Es un modelo experimental bien interesante, para probar la inducción electromagnética, el de un imán oscilante como un péndulo a través de un campo magnético. Ahora he recordado algunos resultados por de más curiosos, por lo que acá los comparto; si tienes oportunidad de realizar el experimento, lo recomiendo. Cuando hemos realizado el experimento, dispusimos un péndulo, atando el imán al extremo de un hilo y luego colgando el hilo de un soporte universal. Empleamos un sensor de corriente para registrar los datos recopilados por el sensor.
El sensor de corriente registra corriente eléctrica en el tiempo, por lo que lo que nos interesó fue obtener cualitativamente el comportamiento de la corriente que circula a través de la bobina cuando, al hacer oscilar el péndulo, el imán pasa por encima de la bobina, induciendo una tensión en esta. Tuvimos que ser bastante cuidadosos con las oscilaciones que describe el péndulo, pues el extremo de este, es decir, el imán, debe pasar bien centrado y apenas por encima de la bobina, de modo que la inducción sea lo más completa posible. Se realizaron mediciones para longitudes distintas del péndulo, controlando así el periodo y la frecuencia de oscilación. El ángulo inicial se mantuvo fijo y suficientemente pequeño para que el movimiento pudiera ser descrito por el de un oscilador armónico.
Una salida decente del sensor de corriente se ve así
El experimento seguramente puede mejorarse y hacerse mucho más cuantitativo, aquí muestro resultados en mayor grado cualitativos que me parecieron bastante interesantes.
Intuitivamente parece que la velocidad del péndulo para un ángulo dado es mayor cuanto menor es la longitud de éste, i.e. cuanto mayor es su frecuencia, lo que implicaría entonces que la tensión inducida y por tanto la amplitud de la corriente debería ser mayor, pues el flujo magnético (esto es, las líneas de campo magnético por área) sería mayor.
Para ángulos iniciales ${\theta_0}$ pequeños (donde consideramos pertenece 10°), considerando un amortiguamiento despreciable o un intervalo breve de tiempo, el ángulo del péndulo satisface ${\theta(t)=\theta_0\cos(\omega{t})}$ con ${\dot{\theta}(0)=0}$ y ${\omega^2=g/\ell}$ con g la aceleración de la gravedad y $\ell$ la longitud del péndulo. Entonces tambi en, ${\dot{\theta}(t) =-\theta_0\,\omega\,\sin(\omega{t})}$. Nótese que en efecto la velocidad angular aumenta conforme $\ell$ disminuye, que es lo que nuestros sentidos perciben como que el péndulo se mueve más rápido, sin embargo ya que el arco descrito por el péndulo a un tiempo t es ${\ell\theta(t)}$, para la velocidad tangencial se tiene que
\begin{equation}v_\tau(t)\equiv\ell\dot\theta(t)=-\theta_0\sqrt{\ell\,g}\,\sin(\omega{t})\end{equation} y en efecto, la magnitud de la velocidad tangencial disminuirá o aumentará junto con $\ell$ para una posición dada sin que el seno se anule.
Este es un resultado básico que se estudia en los primeros cursos de mecánica clásica (o en general de física), y por lo mismo es bastante gratificante notar que la intuición puede engañarnos incluso con las cosas más mundanas. Si se busca aún mayor especificidad, puede escribirse la velocidad tangencial máxima en términos del periodo $\mathcal{T}$
\begin{equation}v_{\tau_{max}}=\mathcal{T}\,\frac{\theta_0\,g}{2\pi}\end{equation}
Podemos expresar el cambio de flujo magnético $\Phi$, por regla de la cadena, como ${d\Phi/dt=(d\Phi/d\theta)(d\theta/dt)}$, y vemos precisamente que este cambio ser a nulo tanto cuando ${\dot\theta(t)=0}$, esto es, en la máxima amplitud del péndulo, y cuando ${d\Phi/d\theta=0}$, que ocurre precisamente en la posición de equilibrio del péndulo. Finalmente entonces, como se dijo, por ley de Lenz, necesariamente habrá extremos para la corriente entre la amplitud máxima del péndulo y su punto de equilibrio.
Estos dos (o tres) resultados me parecieron bastante divertidos, y surgen específicamente con este modelo experimental; no ocurre así por ejemplo si se elige un resorte para hacer variar el flujo magnético. De cualquier modo hay interminables formas posibles de probar experimentalmente la inducción electromagnética y seguro pueden surgir otros resultados también interesantes.
