La densidad de corriente asociada a la función de onda $\psi$, en mecánica cuántica, está dada por
$$\mathbf{S}\equiv\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)$$ y sin embargo uno puede ahorrarse un cálculo infernal si decide simplificar un poco esta expresión. En general se sabe que
$$\mathbf{S}=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)$$ aunque rara vez se muestra cómo se obtuvieron las últimas relaciones. Solamente hay que recordar que
$$\Re(z)=\frac{1}{2}(z+z^*)\hspace{0.5in}\Im(z)=\frac{1}{2}(z-z^*)$$ para todo ${z\in\mathbb{C}}$. De aquí se sigue fácilmente que si ${z=\psi^*\nabla\psi}$, entonces, ${z^*=\psi\nabla\psi^*}$, y de este modo se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]\end{align*} y de manera análoga, si ${z=\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi}$, entonces ${z=-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*}$, y se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{1}{2}\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)\end{align*} Quizá no estaría de más que se comentara esto un poco en la literatura, ya que al principio parece un tanto desconcertante, aunque en realidad sólo estén detrás un par de relaciones elementales de variable compleja.
$$\mathbf{S}\equiv\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)$$ y sin embargo uno puede ahorrarse un cálculo infernal si decide simplificar un poco esta expresión. En general se sabe que
$$\mathbf{S}=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)$$ aunque rara vez se muestra cómo se obtuvieron las últimas relaciones. Solamente hay que recordar que
$$\Re(z)=\frac{1}{2}(z+z^*)\hspace{0.5in}\Im(z)=\frac{1}{2}(z-z^*)$$ para todo ${z\in\mathbb{C}}$. De aquí se sigue fácilmente que si ${z=\psi^*\nabla\psi}$, entonces, ${z^*=\psi\nabla\psi^*}$, y de este modo se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]\end{align*} y de manera análoga, si ${z=\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi}$, entonces ${z=-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*}$, y se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{1}{2}\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)\end{align*} Quizá no estaría de más que se comentara esto un poco en la literatura, ya que al principio parece un tanto desconcertante, aunque en realidad sólo estén detrás un par de relaciones elementales de variable compleja.
No comments:
Post a Comment