Quieres resolver la ecuación diferencial
$$f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)+x^{-1}f(x)=0$$ con ${x\in\mathbb{R}}$, por lo que, sabiendo que la singularidad en ${x=0}$ es regular, propones una solución de la forma
$$f(x)=x^{\beta}F(x)$$ entonces obtienes que
$$x^{\beta}F^{\prime\prime}+\left[2\beta\,x^{\beta-1}+x^\beta\right]F^\prime+\left[\beta(\beta-1)x^{\beta-2}+(\beta+1)\,x^{\beta-1}\right]F=0$$ que multiplicado por ${x^2}$ ambos lados y cuando ${x\to0}$,
$$\beta(\beta-1)x^{\beta}F=0$$ asumiendo que, por ejemplo, ${0^{0}=1}$ y ya que ${F\neq{0}}$ en general, podemos considerar entonces el caso en que ${\beta(\beta-1)=0}$ y obtenemos la solución aceptable ${\beta=1}$; y en efecto, la solución puede hallarse en la forma ${x\,F(x)}$. Traigo esto a colación, pues en mecánica cuántica este razonamiento ha sido de ayuda para trabajar el problema de una partícula en un campo central.
De hecho me parece una manera fea de llegar a un resultado correcto. En clase se nos ha justificado el asumir que ${x^{\beta}}$ puede ser distinto de cero, ya que "cualquier número elevado a la cero es igual a uno"
Se nos ocurre notar que
$$0^0\to\lim_{z\to0^+}0^z=\lim_{z\to0^+}0=0$$ y también notamos que,
$$0^0\to\lim_{z\to0^+}z^0=\lim_{z\to0^+}1=1$$ esto es prácticamente equivalente a decir que "cero a la cualquier potencia es cero" y luego decir que "cualquier número a la potencia cero es uno". Bueno, en realidad el decir que ${0^0}$ está indeterminado es en general correcto, ya que una función ${f(x,y)=y^x}$ es discontinua en ${(0,0)}$, aunque quizá no lo sea tanto el decir que está indefinido, pues de hecho suele definirse ${0^0=1}$. La discusión es bastante antigua, y suele concluirse que la definición ${0^0=1}$ es tanto útil como consistente, y aunque seguido se considere también como un feo parche, lo usamos todo el tiempo en simplificaciones y demás al asumir ${a^0=1}$ para cualquier a.
Este tipo de cosas seguramente están muy presentes en los matemáticos, y al menos la gran mayoría de los que he conocido suelen ser muy cuidadosos con el lenguaje que emplean (recuerdo en alguna ocasión una larga discusión porque a alguien se le ocurrió decir "sacar factor común").
En el caso de interés supongo que hubiera sido más claro y suficiente aseverar que ${x^\beta}$ está definido para todo $\beta$ (al menos en $\mathbb{R}$) ignorando su valor para alguna de ellas y ${x=0}$, siendo posiblemente no nulo. De este modo, naturalmente se parte a obter los valores de ${\beta}$ que anulan la expresión, sin ser de interés particular el caso ${0^0}$. Aunque por supuesto naturalmente también a veces no somos capaces de conformarnos con simplemente ignorar el valor de una cantidad y considerarla posiblemente no nula. Acá dejo una entrada de askamathematician que he encontrado hace algún tiempo en el que se mencionan algunas razones por las cuales se define ${0^0=1}$.
$$f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)+x^{-1}f(x)=0$$ con ${x\in\mathbb{R}}$, por lo que, sabiendo que la singularidad en ${x=0}$ es regular, propones una solución de la forma
$$f(x)=x^{\beta}F(x)$$ entonces obtienes que
$$x^{\beta}F^{\prime\prime}+\left[2\beta\,x^{\beta-1}+x^\beta\right]F^\prime+\left[\beta(\beta-1)x^{\beta-2}+(\beta+1)\,x^{\beta-1}\right]F=0$$ que multiplicado por ${x^2}$ ambos lados y cuando ${x\to0}$,
$$\beta(\beta-1)x^{\beta}F=0$$ asumiendo que, por ejemplo, ${0^{0}=1}$ y ya que ${F\neq{0}}$ en general, podemos considerar entonces el caso en que ${\beta(\beta-1)=0}$ y obtenemos la solución aceptable ${\beta=1}$; y en efecto, la solución puede hallarse en la forma ${x\,F(x)}$. Traigo esto a colación, pues en mecánica cuántica este razonamiento ha sido de ayuda para trabajar el problema de una partícula en un campo central.
De hecho me parece una manera fea de llegar a un resultado correcto. En clase se nos ha justificado el asumir que ${x^{\beta}}$ puede ser distinto de cero, ya que "cualquier número elevado a la cero es igual a uno"
Se nos ocurre notar que
$$0^0\to\lim_{z\to0^+}0^z=\lim_{z\to0^+}0=0$$ y también notamos que,
$$0^0\to\lim_{z\to0^+}z^0=\lim_{z\to0^+}1=1$$ esto es prácticamente equivalente a decir que "cero a la cualquier potencia es cero" y luego decir que "cualquier número a la potencia cero es uno". Bueno, en realidad el decir que ${0^0}$ está indeterminado es en general correcto, ya que una función ${f(x,y)=y^x}$ es discontinua en ${(0,0)}$, aunque quizá no lo sea tanto el decir que está indefinido, pues de hecho suele definirse ${0^0=1}$. La discusión es bastante antigua, y suele concluirse que la definición ${0^0=1}$ es tanto útil como consistente, y aunque seguido se considere también como un feo parche, lo usamos todo el tiempo en simplificaciones y demás al asumir ${a^0=1}$ para cualquier a.
Este tipo de cosas seguramente están muy presentes en los matemáticos, y al menos la gran mayoría de los que he conocido suelen ser muy cuidadosos con el lenguaje que emplean (recuerdo en alguna ocasión una larga discusión porque a alguien se le ocurrió decir "sacar factor común").
En el caso de interés supongo que hubiera sido más claro y suficiente aseverar que ${x^\beta}$ está definido para todo $\beta$ (al menos en $\mathbb{R}$) ignorando su valor para alguna de ellas y ${x=0}$, siendo posiblemente no nulo. De este modo, naturalmente se parte a obter los valores de ${\beta}$ que anulan la expresión, sin ser de interés particular el caso ${0^0}$. Aunque por supuesto naturalmente también a veces no somos capaces de conformarnos con simplemente ignorar el valor de una cantidad y considerarla posiblemente no nula. Acá dejo una entrada de askamathematician que he encontrado hace algún tiempo en el que se mencionan algunas razones por las cuales se define ${0^0=1}$.
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