Dualidad color-cinemática y la relación de doble copia
Hace algunos meses concluí la segunda parte de la maestría con la entrega de mi proyecto de investigación. Los proyectos en general son de tres meses y uno termina escribiendo un trabajo de alrededor de 50 páginas de texto (generar uno o más artículos no es propiamente un requisito). En mi proyecto básicamente escribí código en Mathematica que permite obtener y manipular identidades de Jacobi en el contexto de la dualidad color-cinemática a través de los diagramas de Feynman asociados a los numeradores cinemáticos de las amplitudes de dispersión a nivel árbol.
Vale, acá voy explicar qué significa todo esto. Para hacerlo, en la segunda parte seguiré algunas de las diapositivas que hice recientemente para un seminario en la UAM-I.
Las ideas generales para dummies* y motivación * dummies: Lectores perspicaces (con o sin formación en física) que ignoran la mayoría de conceptos, argot y lenguaje matemático de la física "de partículas" 😉
Las amplitudes de dispersión son el corazón de la física de partículas, o más en general incluso, de las teorías cuánticas de campo. Una amplitud de dispersión puede decirse a groso modo que es el objeto matemático que está relacionado a través del cuadrado de su norma con la sección eficaz, que es la que codifica la probabilidad de que una dada colección de partículas se dispersen. En el régimen perturbativo de una teoría cuántica de campo la manera más sencilla de lidiar con las contribuciones más significativas de una amplitud es a través de los diagramas de Feynman, que luego se organizan de modo progresivo por el número de bucles (loops y ciclos) que contienen, haciendo los cálculos más complicados mientras más bucles se agregan. La discusión sobre qué son los diagramas de Feynman se puede extender bastante, la idea simplemente es que son grafos que representan (no que describen per se) la información física de las interacciones de dadas partículas (o más precisamente campos) respetando ciertas reglas dictadas por la teoría en cuestión, e.g. el tipo de vértices permitidos, y que dificultan el cálculo de amplitudes cuando se agregan bucles (que en términos de teoría de grafos también incluyen los llamados ciclos) porque éstos implican integrales sobre todos los momentos posibles que estos bucles pueden acarrean.
Notablemente, en 1986, para los diagramas de Feynman más simples (sin bucles), llamados diagramas de árbol, Hideyuki Kawai, David Charles Lewellen y S.H. Henry Tye mostraron que
Amplitud de cuerda cerrada es igual a amplitud de cuerda abierta al cuadrado
La hoja de mundo de una cuerda cerrada (abierta) es conformalmente equivalente a una esfera (disco)
Un poco más de detalle aquí
en lo que hoy se conoce como las relaciones KLT y donde las palabras cerrado y abierto se refieren a conceptos en teoría de cuerdas; sin embargo, en el límite de bajas energías (i.e. cuando las cuerdas se reducen a partículas) de una cierta teoría de cuerdas, esto da el eslogan
Amplitud en gravedad es igual a amplitud en Yang-Mills al cuadrado
que aunque originalmente fue descubierto usando cuerdas, no las necesita para funcionar. La teoría de Yang-Mills es simplemente una teoría de campo (de norma o gauge, que simplemente implica que describe campos mediadores de interacciones) que puede considerarse como una extensión no-abeliana (donde los campos no conmutan) de una teoría de campos electromagnéticos: naturalmente, mientras la teoría abeliana (Maxwell) sirve para describir fotones en electrodinámica cuántica (QED por quantum electrodynamics), la teoría no-abeliana es útil para describir gluones, i.e. los mediadores de interacciones en cromodinámica cuántica (QCD por quantum chromodynamics).
