He estado procurando introducirme por mi cuenta a QFT con estas notas de David Tong y he empezado por la teoría clásica. Como ilustra Abstruse Goose, el camino a la frontera de la física (no necesariamente cuerdas, como lo ilustra en una de las caricaturas) es un poco largo ;-)
En fin, me encontré con una cuestión interesante y que puede valer la pena discutir. El teorema de Noether puede leerse como
Lo que me interesa aquí es el caso particular de transformaciones de Lorentz infinitesimales, que tienen la forma
\begin{equation}{\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu\end{equation} con ${\omega^\mu}_\nu$ infinitesimal y antisimétrico (puedes probarlo a partir de la definición misma de ${\Lambda^\mu}_\nu$, i.e. $\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\alpha}_\mu{\Lambda^\beta}_\nu\eta_{\alpha\beta}$). En general una transformación de Lorentz para un escalar es $\phi(\Lambda)\to\phi(\Lambda^{-1}x)$; de la definición misma de la inversa, se puede ver que ${(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu-{\omega^\mu}_\nu$, entonces a primer orden en $\omega$,
\begin{align}\phi(x)&\to\phi(x^\mu-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu)\nonumber\\&\simeq\phi(x)-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi(x)\end{align} i.e.
\begin{equation}\delta\phi=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi\label{eq1}\end{equation}
El problema que me encontré (primero) fue con la variación de $\mc{L}$; precisamente por el resultado (\ref{eq1}), debería tenerse
\begin{equation}\delta\mc{L}=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\mc{L}\end{equation} que es exactamente lo mismo que $\delta\mc{L}=\p_\mu(-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mc{L})$, ya que ${\omega^\mu}_\nu\p_\mu{x}^\nu={\omega^\mu}_\nu{\delta^\nu}_\mu=0$ por la antisimetría de $\omega$. De cualquier modo si uno calcula directamente $\delta\mc{L}=\frac{\p\mc{L}}{\p\phi}\delta\phi+\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta(\p_\mu\phi)$, se obtiene que
\begin{equation}\delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi\label{2}\end{equation} donde la forma más sencilla de calcular $\delta(\p_\mu\phi)$ conociendo $\delta\phi$ es usar $\delta(\p_\mu\phi)=\p_\mu(\delta\phi)$ (que desconozco rigurosamente por qué es cierta, pero supongo que básicamente es porque el campo está en $\mathbb{R}^{1,3}$ y todo es lindo y continuo), de donde surge el término extra,
\begin{equation}\partial_\mu(\delta\phi)=-{\omega^\sigma}_\nu\left[{\delta^\nu}_\mu\partial_\sigma\phi+x^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\right]=-{\omega^\sigma}_\mu\partial_{\sigma}\phi-{\omega^\sigma}_\nu{x}^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\label{3}\end{equation} de cualquier modo uno puede emplear la regla de transformación de las derivadas del campo (básicamente la de una 1-forma o covector), $\partial_\mu\phi(x)\to{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)$, y se obtiene
\begin{align}{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\partial_\nu\phi(x^\sigma-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho)\nonumber\\&\simeq({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\left[\partial_\nu\phi(x)-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\nu}\phi(x)\right]\nonumber\\&=\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi\end{align} y en efecto $\delta(\p_\mu\phi)$ coincide con (\ref{3}).
Hice esta pregunta en Physics SE y la respuesta es de hecho sencilla: en (\ref{2}) se tiene que
\begin{equation}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi=0\end{equation} dado que $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\propto\p^\mu\phi$ pues $\mc{L}=\mc{L}(\phi,\p_\mu\phi)$ únicamente y la expresión se reduce a una contracción de un tensor antisimétrico $\omega^{\mu\nu}$ con uno simétrico $\p_\mu\phi\p_\nu\phi$.
El desconcierto tal vez me surge de que esperaba tener $\p_\mu\phi\to\p_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi$, como se señala en estas soluciones (sol 6) elaboradas por Peng Zhao (autor al que ya había encontrado antes estudiando AdS-Schwarzschild); el meollo tal vez es que simplemente lo escribe así y no lo calcula directamente; de cualquier modo, como se vio, el término extra al final no es relevante.
