La serie de Fourier y Leonhard Euler

Fourier came upon his idea in connection with the problem of the flow of heat in solid bodies, including the earth. The formula
$$\frac{1}{2}\,x=\sin{(x)}-\frac{1}{2}\sin{(2x)}+\frac{1}{3}\sin{(3x)}+\ldots$$ was published by Leonhard Euler (1707-1783) before Fourier’s work began, so you might like to ponder the question why Euler did not receive the credit for Fourier’s series

El párrafo anterior se lee en The Fourier Transform and its Applications, de Ronald N. Bracewell, Tercera Edición.

En Wikipedia también se puede leer

Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional...

Además de Gauss, Euler no la haría mal de Chuck Norris de las matemáticas.

Considera por ejemplo la serie de Fourier de ${f(t)=t^2}$, donde ${0<t<2}$ con periodo ${T=2}$, que es
$$f(t)=\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{\pi{n}^2}\cos(n\pi{t})-\frac{1}{{n}}\sin{(n\pi{t})}\right\}$$ Por el teorema de convergencia de Dirichlet se sabe que en cada punto de discontinuidad la serie converge a
$$f(t)=\frac{1}{2}\left(\,\lim_{t\to{t^+}}f(t)+\lim_{t\to{t^-}}f(t)\right)$$ así entonces ${f(0)=2}$ y por tanto
$$2=\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ es decir
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ que es la respuesta precisamente al problema de Basilea, que Euler ya había resuelto antes. De igual forma la famosa fórmula (como la identidad) de Euler hace que la serie y los coeficientes de Fourier se reduzcan a
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega{t}}$$ donde $\displaystyle{c_n=\frac{\omega}{2\pi}\int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega}f(t)\,\mathrm{e}^{-in\omega{t}}\,dt}$, con $\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}}$ donde T es el periodo, y finalmente la unidad imaginaria $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$.

La demostración es sencilla y muy atractiva, ya sea que se consulte o se intente demostrar por cuenta propia. No hace falta decir que las implicaciones del genio de Euler y ese "don" de ver relaciones donde parece que no hay nada resultan de gran importancia tanto para el análisis de Fourier como para cualquier otra rama de las matemáticas.

Probablemente algunos Euler facts harían buena competencia a los Gauss facts.