Jocosamente, la situación de la partícula en una caja es clásica en mecánica cuántica. Comparto el caso de una caja cilíndrica, sobre todo por la parte de la visualización de los resultados en Mathematica, que no tuve oportunidad de hacer con más cuidado dentro de mi primer curso de cuántica.
Se tiene una partícula confinada en una caja cilíndrica de radio $\mathcal{R}$ y altura $h$, esto es, en coordenadas cilíndricas ${(r,\theta,z)}$, la partícula está sujeta al potencial
$$V=\left\{\begin{array}{l}0\,\,\text{si}\,\,0\leq{z}\leq{h},\,0\leq{r}\leq\mathcal{R}\\\infty\,\,\text{de otro modo}\end{array}\right.$$ entonces dentro del cilindro la ecuación estacionaria de Schrödinger es
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{r\theta{z}}^2\psi=E\psi$$ con $\nabla_{r\theta{z}}^2$ el Laplaciano en coordenadas cilíndricas, y cuya solución puede hallarse por el método de variables separables, i.e. es de la forma ${\psi(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)}$. Encontrar explícitamente estas funciones es precisamente el problema a resolver en los cursos básicos de cuántica, así que no lo mostraré aquí. Para normalizar la función de onda te puede ser útil esta entrada. Finalmente se llega a que los eigenvalores, i.e. los niveles de energía, están dados por
$$E=\frac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\frac{\gamma\,\pi}{h}\right)^2+\lambda_k^2\right]$$ donde ${\gamma=1,2,\ldots}$ y $\lambda_k$ satisface ${J_\mu(\lambda_k\mathcal{R})=0}$ en el k-ésimo cero para ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$ con ${J_\mu}$ funciones Bessel de primera especie y orden $\mu$ (todo esto sólo se hace evidente resolviendo el ejercicio uno mismo), mientras que las eigenfunciones,
$$\psi_{\gamma\mu{k}}(r,\theta,z)=N_{\gamma\mu{k}}J_\mu(\lambda_k\,r)\mathrm{e}^{i\mu\theta}\sin\left(\frac{\gamma\pi}{h}\,z\right)$$ donde ${N_{\gamma\mu{k}}=\pm\left(\frac{2}{h\,\pi}\right)^{1/2}\left[\mathcal{R}\,J_\mu^\prime(\lambda_k\mathcal{R})\right]^{-1}}$ es la constante de normalización.
Para tener concretamente los niveles de energía únicamente se requiere el k-ésimo cero de la función ${J_\mu}$, mismo que será necesario para visualizar la función de onda (o en general la distribución de probabilidad), para la cual se puede graficar e.g. la parte real de diversas superficies de nivel en el eje $z$ en las mismas coordenadas cilíndricas. Una forma de hacer esto en Mathematica con valores arbitrarios para el radio, la altura y los números cuánticos, es la siguiente:
BesselJZero[n,k] encuentra el k-ésimo cero de la función Bessel de primera especie y orden n, BesselJ[n,x] da la función Bessel de primera especie y orden n en x. Utilizo además ParametricPlot3D[] para graficar en coordenadas cilíndricas (con la parametrización correspondiente). Puedes también encerrar todo el comando de los gráficos en la función Timing[] para saber cuánto tarda la evaluación. Ahora bien, utilizo Table[], y al menos en mi ordenador la evaluación es extremadamente lenta (o el código es ineficiente, probablemente esto sea por manejar los números cuánticos como parámetros, siendo sincero por ahora ignoro si hay una mejor manera de hacerlo), de aprox 8 minutos, y no de muy buena calidad (si probara dando un valor más grande a MaxRecursion[] probablemente se pasaría todo el día evaluando), si en el tuyo se ejecuta más rápidamente puedes probar con Manipulate[] para obtener una mejor visualización. La salida del código es la siguiente
viendo de cerca uno de los casos, con MaxRecursion->5,
Con un poco más de potencia computacional podría hacerse un gráfico de un cilindro y la (parte real y/o imaginaria) función de onda y se tendría una muestra muy mona de la solución del problema, casi como este programita de Wolfram Demonstrations, pero con superficies de nivel en lugar de curvas de nivel; además de poderse emplear Manipulate[] para visualizar cómo cambia la función de onda "en tiempo real".
De aquí no debe haber ningún problema para visualizar la densidad de probabilidad en un espacio análogo. Quizá de lo más ilustrativo de estas visualizaciones es el comportamiento respecto a los números cuánticos; conforme decidí jugar con esto, por ejemplo, me di cuenta que en mi curso de cuántica se consideró ${\lambda_k}$ por sí mismo como un número cuántico, cuando de manera precisa, k (que denota el k-ésimo cero de las funciones Bessel) es el número cuántico. Prueba dando distintos valores a los números cuánticos y observa cómo afectan en la solución.
