El teorema integral de Cauchy

Bueno, últimamente he estado bastante ocupado y no he trabajado mas que con lo necesario para asimilar nuevos conceptos y distintos problemas no necesariamente extraordinarios. Sin embargo quiero exponer el teorema de Cauchy por su importancia y por su belleza intrínseca, así como una de sus demostraciones (se dice que la propia de Cauchy). El teorema integral de Cauchy se lee:

Si $f(z)$ es analítica en un dominio simplemente conexo $\mathcal{D}$, para todo contorno $C$ en $\mathcal{D}$ se cumple
$$\oint_Cf(z)\,dz=0$$

Este teorema es de lo más conmovedor si además consideramos su demostración para el caso ${f^\prime(z)}$ continua.

Sabemos que ${f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$. Si para la integral de línea se tiene
$$S_n=\sum_{m=1}^n(u+iv)(\Delta{x}_m+i\Delta{y}_m)\\[0.1in]\lim_{n\to\infty}S_n=\int_{\tilde{C}}f(z)\,dz=\int_{\tilde{C}}\left(u\,dx-v\,dy\right)+i\int_{\tilde{C}}\left(u\,dy+v\,dx\right)$$ entonces análogamente, para un contorno $C$,
$$\oint_Cf(z)\,dz=\oint_{C}\left(u\,dx-v\,dy\right)+i\,\oint_{C}\left(u\,dy+v\,dx\right)$$ Como consideramos el caso en que ${f^\prime(z)}$ es continua, $u$ y $v$ tienen derivadas parciales continuas en $\mathcal{D}$.

Lo conmovedor de esta demostración, es que es aplicable el teorema de Green, que nos dice que si ${u,\,v}$ tienen derivadas parciales continuas en una región abierta $R$ en $\mathcal{D}$, se cumple
$$\int_{\tilde{C}}(u\,dx-v\,dy)=\iint\limits_{R}\left(-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}-\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)\,dx\,dy$$ ...y como la gente sabe, para toda función analítica en $\mathcal{D}$ se deben cumplir las ecuaciones Cauchy- Riemann, a saber:
$$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}\hspace{0.5in}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$$ Y con ello se ha demostrado el teorema integral de Cauchy para ${f^\prime{(z)}}$ continua.

Además, una de las consecuencias más importantes de este teorema es la llamada fórmula integral de Cauchy, que dice que
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$ con $C$ un contorno que encierra al punto ${z_0}$. O bien, se tiene también la llamada forma diferencial de la fórmula,
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,\hspace{0.1in}\forall{n}\in\mathbb{N}$$ Édouard Goursat, un matemático francés, demostró por el año 1900 la demostración del teorema integral de Cauchy sin la condición ${f^\prime{(z)}}$ continua, que además contribuye, por ejemplo, al hecho de que la derivada de una función analítica también sea analítica.

En el siguiente documento puede encontrarse información detallada y la demostración de Goursat. ["El teorema integral de Cauchy y algunas de sus consecuencias"]