Considérense constantes ${\lambda_v,\,\lambda_w}$ tales que se satisfacen las ecuaciones Bessel
$$\label{b1}r^2\frac{d^2}{dr^2}J_\mu\left(\lambda_v{r}\right)+r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)+\left(\lambda_v^2\,r^2-\mu^2\right)J_\mu\left(\lambda_vr\right)=0\hspace{0.25in}\ldots\hspace{0.25in}(1)$$ y
$$\label{b2}r^2\frac{d^2}{dr^2}J_\mu\left(\lambda_w{r}\right)+r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)+\left(\lambda_w^2\,r^2-\mu^2\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)=0\hspace{0.25in}\ldots\hspace{0.25in}(2)$$ con la condición de que ${\lambda_w\mathcal{R}}$ y ${\lambda_v\mathcal{R}}$ sean ceros de ${J_\mu}$. Entonces multiplicando la ec. (1) por ${J_\mu(\lambda_wr)}$ y la ec. (2) por ${J_\mu(\lambda_vr)}$ y restando término a término,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)=J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]-J_\mu\left(\lambda_vr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\right]$$ entonces también, integrando en $r$,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]dr-\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\right]dr$$ donde
$$\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]dr=J_\mu(\lambda_wr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)\bigg|_0^\mathcal{R}-\int_0^\mathcal{R}r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\,dr$$ y de manera análoga para el siguiente término, por lo tanto,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=J_\mu(\lambda_wr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)\bigg|_0^\mathcal{R}-J_\mu(\lambda_vr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_wr)\bigg|_0^\mathcal{R}$$ es decir,
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=\frac{1}{(\lambda_w^2-\lambda_v^2)}\left[rJ_\mu(\lambda_wr)\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)-rJ_\mu(\lambda_vr)\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_w{r})\right]_0^\mathcal{R}$$ que en general, para ${\lambda_v\mathcal{R},\,\lambda_w\mathcal{R}}$ dos raíces distintas de ${J_\mu}$ y ${\mu>-1}$, se verifica que el lado derecho es nulo, i.e. se prueba la ortogonalidad de las funciones Bessel de primera especie (en el espacio ${L^2\left[0,\mathcal{R};r\right]}$).
Para obtener la constante de normalización , sea ${\lambda\equiv\lambda_v}$ la única raíz local de ${J_\mu}$, de modo que por regla de L'Hôpital cuando ${\lambda_w\to\lambda}$,
\begin{align*}\lim_{\lambda_w\to\lambda}\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda{r}\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr&=\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr\\[0.1in]&=\lim_{\lambda_w\to\lambda}\frac{\mathcal{R}}{(\lambda_w^2-\lambda^2)}\left[J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}-J_\mu(\lambda\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_wr)\bigg|_\mathcal{R}\right]\\[0.1in]&\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{\lambda_w\to\lambda}\frac{\mathcal{R}}{2\lambda_w}\,\frac{d}{d\lambda_w}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}\end{align*} ahora bien, considérese la siguiente relación
$$\frac{d}{d\lambda_w}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})=\frac{\mu}{\lambda}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})-\mathcal{R}\,J_{\mu+1}(\lambda_w\mathcal{R})$$ que podemos obtener de la siguiente forma: La función generadora de ${J_\mu}$ está dada por
$$\mathcal{G}(\lambda{x},t)\equiv\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)(t-1/t)}=\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu$$ cuya derivada parcial respecto a t es
\begin{align*}\frac{\partial\mathcal{G}(\lambda{x},t)}{\partial{t}}&=\frac{1}{2}\lambda{x}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)(t-1/t)}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_\mu(\lambda{x})t^\mu+J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-2}\right]\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_{\mu-1}(\lambda{x})+J_{\mu+1}(\lambda{x})\right]\,t^{\mu-1}\\[0.1in]&=\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\mu\,J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-1}\end{align*} La definición de la función generadora para ${J_\mu}$ surge de un desarrollo en serie de Laurent, que es único, por lo que igualando coeficientes de potencias de $t$,
