El lema de Poincaré

Una forma exacta $\phi=d\varphi$ es siempre cerrada dado que $d^2=0$. El lema de Poincaré provee la situación en que el converso también es cierto diciendo que una p-forma cerrada $\phi$ en una región abierta $U$ simplemente-conexa de una variedad $M$ será también exacta. Esto es, siempre que $\phi\in\Omega^p(U)$ con $U\subset{M}$ simplemente-conexo y $d\phi=0$, existe una (p-1)-forma $\varphi$ tal que $\phi=d\varphi$.

Vale, intentaré elaborar un poco sobre la prueba de este resultado que he seguido en este documento para 1-formas y en el libro de Nakahara para p-formas. Al final traduciré algunas cosas a $\mathbb{R}^3$.

1-formas
Acá trataré con una 1-forma cerrada $\phi$ y superficies o 1-variedades $M$. Lo primero que uno piensa es en usar las palabras mágicas simplemente-conexo, pues es lo que hace válido el lema. Intuitivamente, simplemente-conexo significa que está hecho de una sola pieza (conexo) y no tiene hoyos; para formalizar, podemos definir la llamada homotopía de una curva cerrada simple (o que no se intersecta a sí misma; en adelante las llamaré circuitos) $\mc{C}:[a,b]\to{M}$ tal que $\mc{C}(a)=\mc{C}(b)\equiv{p}$ (en general con $\mc{C}^\prime(a)\neq\mc{C}^\prime(b)$) a un punto de la curva, también llamada nulhomotopía, como el mapeo
$$\begin{equation}h:[a,b]\times[0,1]\to{M}\end{equation}$$ tal que para $u\in[a,b]$, $v\in[0,1]$,
$$\begin{align}h(u,0)&=\mc{C}(u)\\ h(u,1)&=h(a,v)=h(b,v)=p\end{align}$$ que estrictamente es un 2-segmento (o 2-celda) de $M$ pero que puede pensarse como una colección de circuitos $\mc{C}_v(u)=h(u,v)$ para cada $v$, o mejor aún como una función continua que deforma $\mc{C}$ en el punto $p$ a través del parámetro $v$. Si tal mapeo existe, se dice que $\mc{C}$ es nulhomotópica u homotópica a una constante.

Ilustración en Wikipedia. Un ejemplo visualmente sencillo: $S^2$ es simplemente conexo (en dos dimensiones) porque es conexo y cualquier circuito es nulhomotópico.

Así pues, $M$ es simplemente-conexo si es conexo y cualquier circuito en $M$ es nulhomotópico. Nos interesaría entonces emplear el hecho de que la 1-forma cerrada $\phi$ está en una región $U$ simplemente-conexa de $M$. Considerando entonces un circuito $\mc{C}:[a,b]\to{U}$ y su nulhomotopía $h$, lo más inmediato es usar el teorema de Stokes (segunda igualdad),
$$\begin{equation}0=\int\limits_hd\phi=\int\limits_{\p{h}}\phi\label{stokes1}\end{equation}$$ Aquí el calcular la frontera $\p{h}$ me resultó un tanto confuso; de cualquier modo lo entendí considerando el caso de un círculo en $\mathbb{R}^2$ con la nulhomotopía siendo un disco. Puedes verlo usando el siguiente botón o continuar si no lo consideras necesario.

Considero la nulhomotopía
$$h:[0,2\pi]\times[0,1]\to\mathbb{R}^2$$ del círculo
$$C:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$$ al punto $C(0)=C(2\pi)$. Para sentar ideas se puede considerar el caso particular $\mc{C}(u)=(\sin{u},1-\cos{u})$ y la nulhomotopía al punto $\mc{C}(0)=\mc{C}(2\pi)$ explícita (la más sencilla de todas)
$$h(u,v)=(1-v)\,\mc{C}(u)$$
En general, los llamados bordes de un 2-segmento $s:[a,b]\times[c,d]\to{M}$, están dados por $s(u,c)$, $s(u,d)$, $s(a,v)$ y $s(b,v)$ con $u\in[a,b]$ y $v\in[c,d]$; podemos entonces formar la frontera, o la curva borde de $h$ pegando ordenadamente sus bordes, esto es, pues, si hacemos $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(2\pi,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(0,v)$, tendremos de manera abstracta (se dice una 'combinación formal'), que
$$\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta$$ donde $-\gamma$ y $-\delta$ son las inversiones de orientación de $\gamma$ y $\delta$ respectivamente (e.g. $h(2\pi-u,1)$ y $h(0,1-v)$). Vale, el punto de esto es que lo mismo sucede en general para cualquier nulhomotopía $h$.