El sensor de corriente registra corriente eléctrica en el tiempo, por lo que lo que nos interesó fue obtener cualitativamente el comportamiento de la corriente que circula a través de la bobina cuando, al hacer oscilar el péndulo, el imán pasa por encima de la bobina, induciendo una tensión en esta. Tuvimos que ser bastante cuidadosos con las oscilaciones que describe el péndulo, pues el extremo de este, es decir, el imán, debe pasar bien centrado y apenas por encima de la bobina, de modo que la inducción sea lo más completa posible. Se realizaron mediciones para longitudes distintas del péndulo, controlando así el periodo y la frecuencia de oscilación. El ángulo inicial se mantuvo fijo y suficientemente pequeño para que el movimiento pudiera ser descrito por el de un oscilador armónico.
Una salida decente del sensor de corriente se ve así
El experimento seguramente puede mejorarse y hacerse mucho más cuantitativo, aquí muestro resultados en mayor grado cualitativos que me parecieron bastante interesantes.
- La amplitud de la corriente inducida aumentará o disminuirá ante una disminución o un aumento, respectivamente, de la frecuencia del péndulo.
Intuitivamente parece que la velocidad del péndulo para un ángulo dado es mayor cuanto menor es la longitud de éste, i.e. cuanto mayor es su frecuencia, lo que implicaría entonces que la tensión inducida y por tanto la amplitud de la corriente debería ser mayor, pues el flujo magnético (esto es, las líneas de campo magnético por área) sería mayor.
Para ángulos iniciales ${\theta_0}$ pequeños (donde consideramos pertenece 10°), considerando un amortiguamiento despreciable o un intervalo breve de tiempo, el ángulo del péndulo satisface ${\theta(t)=\theta_0\cos(\omega{t})}$ con ${\dot{\theta}(0)=0}$ y ${\omega^2=g/\ell}$ con g la aceleración de la gravedad y $\ell$ la longitud del péndulo. Entonces tambi en, ${\dot{\theta}(t) =-\theta_0\,\omega\,\sin(\omega{t})}$. Nótese que en efecto la velocidad angular aumenta conforme $\ell$ disminuye, que es lo que nuestros sentidos perciben como que el péndulo se mueve más rápido, sin embargo ya que el arco descrito por el péndulo a un tiempo t es ${\ell\theta(t)}$, para la velocidad tangencial se tiene que
\begin{equation}v_\tau(t)\equiv\ell\dot\theta(t)=-\theta_0\sqrt{\ell\,g}\,\sin(\omega{t})\end{equation} y en efecto, la magnitud de la velocidad tangencial disminuirá o aumentará junto con $\ell$ para una posición dada sin que el seno se anule.
Este es un resultado básico que se estudia en los primeros cursos de mecánica clásica (o en general de física), y por lo mismo es bastante gratificante notar que la intuición puede engañarnos incluso con las cosas más mundanas. Si se busca aún mayor especificidad, puede escribirse la velocidad tangencial máxima en términos del periodo $\mathcal{T}$
\begin{equation}v_{\tau_{max}}=\mathcal{T}\,\frac{\theta_0\,g}{2\pi}\end{equation}
- La corriente inducida en la bobina es nula cuando el péndulo se encuentra ya sea en su amplitud máxima o en su punto de equilibrio (${\theta(t)=0}$).
- La amplitud de la corriente inducida es máxima cuando el péndulo se encuentra en algún punto entre su máxima amplitud y el punto de equilibrio.
Podemos expresar el cambio de flujo magnético $\Phi$, por regla de la cadena, como ${d\Phi/dt=(d\Phi/d\theta)(d\theta/dt)}$, y vemos precisamente que este cambio ser a nulo tanto cuando ${\dot\theta(t)=0}$, esto es, en la máxima amplitud del péndulo, y cuando ${d\Phi/d\theta=0}$, que ocurre precisamente en la posición de equilibrio del péndulo. Finalmente entonces, como se dijo, por ley de Lenz, necesariamente habrá extremos para la corriente entre la amplitud máxima del péndulo y su punto de equilibrio.
Estos dos (o tres) resultados me parecieron bastante divertidos, y surgen específicamente con este modelo experimental; no ocurre así por ejemplo si se elige un resorte para hacer variar el flujo magnético. De cualquier modo hay interminables formas posibles de probar experimentalmente la inducción electromagnética y seguro pueden surgir otros resultados también interesantes.
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