$\LaTeX$ es prácticamente indispensable para escribir documentos científicos, pero aún más, es plausible que cualquier persona que genere documentos lo haga con LaTeX, desde un Curriculum Vitae, hasta un libro o publicaciones oficiales. Quizá lo más complicado -como en cualquier cosa- al querer comenzar a usar LaTeX para generar documentos -desde escolares hasta profesionales- es precisamente dar un paso adelante. Yo lo hice por mi mismo y debo aceptar que es algo embrollado al principio el cómo si quiera instalar LaTeX; uno busca "Latex" en google y no sabe ni por dónde.LaTeX (pronunciado algo así como Lei-Tec o La-TeJ) es un sistema para composición de textos (basado en el lenguaje TeX), distinto por ejemplo a Microsoft Word, en que no es un sistema de WYSIWYG (what you see is what you get, lo que ves es lo que obtienes); con $\LaTeX$ compilas tu documento y de ahí generas una salida; LaTeX no es un procesador de texto común. Para esto no es necesario saber programación, hacerlo es muy sencillo, o bien hoy existen interfaces gráficas que lo pueden hacer por ti.
Algunas razones que considero para recomendar usar $\LaTeX$ son:
- Calidad y Presentación: Un documento generado en LaTeX tiene un aspecto mucho más profesional y atractivo, independientemente de si el contenido es técnico o no. Si generas documentos que incluyen matemáticas, LaTeX es prácticamente una necesidad: un documento hecho en un procesador de textos es una pésima opción.
- Costo: En general, LaTeX es software libre (incluyendo el no tener costo monetario, cosa que no siempre implica el software libre) y no son necesarias licencias extras para su uso y distribución.
- Compatibilidad: Un documento .tex es simplemente un documento de texto que puedes abrir en cualquier editor de texto como el bloc de notas, sin importar el sistema operativo. La salida de un documento .tex por defecto es el DVI, que luego se convierte a al ya familiar pdf, que tiene la ventaja de no sufrir alteraciones de formato al cambiar de una plataforma a otra.
- Contenido y Estilo: Con LaTeX simplemente escribes, separando el contenido del trabajo del estilo que le das; contrario a los procesadores de texto, en los cuales editas todo gráficamente.
Considera el trabajo sobre el Warp Drive de Miguel Alcubierre como ejemplo de una salida de LaTeX (si sabes sobre relatividad general, pues mucho mejor). En general los científicos utilizan LaTeX, y en arXiv se puede comprobar.
Lo primero que hay que hacer es descargarse MikTeX, aquí para Windows o acá (MacTeX) para Mac. En Linux yo utilizo TeX live. Estos son los motores (distribuciones) necesarios para generar documentos con LaTeX. Ya hecho esto, yo recomendaría instalar una interfaz gráfica, como TeXnicCenter, TeXworks o TeXmaker, después si así quieres podrás utilizar solamente un editor de texto y una ventana de comandos; yo me guiaré con TeXworks en adelante.
Hay muchos templates o plantillas para crear documentos más elaborados con un estilo predefinido. Por ahora describiré lo básico para generar un documento y así familiarizarse con LaTeX.
Abre TeXworks y abre un nuevo documento con el ícono de hoja blanca. Escribe las líneas
\documentclass{article}
\begin{document}
Hola mundo
\end{document}
Bueno, de aquí sólo queda ir descubriendo poco a poco el mundo de LaTeX. Es importante mencionar las líneas \documentclass[ ]{ }, que define la clase de documento (artículo, reporte, libro, etc...) y \usepackage[ ]{ } (que será necesaria más adelante), que define los llamados paquetes, que luego permiten ciertos comportamientos predefinidos para los documentos. Con la práctica incluso podrás crear luego los paquetes que se adapten a tus necesidades e incluirlos en un solo comando. Los corchetes [ ] se emplean para señalar características específicas, ya lo irás notando.
En fin, ésta es la parte difícil, ahora sólo es cuestión tuya. En Wikibooks hay un manual de LaTeX; muy bueno para cada pequeño detalle con que te vayas topando (en inglés está mucho más completo). En la cuestión de las matemáticas, es muy sencillo escribirlas. En la red abundan listas de símbolos matemáticos como ésta y lo único que hay que hacer es escribirlos ya sea entre signos \$...\$ para ecuaciones dentro de párrafos o \$\$...\$\$ para ecuaciones fuera de párrafos. Hay opciones más elaboradas para escribir en este llamado mathmode y opciones más avanzadas para escribir matemáticas, como escribir matrices, arreglos, etc... Confío en que la habilidad del lector para escribir situaciones matemáticas más elaboradas llegará con la práctica misma.
