En el cálculo de varias variables, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, relacionado con el llamado teorema de Clairaut o de Schwartz, es un resultado que se atribuye principalmente a Leonhard Euler, de cuando trabajaba con las llamadas ecuaciones de Euler de mecánica de fluidos aproximadamente a sus 25 años.
Sea f:Rn→R de clase C∞, entonces ∀i,j tal que 1≤i<j≤n, se cumple
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con 1≤i<j<k≤n se tiene
∂3f∂xi∂xj∂xk=∂3f∂xj∂xk∂xi=… con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de f son conmutativas o que la matriz hessiana de f es simétrica.
De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Considera los siguientes usos del teorema:
• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es
∇×(∇φ)=0 para φ:R3→R. Desarrollando, se tiene
∇×(∇φ)=∇×(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)=(∂2φ∂y∂z−∂2φ∂z∂y)ˆı+(∂2φ∂z∂x−∂2φ∂x∂z)ˆȷ+(∂2φ∂x∂y−∂2φ∂y∂x)ˆk y para que la proposición sea cierta, es suficiente que φ sea C2 de modo que las parciales cruzadas se anulen.
La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente ∇φ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial F=yˆı−xˆȷ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse
F=∇f donde
∇f=∂f∂xˆı+∂f∂yˆȷ entonces
y=∂f∂x−x=∂f∂y pero
∂2f∂x∂y≠∂2f∂y∂x⟺1≠−1 por tanto F no es un campo gradiente.
• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función f:R2→R, definida por
f(x,y)={xyx2−y2x2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0) comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas:
∂f∂x=y(x4+4x2y2−y4)(x2+y2)2∂f∂y=x5−4x3y2−xy4(x2+y2)2 Nótese que
∂f∂x(0,y)=−y∂f∂y(x,0)=x por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que limy→0fx(0,y)=0,limx→0fy(x,0)=0), y encontramos que
∂2f∂x∂y(0,0)=limx→0fy(x,0)−fy(0,0)x−0=1∂2f∂y∂x(0,0)=limy→0fx(0,y)−fy(0,0)y−0=−1 como se esperaba.
Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?
Sea f:Rn→R de clase C∞, entonces ∀i,j tal que 1≤i<j≤n, se cumple
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con 1≤i<j<k≤n se tiene
∂3f∂xi∂xj∂xk=∂3f∂xj∂xk∂xi=… con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de f son conmutativas o que la matriz hessiana de f es simétrica.
De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Considera los siguientes usos del teorema:
• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es
∇×(∇φ)=0 para φ:R3→R. Desarrollando, se tiene
∇×(∇φ)=∇×(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)=(∂2φ∂y∂z−∂2φ∂z∂y)ˆı+(∂2φ∂z∂x−∂2φ∂x∂z)ˆȷ+(∂2φ∂x∂y−∂2φ∂y∂x)ˆk y para que la proposición sea cierta, es suficiente que φ sea C2 de modo que las parciales cruzadas se anulen.
La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente ∇φ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial F=yˆı−xˆȷ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse
F=∇f donde
∇f=∂f∂xˆı+∂f∂yˆȷ entonces
y=∂f∂x−x=∂f∂y pero
∂2f∂x∂y≠∂2f∂y∂x⟺1≠−1 por tanto F no es un campo gradiente.
• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función f:R2→R, definida por
f(x,y)={xyx2−y2x2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0) comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas:
∂f∂x=y(x4+4x2y2−y4)(x2+y2)2∂f∂y=x5−4x3y2−xy4(x2+y2)2 Nótese que
∂f∂x(0,y)=−y∂f∂y(x,0)=x por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que limy→0fx(0,y)=0,limx→0fy(x,0)=0), y encontramos que
∂2f∂x∂y(0,0)=limx→0fy(x,0)−fy(0,0)x−0=1∂2f∂y∂x(0,0)=limy→0fx(0,y)−fy(0,0)y−0=−1 como se esperaba.
Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?
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