No olvides el Jacobiano

Hoy tuve una duda que en realidad no es difícil de esclarecer mas sí tal vez de demostrar. Sean $\mathcal{S}$ y ${\mathcal{S}^*}$ regiones en el espacio ${\{x,y,z\}\subseteq\mathbb{R}^3}$ y ${\{u,v,w\}\subseteq\mathbb{R}^3}$ respectivamente, en correspondencia mediante ${T:\mathcal{S}^*\rightarrow\mathcal{S}}$, con T de clase ${C^1}$ e inyectiva y ${\mathcal{S}=T\left(\mathcal{S}^*\right)}$, entonces para ${f:\mathcal{S}\rightarrow\mathbb{R}}$,
$$\iiint\limits_{\mathcal{S}}f\,\left(x,\,y,\,z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{\mathcal{S}^*}f\,\left[x(u,\,v,\,w),\,y(u,\,v,\,w),\,z(u,\,v,\,w)\right]\left|\frac{\partial{\left(x,\,y,\,z\right)}}{\partial{\left(u,\,v,\,w\right)}}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$ Claro que -al menos en mi experiencia- suelen ahorrarse los detalles de lo anterior o el origen del mismo y uno le debe creer religiosamente a los matemáticos.

Una pregunta natural es, ¿por qué es necesario el término ${\left|\frac{\partial{\left(x,\,y,\,z\right)}}{\partial{\left(u,\,v,\,w\right)}}\right|}$, es decir el Jacobiano de T? En dos variables, para regiones elementales $\mathcal{D}$ y ${\mathcal{D}^*}$ del plano, con ${T:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathcal{D}}$ de clase ${C^1}$ e inyectiva y para ${f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{R}}$, uno inocentemente supondría que
$$\iint\limits_{\mathcal{D}}f\,(x,\,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\overset{?}{=}\iint\limits_{\mathcal{D}^*}f\,\left[x(u,\,v),\,y(u,\,v)\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$ pero T transforma regiones de un espacio a otro y el determinante que falta en el lado derecho de la ecuación es precisamente la medida de distorsión de esa transformación. Para aplicaciones ${T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}$ el jacobiano medirá la distorsión de un área y de manera análoga para ${T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3}$ de un volumen. También la integral del valor absoluto del jacobiano será ya sea área, volumen o lo que le siga de las respectivas regiones en los respectivos espacios.

Esta es la parte difícil de demostrar, de cualquier modo se puede seguir la generalización desde el silvestre cálculo de una variable, donde se tiene para ${f:u\mapsto{x(u)}}$ de clase ${C^1}$ en ${[a,b]}$.
$$\int_{x(a)}^{x(b)}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^{b}f\left[x(u)\right]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\,\mathrm{d}u$$ Sean ${\mathcal{I}^*=[a,b]}$, ${\mathcal{I}=[x(a),x(b)]}$ para f creciente e ${\mathcal{I}=[x(b),x(a)]}$ para f decreciente, entonces
$$\int\limits_{\mathcal{I}}f(x)\,\mathrm{d}x=\int\limits_{\mathcal{I}^*}f\left[x(u)\right]\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\right|\,\mathrm{d}u$$ de ahí se sigue fácilmente la generalización para cualquier espacio.