Considando luego el caso del Lagrangiano de campo electromagnético $\mc{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ (en vacío/sin carga) con $F_{\mu\nu}=\p_\mu{A}_\nu-\p_\nu{A}_\mu$, invariante ante transformaciones de norma $A_\mu\to{A}_\mu+\p_\mu\zeta$ con $\zeta=\zeta(x)$ suficientemente continua, nuevamente surge algo parecido. Al tomar traslaciones infinitesimales $x^\mu\to{x}^\mu+\epsilon^\mu$, puede considerarse una matriz ${{\tilde\Lambda}^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu$ en el grupo de Poincaré, de modo que el potencial $A$ transforma como $A^\mu(x)\to{\tilde{\Lambda}^\mu}_\nu{A}^\nu(x)(\tilde{\Lambda}^{-1}x)$, i.e. a primer orden en $\epsilon$,
\begin{align}A^\mu&\to({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)A^\nu(x^\sigma-\epsilon^\sigma)\nonumber\\&\simeq({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)[A^\nu(x)-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\nu(x)]\nonumber\\&=A^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu+\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu\end{align} y nuevamente sobra un término, $\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu$, respecto a lo que escribe Zhao (sol 7, simplemente $A^\mu\to{A}^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu$). En este caso es evidente que este término no es relevante pues es una derivada total y se sabe de antemano que $\mc{L}$ es invariante ante transformaciones de norma. Si nuevamente se calcula a pie la variación $\delta\mc{L}$, el resultado debe ser simplemente $\delta\mc{L}=\p_\mu(-\epsilon^\mu\mc{L})$, sabiendo que un escalar transforma como $\phi(x)\to\phi(\tilde{\Lambda}^{-1}x)=\phi(x)-\epsilon^\nu\p_\nu\phi$ bajo esta traslación; esto evidentemente ocurre, ya que $\mc{L}$ sólo depende de $\p_\mu{A}^\nu$ y al calcular $\p_\mu(\delta{A}^\nu)$, el término extra desaparece.
Podría haber quedado satisfecho con esto, de cualquier modo mi terquedad exigía al menos otra prueba de que este término extra es inofensivo, e.g. al calcular la corriente conservada. Como puede leerse en las notas de Tong, por teorema de Noether, la corriente conservada $j^\mu$ debida a una transformación de simetría $\phi\to\phi+\delta\phi$ está dada por
\begin{equation}j^\mu=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta\phi-f^\mu(\phi)\end{equation} En este caso en lugar del escalar $\phi$ se tiene el potencial vectorial $A^\mu$ y $f^\mu=-\epsilon^\mu\mc{L}$. Así, puede calcularse que la corriente conservada es
\begin{equation}j^\mu=-\epsilon^\sigma{T^\mu}_\sigma+\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\end{equation} donde
\begin{equation}{T^\mu}_\sigma=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\p_\sigma{A}^\nu-{\delta^\mu}_\sigma\mc{L}\end{equation} es el tensor de energía-momento, que por construcción satisface $\p_\mu{T^\mu}_\sigma=0$; escribir $j^\mu$ de esta forma es conveniente porque se sabe que debe satisfacer $\p_\mu{j}^\mu=0$, de modo que
\begin{equation}\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\p_\mu\left(\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\right)=0\end{equation} lo que por supuesto ocurre, siendo que $\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\propto{F^\mu}_\nu$ y de las ec. de movimiento (Maxwell), $\p_\mu{F}^{\mu\nu}=0$. Esto da indicios de que todo sigue siendo consistente, como se espera; al final lo que tiene que ocurrir es que todo debe ser consistente con el teorema de Noether; diría que por ello es inofensivo desechar el término extra que aparece en la transformación de vectores (o los términos extras que aparecerían si se tratara de tensores de mayor rango) casi como se desechan los órdenes mayores del término infinitesimal.