Se tiene una partícula confinada en una caja cilíndrica de radio $\mathcal{R}$ y altura $h$, esto es, en coordenadas cilíndricas ${(r,\theta,z)}$, la partícula está sujeta al potencial
$$V=\left\{\begin{array}{l}0\,\,\text{si}\,\,0\leq{z}\leq{h},\,0\leq{r}\leq\mathcal{R}\\\infty\,\,\text{de otro modo}\end{array}\right.$$ entonces dentro del cilindro la ecuación estacionaria de Schrödinger es
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{r\theta{z}}^2\psi=E\psi$$ con $\nabla_{r\theta{z}}^2$ el Laplaciano en coordenadas cilíndricas, y cuya solución puede hallarse por el método de variables separables, i.e. es de la forma ${\psi(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)}$. Encontrar explícitamente estas funciones es precisamente el problema a resolver en los cursos básicos de cuántica, así que no lo mostraré aquí. Para normalizar la función de onda te puede ser útil esta entrada. Finalmente se llega a que los eigenvalores, i.e. los niveles de energía, están dados por
$$E=\frac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\frac{\gamma\,\pi}{h}\right)^2+\lambda_k^2\right]$$ donde ${\gamma=1,2,\ldots}$ y $\lambda_k$ satisface ${J_\mu(\lambda_k\mathcal{R})=0}$ en el k-ésimo cero para ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$ con ${J_\mu}$ funciones Bessel de primera especie y orden $\mu$ (todo esto sólo se hace evidente resolviendo el ejercicio uno mismo), mientras que las eigenfunciones,
$$\psi_{\gamma\mu{k}}(r,\theta,z)=N_{\gamma\mu{k}}J_\mu(\lambda_k\,r)\mathrm{e}^{i\mu\theta}\sin\left(\frac{\gamma\pi}{h}\,z\right)$$ donde ${N_{\gamma\mu{k}}=\pm\left(\frac{2}{h\,\pi}\right)^{1/2}\left[\mathcal{R}\,J_\mu^\prime(\lambda_k\mathcal{R})\right]^{-1}}$ es la constante de normalización.
Para tener concretamente los niveles de energía únicamente se requiere el k-ésimo cero de la función ${J_\mu}$, mismo que será necesario para visualizar la función de onda (o en general la distribución de probabilidad), para la cual se puede graficar e.g. la parte real de diversas superficies de nivel en el eje $z$ en las mismas coordenadas cilíndricas. Una forma de hacer esto en Mathematica con valores arbitrarios para el radio, la altura y los números cuánticos, es la siguiente:
BesselJZero[n,k] encuentra el k-ésimo cero de la función Bessel de primera especie y orden n, BesselJ[n,x] da la función Bessel de primera especie y orden n en x. Utilizo además ParametricPlot3D[] para graficar en coordenadas cilíndricas (con la parametrización correspondiente). Puedes también encerrar todo el comando de los gráficos en la función Timing[] para saber cuánto tarda la evaluación. Ahora bien, utilizo Table[], y al menos en mi ordenador la evaluación es extremadamente lenta (o el código es ineficiente, probablemente esto sea por manejar los números cuánticos como parámetros, siendo sincero por ahora ignoro si hay una mejor manera de hacerlo), de aprox 8 minutos, y no de muy buena calidad (si probara dando un valor más grande a MaxRecursion[] probablemente se pasaría todo el día evaluando), si en el tuyo se ejecuta más rápidamente puedes probar con Manipulate[] para obtener una mejor visualización. La salida del código es la siguiente
viendo de cerca uno de los casos, con MaxRecursion->5,
Con un poco más de potencia computacional podría hacerse un gráfico de un cilindro y la (parte real y/o imaginaria) función de onda y se tendría una muestra muy mona de la solución del problema, casi como este programita de Wolfram Demonstrations, pero con superficies de nivel en lugar de curvas de nivel; además de poderse emplear Manipulate[] para visualizar cómo cambia la función de onda "en tiempo real".
De aquí no debe haber ningún problema para visualizar la densidad de probabilidad en un espacio análogo. Quizá de lo más ilustrativo de estas visualizaciones es el comportamiento respecto a los números cuánticos; conforme decidí jugar con esto, por ejemplo, me di cuenta que en mi curso de cuántica se consideró ${\lambda_k}$ por sí mismo como un número cuántico, cuando de manera precisa, k (que denota el k-ésimo cero de las funciones Bessel) es el número cuántico. Prueba dando distintos valores a los números cuánticos y observa cómo afectan en la solución.
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