Sean entonces $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(b,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(a,v)$ los bordes de $h$, de modo que
$$\begin{equation}\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta\end{equation}$$ y en particular nota que en una nulhomotopía, $\beta^\prime(v)=\gamma^\prime(u)=\delta^\prime(v)=0$, de modo que se tiene por ($\ref{stokes1}$) que
$$\begin{align}\int\limits_{\p{h}}\phi&=0\nonumber\\ &=\int\limits_\alpha\phi+\underbrace{\int\limits_\beta\phi-\int\limits_\gamma\phi-\int\limits_\delta\phi}_{=\int\limits_0^1\phi(\beta^\prime(v))\,dv-\int\limits_a^b\cdots\,=0}\nonumber\\ &=\int\limits_\alpha\phi=\int\limits_\mc{C}\phi\end{align}$$

Hay distintas formas equivalentes de definir una 1-forma; aquí la que sirve de manera inmediata es
$$\omega:T(M)\to{C}^\infty(M)$$ donde $T(M)$ es el conjunto de todos los vectores en $M$ (el espacio total del fibrado tangente de $M$) y $C^\infty(M)$ el conjunto de funciones suaves infinitamente diferenciables; en particular, en un punto $p\in{M}$, se tiene $\omega:T_p(M)\to\mathbb{R}$ que también se llama vector cotangente o covector, con $T_p(M)$ el espacio tangente en $p$. Localmente, i.e. en una vecindad $U$ de $p$, el espacio es (isomorfo a) $\mathbb{R}^n$ y se pueden emplear coordenadas locales $x^i$ de modo que $\{\p_i\}$ constituya una base de vectores en cualquier $T_p(M)$ y $\{dx^i\}$ una base de covectores en $T^*_p(M)$, el espacio cotangente de $M$ en $p$ (asumo que se conoce esto, como sea, una explicación rápida y clara en este documento, o bien una más extensa en el libro de Nakahara), tal que $dx^i(\p_j)=\delta^i_j$.

Así, si localmente $\omega=\omega_idx^i$ con $\omega_i\in{C}^\infty(U)$ y $\vec{v}=v^i\p_i$, tenemos que
$$\omega(\vec{v})=\omega_idx^i(v^j\p_j)=v^i\omega_i$$ (de ahí que $\phi(0)=0$) También es útil recordar la definición de la derivada exterior, o en particular de la diferencial
$$d:C^\infty(M)\to{T}^*(M)$$ que localmente manda funciones $f:U\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ a 1-formas a través de
$$df=\p_if\,dx^i$$ de modo que también, en general
$$df(\vec{v})=v^i\p_if$$

