser bastante fácil, además aparentemente no gané mucho al pasarme a las componentes del campo en coordenadas esféricas, pues las curvas de nivel son muy parecidas a las de las componentes cartesianas. En color rojo marco la posición de la partícula, que describe una órbita circular de radio 3.
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