Las amplitudes de dispersión naturalmente satisfacen ciertas propiedades. En particular, para el caso de Yang-Mills, las llamadas amplitudes parciales ordenadas por color (factores de las amplitudes totales que no dependen de factores cinemáticos como momentos, polarizaciones o helicidades) a nivel árbol satisfacen un conjunto de relaciones que surgen del álgebra que obedecen los campos de la teoría, conocida como álgebra de color. Tan sólo hace ocho años, en el artículo New Relations for Gauge-Theory Amplitudes, Zvi Bern, John Joseph M. Carrasco y Henrik Johansson obtuvieron un nuevo conjunto de relaciones para las amplitudes parciales conocidas como las relaciones BCJ usando una identidad satisfecha por los factores cinemáticos de las amplitudes de árbol que ellos previamente obtuvieron. Esta nueva identidad es una bastante sorprendente, contenida en lo que se conoce hoy como la dualidad color-cinemática: básicamente, que pueden hallarse factores cinemáticos de una amplitud de árbol tales que satisfagan las mismas propiedades algebraicas (antisimetría y una identidad de Jacobi) de los factores de color. En el mismo artículo, los autores usan esta dualidad color-cinemática para aportar claridad en las relaciones KLT; como ellos lo dícen:
Las relaciones KLT [4] nos dicen que amplitudes árbol en gravedad pueden expresarse directamente en términos de amplitudes árbol de una teoría de norma. Estas relaciones fueron originalmente derivadas en teoría de cuerdas y son válidas en teoría de campo, dado que el límite de bajas energías de teoría de cuerdas es teoría de campo. De cualquier modo, desde un punto de vista puramente de teoría de campo, partiendo de Lagrangianos de Einstein-Hilbert y de Yang-Mills, estas relaciones han permanecido arcanas (...) usamos la (identidad de Jacobi de numerador cinemático) para clarificar la relación entre gravedad y las teorías de norma, argumentando que las relaciones KLT son equivalentes a una relación de 'elevar al cuadrado' los numeradores diagrama a diagrama de una teoría de norma.
De modo que básicamente si uno ha obtenido la amplitud de árbol en una teoría de norma, uno sólo tiene que reemplazar los factores de color por numeradores cinemáticos (que aún más pueden pertenecer a alguna teoría de norma distinta) para obtener la amplitud de gravedad. Ésto es lo que se conoce como la relación de doble-copia entre gravedad y teorías de norma.
Esta sorprendente historia entre gravedad y teorías de norma es una de las más excitantes hoy en día en la física teórica y mucho esfuerzo se está poniendo para clarificar más esta relación así como los fundamentos subyacentes y las consecuencias. A nivel árbol la dualidad color-cinemática ha sido ampliamente estudiada y demostrada usando teoría de cuerdas e ideas en teoría de campo como las relaciones de recursión BCFW, mientras que a nivel de bucles la dualidad aún es una conjetura conocida como la conjetura BCJ.
Los detalles para no tan dummies Contexto
El contexto con el cual se suele exponer el tema (y con el que BCJ hallaron la dualidad) es el más sencillo: teoría de Yang-Mills pura y no masiva. Resistiendo por el momento la tentación de escribir el Lagrangiano de Yang-Mills, sólo establezcamos que el grupo de simetría de la teoría es el grupo especial unitario $SU(n)$. Los generadores del correspondiente álgebra $\mathbf{T}^a$ con $a=1,\ldots,\dim{SU(n)}=n^2-1$ satisfacen
\begin{align}
\mathrm{e}^{i\epsilon^a\mathbf{T}^a}&\in{SU(n)}\\
[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]&=\tilde{f}^{abc}\mathbf{T}^c\\
\mathrm{tr}\mathbf{T}^a\mathbf{T}^b&=\delta^{ab}
\end{align} donde $\tilde{f}^{abc}\equiv{i}\sqrt{2}f^{abc}$ con $f^{abc}$ las constantes de estructura. Además consideraré todos los campos de la teoría, $A^\mu$, no masivos, transformando en la representación adjunta (únicamente "gluones"):
\begin{align}
A_\mu^aT^a\,\text{ con }\,(T^{a})^{bc}&=-\tilde{f}^{abc}\\
\Longrightarrow\,[T^a,T^b]&=\tilde{f}^{abc}T^c\\
\mathrm{tr}T^aT^b&=n\delta^{ab}
\end{align} Los generadores (para ambas representaciones) satisfacen la identidad de Jacobi
\begin{equation}[T^a,[T^b,T^c]]+[T^b,[T^c,T^a]]+[T^c,[T^a,T^b]]=0\end{equation} lo que luego implica que
\begin{equation}\tilde{f}^{ab\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ce}+\tilde{f}^{bc\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ae}+\tilde{f}^{ca\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}be}=0\label{Jacobistruct}\end{equation} y que las constantes de estructura son totalmente antisimétricas (antisimétricas en sus tres índices). Aunque la anterior ecuación (\ref{Jacobistruct}) parece un desastre, se puede reconocer rápidamente notando que los índices $d$ y $e$ en cada sumando están en la misma posición, mientras que $abc$ se permuta cíclicamente.
La teoría tiene vértices de 3 y 4 aristas que se visten con factores de color $c_i$ (polinomios en las $f^{abc}$) y factores cinemáticos $N_i$ (funciones de momentos, polarizaciones u otra información cinemática).