es decir, obtenemos que la integral de una 1-forma cerrada $\phi$ a través de un circuito $\mc{C}$ en una región simplemente-conexa es cero,
$$\begin{equation}\oint\limits_\mc{C}\phi=0\end{equation}$$ que no es más que decir que si tomamos dos puntos $p$ y $q$ y dos curvas que los unan, $\delta$ y $\eta$, de modo que $\mc{C}=\delta-\eta$,
$$\begin{equation}\int\limits_\delta\phi=\int\limits_\eta\phi\end{equation}$$ i.e. la integral será independiente de los caminos $\delta$ y $\eta$. Usualmente también ésta se toma como una definición equivalente de una forma exacta, e.g. en cursos de termodinámica, donde se toma prácticamente como definición. Sabemos entonces que la integral sólo dependerá de $p$ y $q$; supongamos que fijamos $q$ y dejamos que $p$ sea cualquier punto en $U$, entonces podemos proponer una función $\varphi\in{C}^\infty(U)$ tal que
$$\begin{equation}\varphi(p)=\int\limits_\eta\phi\end{equation}$$ Más generalmente, consideremos $\eta:[a,b]\to{U}$ y algún $t\in[a,b]$ de modo que tengamos en mente el segmento $\eta_t:[a,t]\to{U}$ y cualquier punto dinámico $\eta(t)$,
$$\begin{equation}\varphi\left(\eta(t)\right)=\int\limits_{\eta_t}\phi=\int_a^t\phi(\eta^\prime(u))\,du\label{poin1}\end{equation}$$ Considerando $\eta(t)$ en coordenadas locales de modo que $d\varphi=\p_i\varphi\,dx^i$, sea entonces $f:U\to\mathbb{R}$ una función cualquiera de modo que $\frac{df(\eta(t))}{dt}=\frac{dx^i}{dt}\frac{\p{f}}{\p{x}^i}$, entonces $\eta^\prime(t)=\frac{dx^i(\eta(t))}{dt}\p_i$ en coordenadas locales, lo que nos permite calcular que
$$\begin{equation}d\varphi\left(\eta^\prime(t)\right)=\frac{\p\varphi}{\p{x}^i}\frac{dx^i}{dt}=\frac{d\varphi(\eta(t))}{dt}\end{equation}$$ lo que entonces lleva por ($\ref{poin1}$) a que
$$\begin{equation}d\varphi(\eta^\prime(t))=\phi\left(\eta^\prime(t)\right)\end{equation}$$ y $\eta^\prime(t)$ es un vector definido en cada punto de $\eta$ que a su vez es arbitraria siempre que su imagen y su último punto estén en la región simplemente conexa $U\subset{M}$, de modo entonces que en general
$$\begin{equation}d\varphi=\phi\end{equation}$$ lo que prueba el lema para 1-formas.

Henri Poincaré dibujado por David Levine.
Fuente: www.nybooks.com/galleries/david-levine-illustrator

El lema de Poincaré naturalmente es válido para p-formas con $p\geq1$. El famoso libro de Nakahara, disponible en línea aquí, tiene una demostración sencilla que a lo más requiere la generalización de una nulhomotopía a un punto $p\in{U}$ como $H:U\times[0,1]\to{U}$ con $H(u,0)=u$ y $H(u,1)=p$ para $u\in{U}$ y la definición del pullback de una forma diferencial por una función. Seguramente también es posible generalizar los mismos pasos para p-formas que los que mostré para 1-formas, aunque probablemente sea más laborioso que la demostración de Nakahara; en general debe haber muchas formas y otras muy sencillas de probar el lema.

A fin de cuentas, de cualquier modo, el lema es prácticamente siempre, o lo que es lo mismo, es válido siempre localmente.

Traducción al cálculo vectorial en $\mathbb{R}^3$
Del lema de Poincaré surgen todas las propiedades lindas que se usan en termodinámica con derivadas parciales para las variables de estado; como sea, la situación es realmente más elaborada que esto, aunque a los físicos les sea poco útil esta formalidad.

En general todo espacio vectorial $V$ tiene un espacio dual $V^*$ en el sentido de que existen mapeos de $V$ en $\mathbb{R}$. En el caso de variedades, al menos siempre localmente, se puede proveer un isomorfismo (o difeomorfismo) entre ambos a través de la métrica. El caso de $\mathbb{R}^3$ es bastante lindo como motivación para aprender el lenguaje de las formas diferenciales, que si bien no cambian el contenido, hacen las cosas mucho más sencillas y elegantes. Un ejemplo es el electromagnetismo, que usualmente se formula usando cálculo vectorial, e.g. puedes consultar: Maxwell's equations in terms of differential forms (que en general también sirve para introducirse como físico a las formas diferenciales), y en general muchos temas en física matemática como las teorías de norma (GFT's) están formuladas en estos términos. Adelante sólo asumo primero tres dimensiones y luego paso a $\mathbb{R}^3$ (asumiendo coordenadas cartesianas).

