Aprovecho el tema de la entrada anterior para compartir la solución a la ecuación de Bessel por método de Frobenius; uno usualmente ve una ecuación Bessel y no tiene que resolverla de este modo, las soluciones son funciones Bessel y listo, sólo falta tomar en cuenta detalles, sin embargo siempre es bueno degustar una u otra vez la solución completita. Se tiene la ecuación diferencial
$$u^2\frac{d^2R}{du^2}+u\frac{dR}{du}+\left(u^2-\mu^2\right)R=0$$ (de Bessel) con ${R=R(u)}$ y ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$, que evidentemente es singular en ${u=0}$; sea ${R\equiv{u^\alpha}\varrho(u)}$, entonces ya que
$$\frac{dR}{du}=u^\alpha\varrho^\prime+\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho$$ y también
$$\frac{d^2R}{du^2}=u^\alpha\varrho^{\prime\prime}+2\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho^{\prime}+\alpha(\alpha-1)u^{\alpha-2}\varrho$$ se satisface
$$u^{\alpha+2}\varrho^{\prime\prime}+(2\alpha+1){u^{\alpha+1}}\rho^{\prime}+\left[\left(\alpha^2-\mu^2\right)u^\alpha+u^{\alpha+2}\right]\varrho=0$$ y cuando ${u\to0}$, siendo que ${u^\alpha}$ está definido y posiblemente es no nulo, se tiene que la ecuación se satisface con
$$\alpha=\mu$$ por tanto ${R(u)=u^\mu\varrho(u)}$. De aquí entonces, se propone la solución en serie de potencias
$$R(u)=u^\mu\varrho(u)=\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}$$ de modo que debe satisfacerse
$$\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)(k+\mu-1)u^{k+\mu}+\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)u^{k+\mu}+\left(u^2-\mu^2\right)\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}=0$$ es decir,
$$\sum_{k=0}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)+(k+\mu)-\mu^2\right]a_ku^{k+\mu}+\sum_{k=2}^\infty{a_{k-2}}u^{k+\mu}=0$$ expandiendo para ${k=0,1}$
$$\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}+\sum_{k=2}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)a_k+(k+\mu)a_k-\mu^2a_k+a_{k-2}\right]u^{k+\mu}=0$$ tomando la expresión para ${k\leq1}$, se tiene que ${\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}=0}$, entonces ${a_1=0}$. Para ${k\geq2}$ entonces,
$$a_{k}=-\frac{1}{k\left(k+2\mu\right)}a_{k-2}$$ y todos los coeficientes impares son nulos, i.e. ${a_1=a_3=\ldots=a_{2n+1}=0}$. Para coeficientes pares entonces, nótese que, usando la propia recurrencia de coeficientes,
\begin{align*}a_{2n}&=-\frac{1}{4n\left(n+\mu\right)}a_{2(n-1)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^2}{4^2n(n-1)(n+\mu)(n-1+\mu)}a_{2(n-2)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^3}{4^3n(n-1)(n-2)(n+\mu)(n-1+\mu)(n-2+\mu)}a_{2(n-3)}\\&\vdots\\&=\frac{(-1)^n}{4^nn(n-1)\cdots2\cdot1\cdot(n+\mu)(n-1+\mu)\cdots(1+\mu)}a_0\end{align*} que por definición de la función Gamma,
$$\Gamma(\eta)\equiv(\eta-1)!$$ puede escribirse como
$$a_{2n}=\frac{(-1)^n\,\Gamma(\mu+1)}{4^nn!\,\Gamma(n+\mu+1)}a_0$$ entonces
\begin{align*}R(u)&=\sum_{n=0}^\infty{a_{2n}}\,u^{2n+\mu}\\[0.1in]&=2^\mu\,\Gamma(\mu+1)\,{a_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}\end{align*} por definición, se tienen las funciones Bessel,
$$J_\mu(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ por lo que, definiendo el coeficiente de la función Bessel en ${n=0}$, precisamente como
$$\frac{1}{2^\mu\,\Gamma(\mu+1)}\equiv{a_0}$$ se tiene la solución
$$R(u)=J_\mu(u)$$ que son precisamente las llamadas funciones de Bessel de primera especie y orden $\mu$. Ahora bien, la ecuación de Bessel es de segundo orden, por lo que el método de Frobenius sólo nos ha dado una de las soluciones. Si $\mu$ tomara valores no enteros, la solución más general podría simplemente expresarse como ${R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,J_{-\mu}(u)}$ con