En fin, me encontré con una cuestión interesante y que puede valer la pena discutir. El teorema de Noether puede leerse como
toda simetría continua del Lagrangiano $\mc{L}$ da cuenta a una corriente conservadasiempre que se relaciona con la acción por $S=\int{d}^4x\mc{L}$ y aquí consideraré un Lagrangiano $\mc{L}=\mc{L}(\phi,\p_\mu\phi)$ con el campo $\phi$ dependiente de las variables espaciotemporales $x$. En general se dice que una transformación infinitesimal $\phi\to\phi+\delta\phi$ es una simetría si la variación del Lagrangiano es una derivada total, i.e. si $\delta\mc{L}=\p_\mu{f}^\mu$ para algún $f=f(\phi)$.
Lo que me interesa aquí es el caso particular de transformaciones de Lorentz infinitesimales, que tienen la forma
\begin{equation}{\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu\end{equation} con ${\omega^\mu}_\nu$ infinitesimal y antisimétrico (puedes probarlo a partir de la definición misma de ${\Lambda^\mu}_\nu$, i.e. $\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\alpha}_\mu{\Lambda^\beta}_\nu\eta_{\alpha\beta}$). En general una transformación de Lorentz para un escalar es $\phi(\Lambda)\to\phi(\Lambda^{-1}x)$; de la definición misma de la inversa, se puede ver que ${(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu-{\omega^\mu}_\nu$, entonces a primer orden en $\omega$,
\begin{align}\phi(x)&\to\phi(x^\mu-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu)\nonumber\\&\simeq\phi(x)-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi(x)\end{align} i.e.
\begin{equation}\delta\phi=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi\label{eq1}\end{equation}
El problema que me encontré (primero) fue con la variación de $\mc{L}$; precisamente por el resultado (\ref{eq1}), debería tenerse
\begin{equation}\delta\mc{L}=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\mc{L}\end{equation} que es exactamente lo mismo que $\delta\mc{L}=\p_\mu(-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mc{L})$, ya que ${\omega^\mu}_\nu\p_\mu{x}^\nu={\omega^\mu}_\nu{\delta^\nu}_\mu=0$ por la antisimetría de $\omega$. De cualquier modo si uno calcula directamente $\delta\mc{L}=\frac{\p\mc{L}}{\p\phi}\delta\phi+\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta(\p_\mu\phi)$, se obtiene que
\begin{equation}\delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi\label{2}\end{equation} donde la forma más sencilla de calcular $\delta(\p_\mu\phi)$ conociendo $\delta\phi$ es usar $\delta(\p_\mu\phi)=\p_\mu(\delta\phi)$ (que desconozco rigurosamente por qué es cierta, pero supongo que básicamente es porque el campo está en $\mathbb{R}^{1,3}$ y todo es lindo y continuo), de donde surge el término extra,
\begin{equation}\partial_\mu(\delta\phi)=-{\omega^\sigma}_\nu\left[{\delta^\nu}_\mu\partial_\sigma\phi+x^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\right]=-{\omega^\sigma}_\mu\partial_{\sigma}\phi-{\omega^\sigma}_\nu{x}^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\label{3}\end{equation} de cualquier modo uno puede emplear la regla de transformación de las derivadas del campo (básicamente la de una 1-forma o covector), $\partial_\mu\phi(x)\to{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)$, y se obtiene
\begin{align}{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\partial_\nu\phi(x^\sigma-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho)\nonumber\\&\simeq({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\left[\partial_\nu\phi(x)-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\nu}\phi(x)\right]\nonumber\\&=\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi\end{align} y en efecto $\delta(\p_\mu\phi)$ coincide con (\ref{3}).
Hice esta pregunta en Physics SE y la respuesta es de hecho sencilla: en (\ref{2}) se tiene que
\begin{equation}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi=0\end{equation} dado que $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\propto\p^\mu\phi$ pues $\mc{L}=\mc{L}(\phi,\p_\mu\phi)$ únicamente y la expresión se reduce a una contracción de un tensor antisimétrico $\omega^{\mu\nu}$ con uno simétrico $\p_\mu\phi\p_\nu\phi$.
