Bueno hoy he trabajado con la exponencial compleja y me han presentado la fórmula considerada la más bella de las matemáticas, a saber
$$e^{i\pi}+1=0$$ …oportunamente mi profesor de variable compleja ha dicho que si esta fórmula no nos conmueve, simplemente debemos dedicarnos a otra cosa; toda persona con conocimientos matemáticos vulgares y silvestres nota las constantes matemáticas, las operaciones y los números naturales fundamentales en esa cortísima fórmula.
Bien, veamos qué dice esta ecuación; porqué es verdadera. Para ello primero introduciré la fórmula de Euler.
Sabemos que podemos desarrollar $\displaystyle{e^{x},x\in\mathbb{R}}$ en serie de potencias como
$$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$ esto es,
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$ entonces, se sigue que
$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\cdots$$ recordemos ahora que
$$i=\sqrt{-1}\,\Longleftrightarrow\,{i^{2}=-1}$$ por lo que podemos simplificar nuestra ecuación como
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$$ Recordemos que un número complejo z tiene la forma ${z=u+iv}$, con $\displaystyle{u,v\in\mathbb{R}}$, entonces convenientemente escribimos que
$$e^{ix}=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)+i\;\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)$$ …hmmmm, esas series infinitas en lo que llamamos u,v parecen conocidas… tal vez sean las primeras series que nos enseñaron para ejemplificar las series de Taylor… Claro!
$$e^{ix}=\cos{x}+i\;{\sin{x}}$$ Y voilà! ésta es la llamada fórmula de Euler. Inmediatamente se sigue que ${e^{z}=e^{u}\left(\cos{v}+i\;\sin{v}\right)}$ , que es la exponencial compleja. En el plano complejo vemos esto así
La identidad de Euler es un caso particular de la fórmula de Euler, para la que según lo que hemos dicho, ${x=\pi}$, y entonces se tiene
$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\;\sin(\pi)=-1$$ …es decir
$$e^{i\pi}+1=0$$ Esta fórmula es sumamente celebrada por la comunidad matemática y científica, y no podía ser para menos. El análisis complejo resulta una tentación enorme para quien disfruta de las matemáticas, el nombre complejo simplemente ha sido acarreado, mas sin embargo es una parte del análisis que nos revela una infinidad de hechos que generalmente ignoramos y que el análisis de variable real calla.
Ya habrá notado el lector que la exponencial compleja es una función periódica, mientras que para una exponencial real siempre hemos pensado en una función monótona, ésta y otras propiedades hacen en sumo interesante aventarse un clavado al análisis complejo.
Las curvas de nivel de la parte imaginaria de la exponencial compleja se ven algo así (la periodicidad es evidente).
$$e^{i\pi}+1=0$$ …oportunamente mi profesor de variable compleja ha dicho que si esta fórmula no nos conmueve, simplemente debemos dedicarnos a otra cosa; toda persona con conocimientos matemáticos vulgares y silvestres nota las constantes matemáticas, las operaciones y los números naturales fundamentales en esa cortísima fórmula.
Bien, veamos qué dice esta ecuación; porqué es verdadera. Para ello primero introduciré la fórmula de Euler.
Sabemos que podemos desarrollar $\displaystyle{e^{x},x\in\mathbb{R}}$ en serie de potencias como
$$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$ esto es,
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$ entonces, se sigue que
$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\cdots$$ recordemos ahora que
$$i=\sqrt{-1}\,\Longleftrightarrow\,{i^{2}=-1}$$ por lo que podemos simplificar nuestra ecuación como
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$$ Recordemos que un número complejo z tiene la forma ${z=u+iv}$, con $\displaystyle{u,v\in\mathbb{R}}$, entonces convenientemente escribimos que
$$e^{ix}=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)+i\;\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)$$ …hmmmm, esas series infinitas en lo que llamamos u,v parecen conocidas… tal vez sean las primeras series que nos enseñaron para ejemplificar las series de Taylor… Claro!
$$e^{ix}=\cos{x}+i\;{\sin{x}}$$ Y voilà! ésta es la llamada fórmula de Euler. Inmediatamente se sigue que ${e^{z}=e^{u}\left(\cos{v}+i\;\sin{v}\right)}$ , que es la exponencial compleja. En el plano complejo vemos esto así
$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\;\sin(\pi)=-1$$ …es decir
$$e^{i\pi}+1=0$$ Esta fórmula es sumamente celebrada por la comunidad matemática y científica, y no podía ser para menos. El análisis complejo resulta una tentación enorme para quien disfruta de las matemáticas, el nombre complejo simplemente ha sido acarreado, mas sin embargo es una parte del análisis que nos revela una infinidad de hechos que generalmente ignoramos y que el análisis de variable real calla.
Ya habrá notado el lector que la exponencial compleja es una función periódica, mientras que para una exponencial real siempre hemos pensado en una función monótona, ésta y otras propiedades hacen en sumo interesante aventarse un clavado al análisis complejo.
Las curvas de nivel de la parte imaginaria de la exponencial compleja se ven algo así (la periodicidad es evidente).
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