$$J_{\mu-1}(\lambda{x})+J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2\mu}{\lambda{x}} J_\mu(\lambda{x})$$ De manera análoga, derivando parcialmente en x,
\begin{align*}\frac{\partial{\mathcal{G}(\lambda{x},t)}}{\partial x}&=\frac{1}{2}\lambda\left(t-\frac{1}{t}\right)\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)\left(t-1/t\right)}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\left(t-\frac{1}{t}\right)\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_\mu(\lambda{x})t^{\mu+1}-J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-1}\right]\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_{\mu-1}(\lambda{x})-J_{\mu+1}(\lambda{x})\right]t^{\mu}\\[0.1in]&=\sum_{\mu=-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]\,t^\mu\end{align*} se sigue que
$$J_{\mu-1}(\lambda{x})-J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2}{\lambda} \frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]$$vrestando término a término la primer ecuación obtenida de esta segunda,
$$-2J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2}{\lambda} \frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]-\frac{2\mu}{\lambda{x}} J_\mu(\lambda{x})$$ es decir
$$\frac{d}{dx}J_\mu(\lambda{x})=\frac{\mu}{x} J_\mu(\lambda{x})-\lambda\,J_{\mu+1}(\lambda{x})$$ $\blacksquare$
entonces se tiene
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr=-\frac{\mathcal{R}^2}{2\lambda}\,J_{\mu+1}(\lambda\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}$$
Considérese ahora la relación
$$J_{\mu+1}(\lambda\mathcal{R})=\frac{\mu}{\lambda\mathcal{R}}J_\mu(\lambda\mathcal{R})-\frac{1}{\lambda}\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}$$ que no es más que la relación utilizada anteriormente para la derivada en una variable distinta, con lo que se tiene finalmente que
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr=\frac{\mathcal{R}^2}{2\lambda^2}\,\left[\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}\right]^2$$ que es precisamente la constante de normalización de las funciones Bessel.
$$\label{b1}r^2\frac{d^2}{dr^2}J_\mu\left(\lambda_v{r}\right)+r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)+\left(\lambda_v^2\,r^2-\mu^2\right)J_\mu\left(\lambda_vr\right)=0\hspace{0.25in}\ldots\hspace{0.25in}(1)$$ y
$$\label{b2}r^2\frac{d^2}{dr^2}J_\mu\left(\lambda_w{r}\right)+r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)+\left(\lambda_w^2\,r^2-\mu^2\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)=0\hspace{0.25in}\ldots\hspace{0.25in}(2)$$ con la condición de que ${\lambda_w\mathcal{R}}$ y ${\lambda_v\mathcal{R}}$ sean ceros de ${J_\mu}$. Entonces multiplicando la ec. (1) por ${J_\mu(\lambda_wr)}$ y la ec. (2) por ${J_\mu(\lambda_vr)}$ y restando término a término,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)=J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]-J_\mu\left(\lambda_vr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\right]$$ entonces también, integrando en $r$,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]dr-\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\right]dr$$ donde
$$\int_0^\mathcal{R}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\right]dr=J_\mu(\lambda_wr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)\bigg|_0^\mathcal{R}-\int_0^\mathcal{R}r\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_wr\right)\frac{d}{dr}J_\mu\left(\lambda_vr\right)\,dr$$ y de manera análoga para el siguiente término, por lo tanto,
$$(\lambda_w^2-\lambda_v^2)\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=J_\mu(\lambda_wr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)\bigg|_0^\mathcal{R}-J_\mu(\lambda_vr)r\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_wr)\bigg|_0^\mathcal{R}$$ es decir,
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda_vr\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr=\frac{1}{(\lambda_w^2-\lambda_v^2)}\left[rJ_\mu(\lambda_wr)\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_vr)-rJ_\mu(\lambda_vr)\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_w{r})\right]_0^\mathcal{R}$$ que en general, para ${\lambda_v\mathcal{R},\,\lambda_w\mathcal{R}}$ dos raíces distintas de ${J_\mu}$ y ${\mu>-1}$, se verifica que el lado derecho es nulo, i.e. se prueba la ortogonalidad de las funciones Bessel de primera especie (en el espacio ${L^2\left[0,\mathcal{R};r\right]}$).
