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Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

En el cálculo de varias variables, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, relacionado con el llamado teorema de Clairaut o de Schwartz, es un resultado que se atribuye principalmente a Leonhard Euler, de cuando trabajaba con las llamadas ecuaciones de Euler de mecánica de fluidos aproximadamente a sus 25 años.

Sea f:RnR de clase C, entonces i,j tal que 1i<jn, se cumple
2fxixj=2fxjxi Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con 1i<j<kn se tiene
3fxixjxk=3fxjxkxi= con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de f son conmutativas o que la matriz hessiana de f es simétrica.

De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.

Considera los siguientes usos del teorema:

• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es
×(φ)=0 para φ:R3R. Desarrollando, se tiene
×(φ)=×(φx,φy,φz)=(2φyz2φzy)ˆı+(2φzx2φxz)ˆȷ+(2φxy2φyx)ˆk y para que la proposición sea cierta, es suficiente que φ sea C2 de modo que las parciales cruzadas se anulen.

La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente φ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial F=yˆıxˆȷ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse
F=f donde
f=fxˆı+fyˆȷ entonces
y=fxx=fy pero
2fxy2fyx11 por tanto F no es un campo gradiente.

• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función f:R2R, definida por
f(x,y)={xyx2y2x2+y2(x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0) comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas:
fx=y(x4+4x2y2y4)(x2+y2)2fy=x54x3y2xy4(x2+y2)2 Nótese que
fx(0,y)=yfy(x,0)=x por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que limy0fx(0,y)=0,limx0fy(x,0)=0), y encontramos que
2fxy(0,0)=limx0fy(x,0)fy(0,0)x0=12fyx(0,0)=limy0fx(0,y)fy(0,0)y0=1 como se esperaba.

Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?

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