La playera que se ha visto utilizan l@s jóvenes cool de hoy $$F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge{d}x^\nu$$

0-formas
Primero, en el caso de 0-formas o funciones $\varphi\in\Omega^0$, evidentemente el isomorfismo $\Omega^0\to\Omega^0=C^\infty$ es una identidad $\varphi\mapsto{\varphi}$.

1-formas
Para 1-formas $\phi\in\Omega^1$, se tiene localmente $\phi=\phi_idx^i$ y a través de una métrica, $g$ se obtiene
$$\begin{align}g^{-1}(\phi,\sigma)&=g^{ij}\phi_i\sigma_j\nonumber\\ &=g^{i\beta}\phi_i\sigma_\alpha\delta^\alpha_\beta\nonumber\\ &=g^{i\beta}\phi_i\p_\beta(\sigma_\alpha{d}x^\alpha)=\phi^i\p_i(\sigma)\end{align}$$ esto es, $g^{-1}(\phi,\cdot)=g^{ij}\phi_i\p_j$, en general, $\phi\mapsto{g}^{-1}(\phi,\cdot)$. Ahora bien, considerando que $d:\Omega^p\to\Omega^{p+1}$, tenemos que $d\varphi\mapsto{g}^{ij}(\p_i\varphi)\p_j$ que en el caso del contradominio ${C}^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$, con $g^{ij}=\delta^{ij}=\delta_{ij}$, se reduce a $d\varphi\mapsto\nabla\varphi$. Así, el lema de Poincaré en el cálculo vectorial Euclídeo se traduce en que campos conservativos son campos gradiente,
$$\begin{equation}\phi=d\varphi\longleftrightarrow\vec{\phi}=\nabla\varphi\end{equation}$$ donde $\vec\phi={g}^{-1}(\phi,\cdot)$. La correspondencia mediante la métrica $g$ se llama el isomorfismo musical, que tiene tanto el isomorfismo $\sharp:\Omega^1\to{V}$ como su inversa $\flat:V\to\Omega^1$ (hasta donde sé, el nombre es simplemente por los símbolos de sostenido $\sharp$ y bemol $\flat$) y puede señalarse de manera más sencilla, e.g. en este caso el isomorfismo en términos de $\sharp$ es
$$\begin{equation}\phi\mapsto\phi^\sharp=g^{ij}\phi_i\p_j\end{equation}$$

2-formas
Para 2-formas $\omega\in\Omega^2$, localmente, $\omega=\omega_{ij}dx^i\wedge{d}x^j=\frac{\omega_{ij}}{2}(dx^i\otimes{d}x^j-dx^j\otimes{d}x^i)$. Ahora bien, aunque el isomorfismo musical puede extenderse en general para mandar $\bigotimes\limits^pT(M)$ en $\bigotimes\limits^pT^*(M)$ (que no es exactamente el espacio de p-formas) y viceversa, lo que nos interesa es mandar 2-formas en campos vectoriales o funciones. Si consideramos dos 1-formas $\alpha$ y $\beta$, localmente podemos formar la 2-forma
$$\begin{align}\alpha\wedge\beta&=\alpha_i\beta_j{d}x^i\wedge{d}x^j\nonumber\\ &=(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)dx^1\wedge{d}x^2+(\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2)dx^2\wedge{d}x^3+(\alpha_3\beta_1-\alpha_1\beta_3)dx^3\wedge{d}x^1\end{align}$$ donde los coeficientes tienen exactamente la misma cara que los de un producto cruz de vectores 3-dimensional. El operador necesario en este caso es el dual (o estrella) de Hodge $\star:\Omega^p\to\Omega^{(n-p)}$, definido por
$$\begin{equation}\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{i_p})\equiv\frac{\sqrt{|g|}}{(n-p)!}{\epsilon^{i_1\cdots{i}_p}}_{j_1\cdots{j}_{n-p}}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{j_{n-p}}\end{equation}$$ que entonces aquí mandará 2-formas en 1-formas a través de (asumo $\sqrt{|g|}=1$ en adelante)
$$\begin{equation}\star(dx^i\wedge{d}x^j)={\epsilon^{ij}}_kdx^k\end{equation}$$ de modo que en tres dimensiones $\star(\alpha\wedge\beta)=\vec{\alpha}\times\vec{\beta}$ y entonces el isomorfismo $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\to{C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)}$ es (empleo $\{\mathrm{e}_i\}$ como la base de vectores)
$$\begin{equation}\omega\mapsto(\star\omega)^\sharp=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\end{equation}$$ Si además $\omega$ es cerrada, también por lema de Poincaré $\omega=d\phi$ y así
$$\begin{equation}(\star\,d\phi)^\sharp=\epsilon_{ijk}\p_i\phi_j\mathrm{e}_k=\nabla\times\phi^\sharp\label{conm1}\end{equation}$$ de modo que la versión equivalente del lema es $\vec{\omega}=\nabla\times\vec\phi$, i.e. la versión para campos rotacionales. Si nuevamente $\phi$ es cerrada y por el lema también exacta, se tiene la equivalencia de que los campos conservativos son también irrotacionales,
$$\begin{equation}\omega=d\phi=d^2\varphi=0\longleftrightarrow\vec\omega=\nabla\times\vec\phi=\nabla\times\nabla\varphi=0\end{equation}$$