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ ya que ${J_\mu,\,J_{-\mu}}$ son linealmente independientes,
$$\begin{vmatrix}J_\mu&J_{-\mu}\\J^\prime_\mu&J^\prime_{-\mu}\end{vmatrix}\neq0$$ para $\mu$ no entero. De otro modo, para $\mu$ entero positivo, podemos escribir la función Gamma en términos de un factorial, de modo que
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,(n-\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ y ${(n-\mu)!}$ diverge por lo que recorriendo índices, de modo que la serie inicie en ${n=\mu}$ (es decir, reemplazando n por ${n+\mu}$),
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+\mu}}{n!\,(n+\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ se obtiene la conocida relación ${J_\mu=(-1)^{\mu}J_{-\mu}}$, por ello es que sólo hemos obtenido una solución de la ecuación Bessel. En este caso se introduce la función de Bessel de segunda especie y orden $\mu$ (también llamada función de Neumann o función de Weber),
$$y_\mu(u)\equiv\lim_{p\to\mu}\left[\cot(p\pi)J_p(u)-\csc(p\pi)J_{-p}(u)\right]$$ que por regla de L'Hôpital,
$$y_\mu(u)=\frac{1}{\pi}\left[J^\prime_\mu(u)-(-1)^{\mu}J^\prime_{-\mu}(u)\right]$$ (verifica la independencia lineal con ${J_\mu}$ y nota la divergencia en el origen) con lo que la solución más general para $\mu$ entero, es
$$R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,y_\mu(u)$$ De cualquier modo muchas situaciones físicas, como el caso de la entrada anterior, implican condiciones de frontera que anulan la constante $\beta$. Finalmente, son llamadas funciones cilíndricas (consulta además el caso de las funciones modificadas de Bessel) porque son precisamente la solución radial de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, o en general puede ser, como para la entrada anterior, de una ecuación tipo Poisson en coordenadas cilíndricas.
$$u^2\frac{d^2R}{du^2}+u\frac{dR}{du}+\left(u^2-\mu^2\right)R=0$$ (de Bessel) con ${R=R(u)}$ y ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$, que evidentemente es singular en ${u=0}$; sea ${R\equiv{u^\alpha}\varrho(u)}$, entonces ya que
$$\frac{dR}{du}=u^\alpha\varrho^\prime+\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho$$ y también
$$\frac{d^2R}{du^2}=u^\alpha\varrho^{\prime\prime}+2\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho^{\prime}+\alpha(\alpha-1)u^{\alpha-2}\varrho$$ se satisface
$$u^{\alpha+2}\varrho^{\prime\prime}+(2\alpha+1){u^{\alpha+1}}\rho^{\prime}+\left[\left(\alpha^2-\mu^2\right)u^\alpha+u^{\alpha+2}\right]\varrho=0$$ y cuando ${u\to0}$, siendo que ${u^\alpha}$ está definido y posiblemente es no nulo, se tiene que la ecuación se satisface con
$$\alpha=\mu$$ por tanto ${R(u)=u^\mu\varrho(u)}$. De aquí entonces, se propone la solución en serie de potencias
$$R(u)=u^\mu\varrho(u)=\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}$$ de modo que debe satisfacerse
$$\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)(k+\mu-1)u^{k+\mu}+\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)u^{k+\mu}+\left(u^2-\mu^2\right)\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}=0$$ es decir,
$$\sum_{k=0}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)+(k+\mu)-\mu^2\right]a_ku^{k+\mu}+\sum_{k=2}^\infty{a_{k-2}}u^{k+\mu}=0$$ expandiendo para ${k=0,1}$
$$\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}+\sum_{k=2}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)a_k+(k+\mu)a_k-\mu^2a_k+a_{k-2}\right]u^{k+\mu}=0$$ tomando la expresión para ${k\leq1}$, se tiene que ${\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}=0}$, entonces ${a_1=0}$. Para ${k\geq2}$ entonces,