Antes de seguir, debo aclarar que, aunque en la sección anterior para dummies escribí sobre diagramas de Feynman, en lo siguiente más bien se consideran grafos parecidos pero que no sólo no describen per-se sino que tampoco representan procesos físicos, i.e. no hay direcciones espacial y temporal en estos diagramas ni partículas que entran y luego salen, los diagramas únicamente codifican la información cinemática y de grupo de los procesos físicos pero nada más, e.g. usualmente se ponen todas las partículas como entrantes (o salientes) y se rastrea conservación de momento (al menos en Yang-Mills; partículas externas on-shell).
Vale, considerando el vértice de 4 puntos, con momentos (todos salientes o todos entrantes) $p_1,p_2,p_3,p_4$ (tales que $p_i^2=0$), éste tendrá una regla de Feynman de la forma
\begin{align}V_4&\propto\,\tilde{f}^{a_1a_2b}\tilde{f}^{ba_3a_4}N_{12}+\tilde{f}^{a_4a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_3}N_{14}+\tilde{f}^{a_3a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_4}N_{13}\nonumber\\
&\equiv{c_s}N_{12}+c_tN_{14}+c_uN_{13}\nonumber\\
&=c_sN_{12}\left(\frac{s}{s}\right)+c_tN_{14}\left(\frac{t}{t}\right)+c_uN_{13}\left(\frac{u}{u}\right)\end{align} donde $s=(p_1+p_2)^2$, $t=(p_1+p_4)^2$, $u=(p_1+p_3)^2$ son las variables de Mandelstam y $c_i$ es el llamado factor de color asociado al diagrama etiquetado por $i$. De aquí se puede reconocer, pues, que un vértice de 4 puntos puede extenderse en uno de 3 puntos y que hay tres posibles formas: los canales $s$, $t$ y $u$. Los vértices de 3 puntos son usualmente llamados vértices trivalentes y los diagramas con únicamente vértices trivalentes son llamados diagramas cúbicos.
De manera similar este argumento funciona si la teoría permitiera vértices de $n$ puntos, dando $(2n-5)!!$ posibles formas de extender un $V_n$ en diagramas de 3 puntos únicamente. La demostración es sencilla y a su vez demuestra que una amplitud a nivel árbol de $n$ puntos tendrá $(2n-5)!!$ factores o diagramas.
La idea clave es que se pueden obtener todos los diagramas de árbol con $n$ puntos a partir de insertar una arista en medio de cada arista de cada diagrama de $n-1$ puntos, e.g. para 4 puntos:
Notando entonces que el insertar una arista extra en (el medio de un arista) de un diagrama dado le incrementa el número de aristas por 2, sea $\mathcal{L}(n)$ el número de aristas de un diagrama de $n$ puntos, entonces
$$\mathcal{L}(n+1)=\mathcal{L}(n)+2$$ Utilizando el caso base $\mathcal{L}(3)=3$ podemos obtener
\begin{align*}\mathcal{L}(4)&=3+2\\
\mathcal{L}(5)&=3+2(2)\\
\mathcal{L}(6)&=3+2(3)\\
&\vdots\\
\mathcal{L}(n)&=3+2(n-3)=2n-3\\
\end{align*} De este modo entonces, el número de diagramas nivel árbol $\mathcal{D}(n)$ dado $n$ es
\begin{align*}\mathcal{D}(n)&=\mathcal{L}(n-1)\mathcal{L}(n-2)\cdots\mathcal{L}(3)\\
&=(2n-5)(2n-7)\cdots3\\
&=(2n-5)!!\end{align*} que puede probarse por inducción para todo $n>3$ dado el caso base $\mathcal{D}(3)=1$.
Con las definiciones hechas para los factores de color, la identidad de Jacobi puede ponerse sencillamente como
\begin{equation}c_s-c_t+c_u=0\label{colorJac}\end{equation} Para el caso de $n$ partículas, de manera similar, se satisface en general $c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0$ dependiendo de las definiciones de los factores de color, y donde ahora los índices de las constantes de estructura que se contraen corresponden al propagador alrededor del cual se está aplicando la identidad de Jacobi. Explícitamente, en términos de las constantes de estructura, la identidad de Jacobi alrededor de un propagador dado es de la forma
\begin{equation}f^{a_1a_2b_1}f^{b_1a_3b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_2a_3b_1}f^{b_1a_1b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_3a_1b_1}f^{b_1a_2b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}=0\end{equation}
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
Amplitudes
Regresando a la idea de que sólo se requieren diagramas cúbicos, basado en la discusión hecha arriba, ésto hace que las amplitudes a nivel árbol adquieran la forma general
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{i\in\Gamma_3}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{amptrival}\end{equation} con $i$ corriendo en diagramas cúbicos solamente.
