Se sabe de antemano, como consecuencia inmediata del Teorema fundamental del álgebra, que dada una función f polinomial, entera, y no constante, ésta asumirá cada valor en $\mathbb{C}$.
El Pequeño Teorema de Picard asegura que toda función entera no constante asume todos los valores complejos salvo a lo sumo uno. Sin embargo este teorema se sigue como corolario del llamado Gran Teorema de Picard que afirma que en cualquier entorno de una singularidad esencial, una función entera no constante toma todo valor finito, con una única posible excepción, infinitas veces.
Éste es un resultado muy importante para funciones enteras, no constantes y no polinomiales, que describe el comportamiento local en un punto singular esencial.
El Pequeño Teorema de Picard es un gran refuerzo al Teorema de Liouville, que afirma que toda función entera y acotada es constante pues para el Pequeño Teorema de Picard, si una función f entera omite al menos dos números en $\mathbb{C}$, entonces f debe ser constante. Por ello se sigue como corolario del Teorema de Liouville que funciones enteras no constantes son densas en $\mathbb{C}$, es decir que ${\forall\,\alpha\in\mathbb{C}\;,\varepsilon>0}$ existe ${z\in\mathbb{C}}$ tal que ${|f(z)-\alpha|<\varepsilon}$. Este es un resultado muy importante y fácil de demostrar apoyados en el Teorema de Liouville.
Supongamos que f entera y no constante no es densa en ${\mathbb{C}}$, entonces si ${g(z)=f(z)-\alpha}$, también ${|g(z)|\geq\varepsilon}$ para todo z. Pero entonces podríamos decir que ${1/g(z)}$ sería una función entera y acotada, lo que significaría que ${f(z)}$ también sería acotada, y por el Teorema de Liouville ${f(z)}$ sería constante, por lo que concluimos que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$.
Esto nos acerca un poco más al resultado de Picard, pero para entender un poco más del comportamiento de una función cerca de una singularidad esencial y acercarnos aun más al Gran Teorema de Picard, debemos hablar del siguiente Teorema de Casorati-Weierstrass.
Bien, ya se ha dicho que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$. El Teorema de Casorati-Weierstrass nos habla en términos muy similares para la vecindad de una singularidad esencial de f. En general, este Teorema afirma que en todo entorno perforado de una singularidad esencial, una función f toma valores arbitrariamente próximos a cualquier número dado.
Sea f una función holomorfa con una singularidad esencial en ${z_0}$ y sea ${w_0}$ cualquier número complejo. Entonces para todo ${\varepsilon>0}$ se satisface
$$|f(z)-w_0|<\varepsilon$$ en algún punto z de cualquier entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de ${z_0}$.
Lo que nos dice lo anterior es que f se hace arbitrariamente cercana a cualquier número complejo en toda vecindad de ${z_0}$. La demostración no es muy complicada si se procede de manera similar a la realizada para demostrar que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$, sin embargo para el extra necesario, me apoyaré -sin hacer la propia demostración- en el llamado Teorema de Riemann, que se lee: Sea f una función analítica y acotada en un entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de un punto ${z_0}$. Si f no es analítica en ${z_0}$, tiene una singularidad removible en ese punto.
Supongamos entonces que ${|f(z)-w_0|\geq{0}}$ cuando ${0<|z-z_0|<\delta}$ y definamos ahora
$$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}$$ que también es holomorfa y por la suposición hecha, acotada. Por el Teorema de Riemann, ${z_0}$ sería una singularidad removible de g y veamos entonces que
$$f(z_0)=\frac{1}{z_0}+w_0\hspace{0.5in}\left(\,0<|z-z_0|<\delta\,\right)$$ lo que por contradicción demuestra el Teorema de Casorati-Weierstrass.
Ahora es más sencilla una noción del Teorema de Picard, pues representa una forma mucho más amplia y fuerte del Teorema de Liouville y del Teorema Casorati-Weierstrass.
Véase que la función
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6z}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!\,z^k}\hspace{0.75in}|z|>0$$ tiene una singularidad esencial en ${z_0=0}$. Podemos recordar un momento la fórmula de Euler, en donde
$$e^{(2n-1)i\pi}=-1\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ Así entonces si
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=-1$$ se tiene que
$$z=\frac{1}{(2n-1)i\pi}=-\frac{i}{(2n-1)\pi}\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ y de aquí es claro que existe una infinidad de puntos que satisfacen lo anterior entorno del origen.
El anterior es el ejemplo al que más se recurre. Puede verse además que el hecho de que f asuma a lo más una excepción es característico de ambos -Pequeño y Grande- Teoremas de Picard ya que $\displaystyle{e^{z}}$ es entera no constante y de igual modo nunca toma el valor 0.
Otro ejemplo sencillo a considerar es para la función
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1-\frac{1}{2\,z^2}+\frac{1}{4!\,z^4}-\frac{1}{6!\,z^6}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{1}{z}\right)^{2k}}{(2k)!}\hspace{0.75in}|z|>0$$ Se sabe que
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left[\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)\right]$$ Digamos que buscamos $\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1}$, entonces
$$\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)=2$$ y de manera análoga al ejemplo anterior, se puede ver que
$$z=\frac{1}{2\pi{n}}\hspace{0.75in}n\neq{0}\,,n\in\mathbb{Z}$$ y de nuevo existe una infinidad de puntos entorno del origen que satisfacen lo anterior.