El desconcierto tal vez me surge de que esperaba tener $\p_\mu\phi\to\p_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi$, como se señala en estas soluciones (sol 6) elaboradas por Peng Zhao (autor al que ya había encontrado antes estudiando AdS-Schwarzschild); el meollo tal vez es que simplemente lo escribe así y no lo calcula directamente; de cualquier modo, como se vio, el término extra al final no es relevante.
Considando luego el caso del Lagrangiano de campo electromagnético $\mc{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ (en vacío/sin carga) con $F_{\mu\nu}=\p_\mu{A}_\nu-\p_\nu{A}_\mu$, invariante ante transformaciones de norma $A_\mu\to{A}_\mu+\p_\mu\zeta$ con $\zeta=\zeta(x)$ suficientemente continua, nuevamente surge algo parecido. Al tomar traslaciones infinitesimales $x^\mu\to{x}^\mu+\epsilon^\mu$, puede considerarse una matriz ${{\tilde\Lambda}^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu$ en el grupo de Poincaré, de modo que el potencial $A$ transforma como $A^\mu(x)\to{\tilde{\Lambda}^\mu}_\nu{A}^\nu(x)(\tilde{\Lambda}^{-1}x)$, i.e. a primer orden en $\epsilon$,
\begin{align}A^\mu&\to({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)A^\nu(x^\sigma-\epsilon^\sigma)\nonumber\\&\simeq({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)[A^\nu(x)-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\nu(x)]\nonumber\\&=A^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu+\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu\end{align} y nuevamente sobra un término, $\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu$, respecto a lo que escribe Zhao (sol 7, simplemente $A^\mu\to{A}^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu$). En este caso es evidente que este término no es relevante pues es una derivada total y se sabe de antemano que $\mc{L}$ es invariante ante transformaciones de norma. Si nuevamente se calcula a pie la variación $\delta\mc{L}$, el resultado debe ser simplemente $\delta\mc{L}=\p_\mu(-\epsilon^\mu\mc{L})$, sabiendo que un escalar transforma como $\phi(x)\to\phi(\tilde{\Lambda}^{-1}x)=\phi(x)-\epsilon^\nu\p_\nu\phi$ bajo esta traslación; esto evidentemente ocurre, ya que $\mc{L}$ sólo depende de $\p_\mu{A}^\nu$ y al calcular $\p_\mu(\delta{A}^\nu)$, el término extra desaparece.
Podría haber quedado satisfecho con esto, de cualquier modo mi terquedad exigía al menos otra prueba de que este término extra es inofensivo, e.g. al calcular la corriente conservada. Como puede leerse en las notas de Tong, por teorema de Noether, la corriente conservada $j^\mu$ debida a una transformación de simetría $\phi\to\phi+\delta\phi$ está dada por
\begin{equation}j^\mu=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta\phi-f^\mu(\phi)\end{equation} En este caso en lugar del escalar $\phi$ se tiene el potencial vectorial $A^\mu$ y $f^\mu=-\epsilon^\mu\mc{L}$. Así, puede calcularse que la corriente conservada es
\begin{equation}j^\mu=-\epsilon^\sigma{T^\mu}_\sigma+\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\end{equation} donde
\begin{equation}{T^\mu}_\sigma=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\p_\sigma{A}^\nu-{\delta^\mu}_\sigma\mc{L}\end{equation} es el tensor de energía-momento, que por construcción satisface $\p_\mu{T^\mu}_\sigma=0$; escribir $j^\mu$ de esta forma es conveniente porque se sabe que debe satisfacer $\p_\mu{j}^\mu=0$, de modo que
\begin{equation}\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\p_\mu\left(\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\right)=0\end{equation} lo que por supuesto ocurre, siendo que $\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\propto{F^\mu}_\nu$ y de las ec. de movimiento (Maxwell), $\p_\mu{F}^{\mu\nu}=0$. Esto da indicios de que todo sigue siendo consistente, como se espera; al final lo que tiene que ocurrir es que todo debe ser consistente con el teorema de Noether; diría que por ello es inofensivo desechar el término extra que aparece en la transformación de vectores (o los términos extras que aparecerían si se tratara de tensores de mayor rango) casi como se desechan los órdenes mayores del término infinitesimal.
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