Una identidad con el operador laplaciano

Bueno, esta es una identidad que se demuestra empleando otra identidad, sólo requiere un buen manejo de los operadores (en particular de la divergencia). No la he visto citada en los diversos formularios de identidades vectoriales, así que aquí la comparto.Si f y g son dos funciones ${\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}}$ cuando menos de clase ${C^2}$, entonces
\begin{equation}\nabla^2(fg)=f{\nabla^2{g}}+g{\nabla^2{f}}+2{\nabla{f}\cdot\nabla{g}}\end{equation} Bien, se tiene, partiendo de la definición del operador laplaciano
\begin{align}\nabla^2(fg)&=\nabla\cdot\nabla(fg)\nonumber\\[0.1in]&=\nabla\cdot\left[f\nabla{g}+g\nabla{f}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\nabla\cdot{f\nabla{g}}+\nabla\cdot{g\nabla{f}}\end{align} De aquí entonces hay que obtener consecuencias de la forma ${\nabla\cdot{\psi\mathbf{A}}}$, se tiene
\begin{align}\nabla\cdot{\psi\mathbf{A}}&=\sum_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\cdot\psi\sum_iA_i\hat{\imath}\nonumber\\[0.1in]&=\sum_i\left[\psi\frac{\partial{A_i}}{\partial{x_i}}+A_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\psi\sum_i\frac{\partial{A_i}}{\partial{x_i}}+\sum_iA_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\nonumber\\[0.1in]&=\psi\left(\sum_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\cdot\sum_iA_i\hat{\imath}\right)+\sum_iA_i\hat{\imath}\cdot\sum_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\nonumber\\[0.1in]&=\psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\psi\end{align} que es la identidad que se encuentra comúnmente en formularios, de ahí entonces
\begin{align}\nabla^2(fg)&=\nabla\cdot{f\nabla{g}}+\nabla\cdot{g\nabla{f}}\nonumber\\[0.1in]&=f\nabla\cdot\nabla{g}+\nabla{g}\cdot\nabla{f}+g\nabla\cdot\nabla{f}+\nabla{f}\cdot\nabla{g}\nonumber\\[0.1in]&=f\nabla^2g+g\nabla^2f+2\nabla{f}\cdot\nabla{g}\hspace{0.5in}\blacksquare\end{align}