El Pequeño Teorema de Picard asegura que toda función entera no constante asume todos los valores complejos salvo a lo sumo uno. Sin embargo este teorema se sigue como corolario del llamado Gran Teorema de Picard que afirma que en cualquier entorno de una singularidad esencial, una función entera no constante toma todo valor finito, con una única posible excepción, infinitas veces.
Éste es un resultado muy importante para funciones enteras, no constantes y no polinomiales, que describe el comportamiento local en un punto singular esencial.
El Pequeño Teorema de Picard es un gran refuerzo al Teorema de Liouville, que afirma que toda función entera y acotada es constante pues para el Pequeño Teorema de Picard, si una función f entera omite al menos dos números en $\mathbb{C}$, entonces f debe ser constante. Por ello se sigue como corolario del Teorema de Liouville que funciones enteras no constantes son densas en $\mathbb{C}$, es decir que ${\forall\,\alpha\in\mathbb{C}\;,\varepsilon>0}$ existe ${z\in\mathbb{C}}$ tal que ${|f(z)-\alpha|<\varepsilon}$. Este es un resultado muy importante y fácil de demostrar apoyados en el Teorema de Liouville.
Supongamos que f entera y no constante no es densa en ${\mathbb{C}}$, entonces si ${g(z)=f(z)-\alpha}$, también ${|g(z)|\geq\varepsilon}$ para todo z. Pero entonces podríamos decir que ${1/g(z)}$ sería una función entera y acotada, lo que significaría que ${f(z)}$ también sería acotada, y por el Teorema de Liouville ${f(z)}$ sería constante, por lo que concluimos que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$.
Esto nos acerca un poco más al resultado de Picard, pero para entender un poco más del comportamiento de una función cerca de una singularidad esencial y acercarnos aun más al Gran Teorema de Picard, debemos hablar del siguiente Teorema de Casorati-Weierstrass.
Bien, ya se ha dicho que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$. El Teorema de Casorati-Weierstrass nos habla en términos muy similares para la vecindad de una singularidad esencial de f. En general, este Teorema afirma que en todo entorno perforado de una singularidad esencial, una función f toma valores arbitrariamente próximos a cualquier número dado.
Sea f una función holomorfa con una singularidad esencial en ${z_0}$ y sea ${w_0}$ cualquier número complejo. Entonces para todo ${\varepsilon>0}$ se satisface
$$|f(z)-w_0|<\varepsilon$$ en algún punto z de cualquier entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de ${z_0}$.
Lo que nos dice lo anterior es que f se hace arbitrariamente cercana a cualquier número complejo en toda vecindad de ${z_0}$. La demostración no es muy complicada si se procede de manera similar a la realizada para demostrar que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$, sin embargo para el extra necesario, me apoyaré -sin hacer la propia demostración- en el llamado Teorema de Riemann, que se lee: Sea f una función analítica y acotada en un entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de un punto ${z_0}$. Si f no es analítica en ${z_0}$, tiene una singularidad removible en ese punto.
Supongamos entonces que ${|f(z)-w_0|\geq{0}}$ cuando ${0<|z-z_0|<\delta}$ y definamos ahora
$$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}$$ que también es holomorfa y por la suposición hecha, acotada. Por el Teorema de Riemann, ${z_0}$ sería una singularidad removible de g y veamos entonces que
$$f(z_0)=\frac{1}{z_0}+w_0\hspace{0.5in}\left(\,0<|z-z_0|<\delta\,\right)$$ lo que por contradicción demuestra el Teorema de Casorati-Weierstrass.
Ahora es más sencilla una noción del Teorema de Picard, pues representa una forma mucho más amplia y fuerte del Teorema de Liouville y del Teorema Casorati-Weierstrass.
Véase que la función
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6z}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!\,z^k}\hspace{0.75in}|z|>0$$ tiene una singularidad esencial en ${z_0=0}$. Podemos recordar un momento la fórmula de Euler, en donde
$$e^{(2n-1)i\pi}=-1\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ Así entonces si
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=-1$$ se tiene que
$$z=\frac{1}{(2n-1)i\pi}=-\frac{i}{(2n-1)\pi}\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ y de aquí es claro que existe una infinidad de puntos que satisfacen lo anterior entorno del origen.
El anterior es el ejemplo al que más se recurre. Puede verse además que el hecho de que f asuma a lo más una excepción es característico de ambos -Pequeño y Grande- Teoremas de Picard ya que $\displaystyle{e^{z}}$ es entera no constante y de igual modo nunca toma el valor 0.
Otro ejemplo sencillo a considerar es para la función
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1-\frac{1}{2\,z^2}+\frac{1}{4!\,z^4}-\frac{1}{6!\,z^6}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{1}{z}\right)^{2k}}{(2k)!}\hspace{0.75in}|z|>0$$ Se sabe que
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left[\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)\right]$$ Digamos que buscamos $\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1}$, entonces
$$\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)=2$$ y de manera análoga al ejemplo anterior, se puede ver que
$$z=\frac{1}{2\pi{n}}\hspace{0.75in}n\neq{0}\,,n\in\mathbb{Z}$$ y de nuevo existe una infinidad de puntos entorno del origen que satisfacen lo anterior.
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