El siguiente código puede servirte como plantilla para que inicies con algo más avanzado. Los comandos -como siempre- están hechos para sugerir su función, por lo que es muy sencillo deducir la mayoría de ellos. Intenta primero cambiando la clase de documento de report a article, o book. De ahí, juega con el código, sólo asegurate de descargar los paquetes incluidos (en Windows y supongo que en Mac también, MikTeX hará todo por ti).
\documentclass[11pt, a4paper]{report}
\usepackage[spanish,mexico]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath} %Paquetes de la American Mathematical Society
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref} %Enlaces
\usepackage[nottoc]{tocbibind} %Bibliografía y nottoc evita que el índice se
% incluya a sí mismo
\newcommand*{\f}{\frac} % Cuando se quiera escribir una fracción,
%sólo será necesario escribir \f{}{} y no \frac{}{}
\begin{document}
\title{\textbf{El Teorema Integral de Cauchy}}
\author{Pedro Figueroa
\footnote{\href{mailto:pedrofigueroa@live.com.mx}
{\texttt{pedrofigueroa@live.com.mx}}}\\
Universidad Autónoma Metropolitana
\vspace{0.5in}
}
\date{\today}
\maketitle
\newpage
\setcounter{tocdepth}{1}
\pagenumbering{gobble} % Evita numeración de pgs
\tableofcontents % Índice
\newpage
\part{El Teorema}
%\section* hace que no se numere ni muestre en el índice la sección
\section{Teorema Integral de Cauchy}
El teorema integral de Cauchy se lee: Si $f(z)$ es analítica
en un dominio simplemente conexo $\mathcal{D}$,
para todo contorno $C$ en $\mathcal{D}$ se cumple
$$\oint_Cf(z)\,dz=0$$
Este teorema es de lo más conmovedor si además consideramos su demostración
para el caso $f^\prime(z)$ continua.
\vspace{0.25 in} %Nota el comportamiento de los espacios
Sabemos que \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\). Si para la integral de línea se tiene
$$S_n=\sum_{m=1}^n(u+iv)(\Delta{x}_m+i\Delta{y}_m)$$
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}S_n
&=\int_{\tilde{C}}f(z)\,dz\\
&=\int_{\tilde{C}}\left(u\,dx-v\,dy\right)+
i\int_\tilde{C}\left(u\,dy+v\,dx\right)\end{align*}
% align, equation, multline son formas para
% escribir matemáticas fuera de párrafos,
% * evita que las ecuaciones se numeren
entonces análogamente, para un contorno \(C\)
$$\oint_Cf(z)\,dz=\oint_{C}\left(u\,dx-v\,dy\right)+
i\,\oint_{C}\left(u\,dy+v\,dx\right)$$
Como consideramos el caso en que ${f^\prime(z)}$ es continua,
$u$ y $v$ tienen derivadas parciales continuas en $\mathcal{D}$.
Lo conmovedor de esta demostración, es que es aplicable el teorema de Green,
que nos dice que si ${u,\,v}$ tienen derivadas parciales continuas en una región
abierta $R$ en $\mathcal{D}$, se cumple
$$\int_{\tilde{C}}(u\,dx-v\,dy)
=\iint\limits_R\left(-\f{\partial{v}}{\partial{x}}-
\f{\partial{u}}{\partial{y}}\right)\;dxdy$$
\ldots{}y como la gente sabe, para toda función analítica en $\mathcal{D}$
se deben cumplir las ecuaciones Cauchy- Riemann, a saber:
$$\f{\partial{u}}{\partial{x}}
=\f{\partial{v}}{\partial{y}}\hspace{0.5in}\f{\partial{u}}{\partial{y}}
=-\f{\partial{v}}{\partial{x}}$$
Y con ello se ha demostrado el teorema integral de Cauchy
para $f^\prime(z)$ continua.
\vspace{0.25 in}
Además, una de las consecuencias más importantes de este teorema es la llamada
fórmula integral de Cauchy, que dice que
$$f(z_0)=\f{1}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\f{f(z)}{z-z_0}\,dz$$
con $C$ un contorno que encierra al punto $z_0$.
\section{Forma diferencial}
O bien, se tiene también la llamada forma diferencial de la fórmula,
$$f^{(n)}(z_0)=\f{n!}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\f{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,
\hspace{0.1in}\forall{n}\in\mathbb{N}$$
Édouard Goursat, un matemático francés, por el año 1900 hizo la demostración
del teorema integral de Cauchy sin la condición $f^\prime{(z)}$ continua,
que además contribuye, por ejemplo, al hecho de que la derivada de una función
analítica también sea analítica.
\vfill
\renewcommand{\bibname}{Referencias}
\begin{thebibliography}{2}
\bibitem{Ahlfors}
Ahlfors,
\emph{Complex Analysis}.
Mc Graw Hill,
3a Edition,
1979.
\end{thebibliography}
\end{document}
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