$$a_{k}=-\frac{1}{k\left(k+2\mu\right)}a_{k-2}$$ y todos los coeficientes impares son nulos, i.e. ${a_1=a_3=\ldots=a_{2n+1}=0}$. Para coeficientes pares entonces, nótese que, usando la propia recurrencia de coeficientes,
\begin{align*}a_{2n}&=-\frac{1}{4n\left(n+\mu\right)}a_{2(n-1)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^2}{4^2n(n-1)(n+\mu)(n-1+\mu)}a_{2(n-2)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^3}{4^3n(n-1)(n-2)(n+\mu)(n-1+\mu)(n-2+\mu)}a_{2(n-3)}\\&\vdots\\&=\frac{(-1)^n}{4^nn(n-1)\cdots2\cdot1\cdot(n+\mu)(n-1+\mu)\cdots(1+\mu)}a_0\end{align*} que por definición de la función Gamma,
$$\Gamma(\eta)\equiv(\eta-1)!$$ puede escribirse como
$$a_{2n}=\frac{(-1)^n\,\Gamma(\mu+1)}{4^nn!\,\Gamma(n+\mu+1)}a_0$$ entonces
\begin{align*}R(u)&=\sum_{n=0}^\infty{a_{2n}}\,u^{2n+\mu}\\[0.1in]&=2^\mu\,\Gamma(\mu+1)\,{a_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}\end{align*} por definición, se tienen las funciones Bessel,
$$J_\mu(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ por lo que, definiendo el coeficiente de la función Bessel en ${n=0}$, precisamente como
$$\frac{1}{2^\mu\,\Gamma(\mu+1)}\equiv{a_0}$$ se tiene la solución
$$R(u)=J_\mu(u)$$ que son precisamente las llamadas funciones de Bessel de primera especie y orden $\mu$. Ahora bien, la ecuación de Bessel es de segundo orden, por lo que el método de Frobenius sólo nos ha dado una de las soluciones. Si $\mu$ tomara valores no enteros, la solución más general podría simplemente expresarse como ${R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,J_{-\mu}(u)}$ con
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ ya que ${J_\mu,\,J_{-\mu}}$ son linealmente independientes,
$$\begin{vmatrix}J_\mu&J_{-\mu}\\J^\prime_\mu&J^\prime_{-\mu}\end{vmatrix}\neq0$$ para $\mu$ no entero. De otro modo, para $\mu$ entero positivo, podemos escribir la función Gamma en términos de un factorial, de modo que
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,(n-\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ y ${(n-\mu)!}$ diverge por lo que recorriendo índices, de modo que la serie inicie en ${n=\mu}$ (es decir, reemplazando n por ${n+\mu}$),
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+\mu}}{n!\,(n+\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ se obtiene la conocida relación ${J_\mu=(-1)^{\mu}J_{-\mu}}$, por ello es que sólo hemos obtenido una solución de la ecuación Bessel. En este caso se introduce la función de Bessel de segunda especie y orden $\mu$ (también llamada función de Neumann o función de Weber),
$$y_\mu(u)\equiv\lim_{p\to\mu}\left[\cot(p\pi)J_p(u)-\csc(p\pi)J_{-p}(u)\right]$$ que por regla de L'Hôpital,
$$y_\mu(u)=\frac{1}{\pi}\left[J^\prime_\mu(u)-(-1)^{\mu}J^\prime_{-\mu}(u)\right]$$ (verifica la independencia lineal con ${J_\mu}$ y nota la divergencia en el origen) con lo que la solución más general para $\mu$ entero, es
$$R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,y_\mu(u)$$ De cualquier modo muchas situaciones físicas, como el caso de la entrada anterior, implican condiciones de frontera que anulan la constante $\beta$. Finalmente, son llamadas funciones cilíndricas (consulta además el caso de las funciones modificadas de Bessel) porque son precisamente la solución radial de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, o en general puede ser, como para la entrada anterior, de una ecuación tipo Poisson en coordenadas cilíndricas.
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