Una relación sumamente importante en lo siguiente es la llamada descomposición por ordenamiento de color de una amplitud de árbol,
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{\mathcal{P}(23\ldots{n})}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\cdots\mathbf{T}^{a_n}]A_n^{(0)}[12\ldots{n}]\end{equation} con la suma sobre permutaciones $\mathcal{P}$ de $(23\ldots{n})$ y que introduce las llamadas amplitudes parciales $A_n^{(0)}$ que contienen información dinámica únicamente y que son invariantes de norma. Uno puede ejemplificar la obtención de esta relación fácilmente para $n=4$ puntos. Primero notamos que
\begin{equation}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]\mathbf{T}^c=\tilde{f}^{abc}\,\Longrightarrow\,c_s=\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^{a_1},\mathbf{T}^{a_2}]\mathbf{T}^b\right)\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^b,\mathbf{T}^{a_3}]\mathbf{T}^{a_4}\right)\label{ck1}\end{equation} y de manera similar para $c_t$, $c_u$. Usando la relación de completitud conocida como identidad de Fierz,
\begin{equation}(\mathbf{T}^a)^i_j(\mathbf{T}^a)^\ell_k=\delta^\ell_j\delta^i_k-\frac{1}{n}\delta^i_j\delta^\ell_k\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}i,\ldots,\ell=1,\ldots,n\end{equation} podemos expandir el producto de trazas en la ec. previa (\ref{ck1}) como
\begin{equation}c_s=\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_2})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_2})\end{equation} y de manera similar para los otros dos factores de color, con lo que finalmente, sabiendo que la amplitud es $g^2$-proporcional a la suma de cada factor de color, obtenemos
\begin{equation}\mathcal{A}_4^{(0)}=g^2\left\{A_4^{(0)}[1234]\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathcal{P}_\text{dist}(234)\right\}\end{equation} y al comparar con la amplitud completa escrita en la forma (\ref{amptrival}) podemos identificar las amplitudes parciales
\begin{align}A_4^{(0)}[1234]&=\frac{N_s}{s}+\frac{N_t}{t}=A_4^{(0)}[1432]\label{partampsnums1}\\
A_4^{(0)}[1243]&=-\frac{N_s}{s}+\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1342]\label{partampsnums2}\\
A_4^{(0)}[1324]&=-\frac{N_t}{t}-\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1423]\label{partampsnums3}\end{align} que satisfacen
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]+A_4^{(0)}[1243]+A_4^{(0)}[1324]=0\end{equation} llamada identidad de desacople $U(1)$ (o de fotones) para $n=4$, entre otras relaciones relevantes para el cálculo de amplitudes.
La dualidad color-cinemática
En el ahora famoso artículo de Bern, Carrasco y Johansson (enlace), los autores argumentan que la mencionada identidad de desacople $U(1)$ sólo puede ser no trivial si tiene la forma
\begin{equation}(s+t+u)\chi=0\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}\chi=\chi(\text{momentos, polarizaciones})\end{equation} pues precisamente $s+t+u=0$ dado que $p_i^2=0$ y que las amplitudes parciales sólo pueden ser $A_4^{(0)}[1234]=u\chi$, $A_4^{(0)}[1243]=t\chi$ y $A_4^{(0)}[1324]=s\chi$, de modo que resolviendo para $\chi$,
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]=\frac{u}{t}A_4^{(0)}[1243]=\frac{u}{s}A_4^{(0)}[1324]\end{equation} y de donde se sigue que, junto con las ecuaciones (\ref{partampsnums1},\ref{partampsnums2},\ref{partampsnums3}) y la condición $s+t+u=0$,
\begin{equation}N_s-N_t+N_u=0\end{equation} que tiene exactamente la misma forma que la identidad de Jacobi para los factores de color (\ref{colorJac}). Éste resultado es, en breve, la dualidad color-cinemática.
