Newton y el Teorema Binomial

En estas fechas también se celebra uno de los nacimientos más fructíferos para la humanidad: el de Isaac Newton. Inmediatamente se relaciona a Newton con la mecánica clásica y una manzana, sin embargo, una de sus mayores aportaciones, y tal vez la única perenne, fue el cálculo. Años más tarde, Cantor formalizaría nuestro dominio del infinito, sin embargo lo revolucionario e imperecedero del cálculo está en la noción de lo infinitamente pequeño o infinitesimal.

Fue durante la plaga en 1665 que Newton pasaría alrededor de 2 años en soledad que después se traducirían en su más grande legado, y una de las claves para el desarrollo del cálculo fue la extensión de Newton del teorema binomial.

Sabemos que una forma sencilla de obtener coeficientes binomiales es el triángulo de Pascal:

1
1     1
1     2     1
1     3     3     1
1     4     6     4     1

para el cual cada coeficiente se puede escribir como
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\hspace{0.2in}\forall{\;n\;,k\in\mathbb{N}}$$ para la n-ésima columna y la k-ésima fila (el coeficiente binomial también se llama combinatorio y a menudo se escribe ${{}_nC_k}$ ). Por ello la expansión de un binomio con potencias enteras positivas se puede escribir como
$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,x^{n-k}y^{k}$$ Por ejemplo para las siguientes expansiones con sus coeficientes,:

$x+y$
1     1

y también

$\displaystyle{(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$
1     2     1

y también

$\displaystyle{(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}$
1     3     3     1

etc...

La siguiente imagen está alojada en Wikipedia y muestra gráficamente los casos n=1 ,2 ,3

Sin embargo, ¿cómo hacer uso de esta fórmula para ${n\in\mathbb{R}}$?

El logro de Newton es el llamado teorema binomial o binomio de Newton, cierto ${\forall{n}\in\mathbb{R}}$.

Para demostrarlo y definir el coeficiente binomial para ${n\in\mathbb{R}}$ hagamos, para no confundir notación y por simplicidad, ${\varphi\in\mathbb{R}\;,y=1}$ (ahora se tendrá una serie infinita), de modo que
$$f(x)=(x+1)^{\varphi}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots+c_kx^k+\ldots$$ Nos interesa extraer los coeficientes binomiales, de modo que al diferenciar k veces obtenemos
$$f^{(k)}(x)=\varphi\,(\varphi-1)\,(\varphi-2)\,\cdots\,(\varphi-k+1)(x+1)^{\varphi-k}=k\,(k-1)\,(k-2)\,\cdots\,{c_k}\,+\cdots$$ por tanto, para x=0
$$c_k=\frac{\varphi\,(\varphi-1)\,(\varphi-2)\,\cdots\,(\varphi-k+1)}{k!}=\prod_{j=1}^{k}\frac{\varphi-j+1}{j}$$ es decir
$$c_k=\binom{\varphi}{k}\hspace{0.2in}\forall{\,\varphi}\in\mathbb{R}$$ y por tanto
$$(x+y)^{\varphi}=\sum_{k=0}^{\infty}\,\binom{\varphi}{k}\,x^{\varphi-k}y^{k}=x^\varphi+\varphi{x}^{\varphi-1}y+\frac{\varphi(\varphi-1)x^{\varphi-2}y^2}{2!}+\frac{\varphi(\varphi-1)(\varphi-2)x^{\varphi-2}y^2}{3!}+\ldots$$ Este teorema del binomio puede extenderse asimismo para números complejos. Así Newton con el estudio de este tipo de series infinitas y la noción de límite en el teorema binomial iría directo hacia el desarrollo del cálculo.

Véase ahora que si ${\varphi\equiv-\nu}$ :
$$(x+y)^{-\nu}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\nu}{k}\,x^{-(\nu+k)}y^{k}$$ Intenta demostrar que
$$(1-y)^{-\nu}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\nu+k-1}{k}\,y^k$$ o bien que
$$\binom{-\nu}{k}=(-1)^k\,\binom{\nu-k+1}{k}$$