3-formas
Finalmente la estrella de Hodge manda 3-formas $\psi\in\Omega^3$, localmente $\psi=\psi_{ijk}dx^i\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k$ en 0-formas, entonces
$$\begin{equation}\psi\mapsto\star\psi=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{equation}$$ es un isomorfismo $\Omega^3\to\Omega^0=C^\infty$ inducido naturalmente. En este caso si $\psi=d\omega$, en $\mathbb{R}^3$,
$$\begin{equation}\star{d}\omega=\epsilon_{ijk}\p_k\omega_{ij}=\nabla\cdot(\star\omega)^\sharp\end{equation}$$ de modo que el lema se traduce en $\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega$; si aún a su vez $\omega=d\phi$, se tiene la equivalencia de que los campos rotacionales son libres de divergencia,
$$\begin{equation}\psi=d\omega=d^2\psi=0\longleftrightarrow\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega=\nabla\cdot(\nabla\times\vec\phi)=0\end{equation}$$ Nota de cualquier modo que también, en general para cualquier 1-forma $\zeta\in\Omega^1$ se puede formar
$$\begin{align}\star{d}\star\zeta&=\star{d}\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\zeta_idx^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\ &=\star\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i\,dx^\ell\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}\epsilon^{\ell{j}k}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i=\delta^{\ell{i}}\p_\ell\zeta_i\stackrel{\mathbb{R}^3}{=}\nabla\cdot\zeta^\sharp\end{align}$$ de manera que igualmente se puede construir $\star{d}\star{d}\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi$.

El complejo de De Rham
Esto usualmente se hace de manera inversa, es decir, pasando de las relaciones del cálculo vectorial a las de las formas diferenciales, de cualquier modo esta manera también es útil y asimismo sirve para notar la generalidad de las p-formas. El siguiente diagrama (formalmente llamado complejo de De Rham)
$$\matrix{ \Omega^0(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3(\mathbb{R}^3) \cr \big\downarrow\small{\mathrm{Id}}& & \big\downarrow\small{\sharp} & & \big\downarrow\small{\sharp\circ\star} & & \big\downarrow\small{\star} \cr C^\infty(\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3) \cr}$$ con
$$\begin{align}\mathrm{Id}(\varphi)&=\varphi\\ \sharp(\phi_idx^i)&=\phi_i\mathrm{e}_i\\ \sharp\circ\star(\omega_{ij}dx^i\wedge{dx}^j)&=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\\ \star(\psi_{ijk}dx^i\wedge{dx}^j\wedge{dx}^k)&=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{align}$$ encapsula de manera bastante concisa toda la información anterior. Como se vio, el diagrama conmuta, i.e. se llega al mismo lugar sin importar qué flechas se sigan.