La tautócrona

La tautócrona o isócrona es una curva tal que si deslizamos un cuerpo sin fricción a partir del reposo sobre ella, le tomará el mismo tiempo llegar al punto más bajo de la curva desde cualquier punto inicial. El nombre deriva del griego tauto, por mismo y chronos, por tiempo.

El problema es determinar la forma de la curva que describe la tautócrona. Puede resolverse de diversas formas (generalmente por principio variacional) y siempre se llegará a que la curva que satisface la tautócrona es una cicloide, que es un tipo de las curvas llamadas ruletas, que se generan al girar alguna otra curva (usualmente una circunferencia).

La ecuación paramétrica más usada de la curva (2D) es ${r\left(t-\sin{t},\,\cos{t}\right)}$, donde r en este caso nos daría información sobre la altura inicial a la que se deja caer el cuerpo. Asimismo el tiempo requerido para que el cuerpo se deslice siempre será ${\pi\sqrt{\frac{r}{g}}}$, con g la aceleración gravitacional. Otra propiedad interesante es que la tautócrona es también la braquistócrona; i.e. la curva que es recorrida en el menor tiempo posible por el cuerpo. Hallar ambas curvas representaba dos problemas distintos que finalmente resultaron tener la misma solución  ;) .