Específicamente: La dualidad color-cinemática asegura que las amplitudes en (súper-)Yang-Mills pueden darse en una representación
donde los numeradores cinemáticos tienen las mismas propiedades algebraicas que los factores de color:
\begin{align}c_i\to-c_i\,&\Longleftrightarrow\,N_i\to-N_i\\
c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0\,&\Longleftrightarrow\,N_i\pm{N}_j\pm{N}_k=0\end{align} Uno de los aspectos que hace sorprendente este resultado es que los factores de color evidentemente deben tener cierta estructura, pues provienen del álgebra de grupo de simetría, sin embargo los factores cinemáticos no tienen un grupo de simetría subyacente evidente y en principio no habría razón por la cual debieran obedecer la dualidad. Y en efecto, en general los factores cinemáticos no obedecen la dualidad, e.g. si uno comienza con el Lagrangiano usual de Yang-Mills, $\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^{a}_{\mu\nu}$ y obtiene las reglas de Feynman, los numeradores no obedecerán la dualidad. Podemos notar, primero, que aunque las amplitudes parciales son invariantes de norma, los $N_i$'s no son ni invariantes de norma ni son únicos: existen transformaciones de los numeradores, $N_i\to{N}_i+\Delta_i$ (usualmente llamadas transformaciones de norma generalizadas, i.e. se transforman los numeradores en lugar de los campos) que mantienen la amplitud total invariante (cualquiera en que la deformación es proporcional a la identidad de Jacobi de color) pero no en general a la dualidad; ésta es precisamente la principal razón por la cual la dualidad había permanecido escondida, en general no es trivial obtener explícitamente estos numeradores (o en su caso las transformaciones correspondientes).
Algunas consecuencias de esto son las siguientes:
Las amplitudes parciales se reducen a $(n-3)!$ (hay otros conteos más en el artículo original de BCJ).
La existencia de la dualidad está demostrada para cualquier $n$ (sólo a nivel árbol) con argumentos principalmente provenientes de teoría de cuerdas pero también de teoría de campo (BCFW)
N. E. J. Bjerrum-Bohr, P. H. Damgaard, T. Sondergaard, and P. Vanhove, The momentum kernel of gauge and gravity theories, JHEP 1101, 001 (2011) [arXiv:1010.3933[hep-th]]
La construcción explícita de numeradores que satisfacen la dualidad es (hasta ahora) por fuerza bruta.
¿Formulación Lagrangiana? Como se mencionó, $\mathcal{L}_\text{YM}$ no da numeradores compatibles con la dualidad, pero hay posibilidad de deformar
\begin{equation}\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^a_{\mu\nu}+\mathcal{L}^\prime_5+\mathcal{L}^\prime_6+\ldots\end{equation} con las deformaciones $\mathcal{L}^\prime_n$ involucrando $n$ campos, cada deformación idénticamente cero; disponible un procedimiento sistemático:
M. Tolotti, S. Weinzierl, Construction of an effective Yang-Mills Lagrangian with manifest BCJ duality, [arXiv:1306.2975 [hep-th]]
La conjetura BCJ
Naturalmente queda la pregunta de si la dualidad puede extenderse a nivel de bucles. La respuesta es sí, aunque a diferencia de la dualidad a nivel árbol, aquí la dualidad es una conjetura; de cualquier modo aparentemente tiene todas las de ganar. La conjetura BCJ fue hecha por los mismos autores (BCJ) de la dualidad color-cinemática en el artículo Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory. Para empezar, se promueve la amplitud en términos de únicamente diagramas trivalentes (\ref{amptrival}) a
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(L)}=i^Lg^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{BCJamp}\end{equation} El principal argumento que hace parecer inevitable la generalización a bucles es el llamado método de unitariedad generalizada.
Ejemplo de la obtención de una amplitud en 4 puntos y 2 loops a través de el conjunto de cortes (amplitudes árbol)
topológicamente distintos del diagrama original.
Fuente: arXiv:1103.1869 [hep-th]
El tema es bastante amplio y una buena referencia es Basics of Generalized Unitarity (arXiv:1103.1869 [hep-th]) de Zvi Bern y Yu-tin Huang. La idea básica es que este método permite construir amplitudes de bucles a partir de productos de amplitudes de árbol puestos on-shell; algunas palabras clave para entrar al tema son el teorema óptico (en el contexto de QFT) y las reglas de Cutkosky (sospecho que la palabra cut, que aquí traduzco literalmente como corte se usa más bien en el sentido de Cut-kosky).
La principal evidencia a favor de BCJ está en teorías con hasta $\mathcal{N}=4$ supersimetrías en Yang-Mills (arXiv:1303.6605 [hep-th]) y gran parte de la investigación actual se realiza en otras teorías como (s)Yang-Mills con materia (fundamental y/o abeliana), materia Chern-Simons, etc.
