En el cálculo de varias variables, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, relacionado con el llamado teorema de Clairaut o de Schwartz, es un resultado que se atribuye principalmente a Leonhard Euler, de cuando trabajaba con las llamadas ecuaciones de Euler de mecánica de fluidos aproximadamente a sus 25 años.
Sea ${f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}}$ de clase ${C^\infty}$, entonces ${\forall\;i,j}$ tal que ${1\leq{i}<j\leq{n}}$, se cumple
$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_j}\partial{x_i}}$$ Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con ${1\leq{i}<{j}<{k}\leq{n}}$ se tiene
$$\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}\partial{x_k}}=\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_j}\partial{x_k}\partial{x_i}}=\ldots$$ con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de $f$ son conmutativas o que la matriz hessiana de $f$ es simétrica.
De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Considera los siguientes usos del teorema:
• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es
$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0}$$ para ${\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}}$. Desarrollando, se tiene
\begin{align*}\mathbf{\nabla\times(\nabla}\varphi)&=\nabla\times\left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\right)\\[0.1in]&=\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{y}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{z}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\,\hat{\boldsymbol{k}}\end{align*} y para que la proposición sea cierta, es suficiente que $\varphi$ sea ${C^2}$ de modo que las parciales cruzadas se anulen.
La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente ${\nabla\varphi}$ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial ${\mathbf{F}=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}}$ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse
$$\mathbf{F}=\nabla{f}$$ donde
$$\nabla{f}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\;\hat{\imath}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\;\hat{\jmath}$$ entonces
$$y=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\hspace{0.5in}-x=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$$ pero
$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\neq\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\,\Longleftrightarrow\,1\neq{-1}$$ por tanto $\mathbf{F}$ no es un campo gradiente.
• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función ${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}$, definida por
$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&(x,y)\neq{(0,0)}\\[0.1in]0&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$ comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas:
\begin{align*}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}&=\frac{y \left(x^4+4 x^2 y^2-y^4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\\[0.1in]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}&=\frac{x^5-4 x^3 y^2-x y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}\end{align*} Nótese que
$$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0,y)=-y\hspace{0.5in}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,0)=x$$ por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que $\displaystyle{\lim_{y\to{0}}f_x(0,y)=0,\hspace{0.25in}\lim_{x\to{0}}f_y(x,0)=0}$), y encontramos que
\begin{align*}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(0,0)&=\lim_{x\to{0}}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x-0}=1\\[0.1in]
\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(0,0)&=\lim_{y\to{0}}\frac{f_x(0,y)-f_y(0,0)}{y-0}=-1\end{align*} como se esperaba.
Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?
Sea ${f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}}$ de clase ${C^\infty}$, entonces ${\forall\;i,j}$ tal que ${1\leq{i}<j\leq{n}}$, se cumple
$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_j}\partial{x_i}}$$ Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con ${1\leq{i}<{j}<{k}\leq{n}}$ se tiene
$$\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}\partial{x_k}}=\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_j}\partial{x_k}\partial{x_i}}=\ldots$$ con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de $f$ son conmutativas o que la matriz hessiana de $f$ es simétrica.
De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Considera los siguientes usos del teorema:
• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es
$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0}$$ para ${\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}}$. Desarrollando, se tiene
\begin{align*}\mathbf{\nabla\times(\nabla}\varphi)&=\nabla\times\left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\right)\\[0.1in]&=\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{y}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{z}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\,\hat{\boldsymbol{k}}\end{align*} y para que la proposición sea cierta, es suficiente que $\varphi$ sea ${C^2}$ de modo que las parciales cruzadas se anulen.
La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente ${\nabla\varphi}$ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial ${\mathbf{F}=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}}$ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse
$$\mathbf{F}=\nabla{f}$$ donde
$$\nabla{f}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\;\hat{\imath}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\;\hat{\jmath}$$ entonces
$$y=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\hspace{0.5in}-x=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$$ pero
$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\neq\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\,\Longleftrightarrow\,1\neq{-1}$$ por tanto $\mathbf{F}$ no es un campo gradiente.
• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función ${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}$, definida por
$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&(x,y)\neq{(0,0)}\\[0.1in]0&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$ comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas:
\begin{align*}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}&=\frac{y \left(x^4+4 x^2 y^2-y^4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\\[0.1in]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}&=\frac{x^5-4 x^3 y^2-x y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}\end{align*} Nótese que
$$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0,y)=-y\hspace{0.5in}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,0)=x$$ por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que $\displaystyle{\lim_{y\to{0}}f_x(0,y)=0,\hspace{0.25in}\lim_{x\to{0}}f_y(x,0)=0}$), y encontramos que
\begin{align*}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(0,0)&=\lim_{x\to{0}}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x-0}=1\\[0.1in]
\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(0,0)&=\lim_{y\to{0}}\frac{f_x(0,y)-f_y(0,0)}{y-0}=-1\end{align*} como se esperaba.
Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?
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