Para obtener la constante de normalización , sea ${\lambda\equiv\lambda_v}$ la única raíz local de ${J_\mu}$, de modo que por regla de L'Hôpital cuando ${\lambda_w\to\lambda}$,
\begin{align*}\lim_{\lambda_w\to\lambda}\int_0^\mathcal{R}r J_\mu\left(\lambda{r}\right)J_\mu\left(\lambda_wr\right)dr&=\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr\\[0.1in]&=\lim_{\lambda_w\to\lambda}\frac{\mathcal{R}}{(\lambda_w^2-\lambda^2)}\left[J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}-J_\mu(\lambda\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda_wr)\bigg|_\mathcal{R}\right]\\[0.1in]&\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{\lambda_w\to\lambda}\frac{\mathcal{R}}{2\lambda_w}\,\frac{d}{d\lambda_w}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}\end{align*} ahora bien, considérese la siguiente relación
$$\frac{d}{d\lambda_w}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})=\frac{\mu}{\lambda}J_\mu(\lambda_w\mathcal{R})-\mathcal{R}\,J_{\mu+1}(\lambda_w\mathcal{R})$$ que podemos obtener de la siguiente forma: La función generadora de ${J_\mu}$ está dada por
$$\mathcal{G}(\lambda{x},t)\equiv\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)(t-1/t)}=\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu$$ cuya derivada parcial respecto a t es
\begin{align*}\frac{\partial\mathcal{G}(\lambda{x},t)}{\partial{t}}&=\frac{1}{2}\lambda{x}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)(t-1/t)}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_\mu(\lambda{x})t^\mu+J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-2}\right]\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda{x}\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_{\mu-1}(\lambda{x})+J_{\mu+1}(\lambda{x})\right]\,t^{\mu-1}\\[0.1in]&=\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\mu\,J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-1}\end{align*} La definición de la función generadora para ${J_\mu}$ surge de un desarrollo en serie de Laurent, que es único, por lo que igualando coeficientes de potencias de $t$,
$$J_{\mu-1}(\lambda{x})+J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2\mu}{\lambda{x}} J_\mu(\lambda{x})$$ De manera análoga, derivando parcialmente en x,
\begin{align*}\frac{\partial{\mathcal{G}(\lambda{x},t)}}{\partial x}&=\frac{1}{2}\lambda\left(t-\frac{1}{t}\right)\mathrm{e}^{(\lambda{x}/2)\left(t-1/t\right)}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\left(t-\frac{1}{t}\right)\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,J_\mu(\lambda{x})t^\mu\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_\mu(\lambda{x})t^{\mu+1}-J_\mu(\lambda{x})t^{\mu-1}\right]\\[0.1in]&=\frac{1}{2}\lambda\sum_{\mu=-\infty}^\infty\,\left[J_{\mu-1}(\lambda{x})-J_{\mu+1}(\lambda{x})\right]t^{\mu}\\[0.1in]&=\sum_{\mu=-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]\,t^\mu\end{align*} se sigue que
$$J_{\mu-1}(\lambda{x})-J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2}{\lambda} \frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]$$vrestando término a término la primer ecuación obtenida de esta segunda,
$$-2J_{\mu+1}(\lambda{x})=\frac{2}{\lambda} \frac{d}{dx}\left[J_\mu(\lambda{x})\right]-\frac{2\mu}{\lambda{x}} J_\mu(\lambda{x})$$ es decir
$$\frac{d}{dx}J_\mu(\lambda{x})=\frac{\mu}{x} J_\mu(\lambda{x})-\lambda\,J_{\mu+1}(\lambda{x})$$ $\blacksquare$
entonces se tiene
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr=-\frac{\mathcal{R}^2}{2\lambda}\,J_{\mu+1}(\lambda\mathcal{R})\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}$$
Considérese ahora la relación
$$J_{\mu+1}(\lambda\mathcal{R})=\frac{\mu}{\lambda\mathcal{R}}J_\mu(\lambda\mathcal{R})-\frac{1}{\lambda}\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}$$ que no es más que la relación utilizada anteriormente para la derivada en una variable distinta, con lo que se tiene finalmente que
$$\int_0^\mathcal{R}r J_\mu^2\left(\lambda{r}\right)dr=\frac{\mathcal{R}^2}{2\lambda^2}\,\left[\frac{d}{dr}J_\mu(\lambda{r})\bigg|_\mathcal{R}\right]^2$$ que es precisamente la constante de normalización de las funciones Bessel.
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