La identidad de Jacobi y la generación de diagramas funciona de manera análoga a la de nivel árbol.
El principal resultado de mi trabajo fue código en Mathematica que genera todos los diagramas a partir de todas las identidades de Jacobi alrededor de un propagador dado a nivel árbol dado el número $n$ partículas, e.g. para $n=4$
o casos más complicados, e.g. para $n=8$ alrededor de un propagador dado
o bien, para $n=11$ alrededor de un propagador dado
La idea básica para el funcionamiento del código es usar el comando Graph[] para dibujar los diagramas, especificando los mismos con una función análoga a las $f^{abc}$'s de la estructura de color. El código manipula estas funciones para aplicar las identidades de Jacobi y luego traza los diagramas con Graph[]. Un detalle fino es que las identidades no rastrean los signos particulares para cada diagrama, así que las identidades son puramente esquemáticas y los signos a lo más se pueden rastrear de la función que genera el diagrama comparado con el diagrama original.
Aunque la historia para árboles es interesante y ofrece varias complicaciones para trabajar, el interés del trabajo yacía realmente en nivel de bucles. Aunque yo no estudié realmente ni desarrollé el código con toda generalidad para bucles, mi código tuvo la fortuna de ser fácilmente extensible a bucles:
Estas identidades se pueden encontrar en Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity de Elvang y Huang, y se satisfacen en $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills. La idea es que en un futuro proyecto otro estudiante extienda mi código a nivel de bucles.
Una (entre otras) característica deseable sería la de desplegar todas las topologías posibles dados $n$ y, aún más, el número de bucles. A nivel árbol, por ejemplo, para $n=9$, el código debería ser capaz de desplegar algo como
La situación es un tanto más complicada (relacionada con el problema del isomorfismo de grafos) pero sería de suma utilidad si se pudiese implementar para bucles en un tiempo razonable.
La relación de doble copia
Un aspecto sorprendente de todo lo anterior, es la conexión que hay con gravedad (usualmente la bestia indomable de la física); para sentar ideas puede ayudar nuestro amigo Macaulay:
En la segunda diapositiva [7]=arXiv:hep-th/9904026. Esta explicación de Macaulay ya es un indicio de que (amplitudes en) gravedad debe poder ponerse en términos más simples de los que usualmente se ocupan. Igualmente, desde 1986 se tenía este tipo de relación "Gravedad = (Yang-Mills)2" con las relaciones KLT (detalle en esta entrada anterior), que fueron obtenidas en teoría de cuerdas bosónica pero que se reducen a la mencionada relación norma-gravedad a bajas energías (cuerdas → puntos).
Esta relación entre gravedad y norma se conoce como la relación de doble copia, y se puede reducir básicamente a que
\begin{align}
h_{\mu\nu}&\sim{A}_\mu\tilde{A}_\nu\\
V_\text{grav}(123)&={V}_\text{YM}(123)\tilde{V}_\text{YM}(123)\\
|\Phi\rangle_\text{grav}&=|\Phi\rangle_\text{YM}\otimes|\Phi\rangle_\text{YM}\\
\text{Numeradores BCJ}\,\Longrightarrow\,\mathcal{M}_n^{(L)}&=i^{L+1}\left(\frac{\kappa}{2}\right)^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_i\tilde{N}_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}
\end{align} en donde para la última ecuación, básicamente sólo se reemplaza el factor de color de la amplitud de norma (\ref{BCJamp}) con un numerador BCJ. Aún más, este numerador puede pertenecer a una teoría distinta de la del otro numerador:
Fuente: Presentación de A. Ochirov (General Relativity: from Geometry to Amplitudes,
Instituto Isaac Newton, Cambridge, 2016)
Para el caso de árboles, la relación de doble copia reproduce las relaciones KLT (obviamente asumiendo color-cinemática; arXiv:1004.0693 [hep-th]) y en general, la mayoría de evidencia, de manera análoga a color-cinemática, es para $\mc{N}=8$ super-gravedad.
Finalmente la mayor relevancia e interés que se pone en la relación de doble copia está en que puede arrojar luz sobre las distintas teorías de gravedad y en general puede ayudar a comprender mucho mejor cuál es la solución al rompecabezas de la gravedad cuántica.
Algunos resultados (recientes y no tan recientes) sobre el comportamiento UV en gravedad
Fuente: Plática de A. Ochirov (QCD Meets Gravity, Instituto Bhaumik, UCLA, 2016)
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
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