La ecuación de Pauli relativista

Hace poco me encontré estas (también recientes) notas sobre GFT de Ben Gripaios:

Gauge Field Theory
Dr. Ben Gripaios (Cavendish Laboratory)
February, 2015

y en seguida llegué a una cuestión interesante: la ecuación de Pauli relativista. Esta ecuación al parecer no tiene acuñado popularmente un nombre; se trata de la ecuación que se obtiene al multiplicar por su conjugado a la ecuación de Dirac con acoplamiento minimal.

Wolfgang Pauli, mejor conocido por su principio de exclusión

De la ecuación de Dirac
$$\begin{equation}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0\end{equation}$$ se puede recuperar la ecuación de Klein-Gordon al multiplicar a la izquierda por su 'operador conjugado',
$$\begin{align}(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)(i\gamma^\nu\partial_\nu-m)\psi&=\left(-\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_{\mu\nu}-m^2\right)\psi\nonumber\\ &=\left(-\partial^2-m^2\right)\psi=0\end{align}$$ dado que, descomponiendo en partes simétrica y antisimétrica, $\gamma^\mu\gamma^\nu=\frac{1}{2}\left(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}+[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\right)$ y ya que $\partial_{\mu\nu}$ es simétrico, se sigue que $\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu\nu}$ pues la contracción de un tensor simétrico con uno antisimétrico es nula.

Uno puede intentar hacer lo mismo acoplando ahora un tensor (electromagnético) $F_{\mu\nu}\equiv\partial_\mu{A}_\nu-\partial_\nu{A}_\mu$ a través de
$$\begin{equation}\partial_\mu\to{D}_\mu\equiv\partial_\mu+ieA_\mu\end{equation}$$ que es el llamado acoplamiento minimal (de minimal coupling), a la ecuación de Dirac,
$$\begin{equation}\left(i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)-m\right)\psi=0\end{equation}$$ de modo que
$$\begin{equation}\left(i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)+m\right)\left(i\gamma^\nu(\partial_\nu+ieA_\nu)-m\right)\psi=0\label{pauli1}\end{equation}$$ lo que debería llevar a la ecuación (4.29) de las notas de Gripaios,
$$\begin{equation}\left(D^2+m^2+\frac{ie}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right)\psi=0\,\color{red}{?}\end{equation}$$ que es particularmente interesante porque para un escalar $\phi$ la ecuación de Dirac con acoplamiento minimal es simplemente $(D^2+m^2)\phi=0$, de modo que es en cierto sentido manifiesta la interacción de los electrones y los fotones a través del término extra. Esta ecuación es de hecho el caso relativista de la ecuación de Pauli; ésta es la forma sencilla de obtenerla, aunque así explicada es como sacada de la manga y propiamente uno tendría que partir del caso no relativista y generalizar usando la versión relativista de la energía total.

El primer problema es obtenerla, lo que debería ser pan comido siendo que se sugiere como ejercicio. De la ec. ($\ref{pauli1}$), se tiene que
$$\begin{equation}\left(\gamma^\mu\gamma^\nu{D}_{\mu\nu}+m^2\right)\psi=0\end{equation}$$ donde
$$\begin{align}\gamma^\mu\gamma^\nu{D}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}\left(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}+[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\right){D}_{\mu\nu}\nonumber\\ &=D^2+\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]{D}_{\mu\nu}\end{align}$$ y también
$$\begin{align}\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]{D}_{\mu\nu}&=\frac{1}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu][{D}_\mu,{D}_\nu]\nonumber\\ &=\frac{1}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu][\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]\end{align}$$ recordando que la contracción con la parte simétrica de $D_{\mu\nu}$ se anula; de aquí también
$$\begin{align}[\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]&=ie([\p_\mu,A_\nu]+[A_\mu,\p_\nu])\nonumber\\ &=ie\left(\p_\mu{A}_\nu-A_\nu\p_\mu+A_\mu\p_\nu-\p_\nu{A}_\mu\right)\end{align}$$ en donde se tiene que ser cuidadoso, porque a fin de cuentas este término va a actuar sobre $\psi$ y el término $\p_\mu{A}_\nu$ en realidad significa $\p_\mu{A}_\nu\psi=(\p_\mu{A}_\nu)\psi+A_\nu\p_\mu\psi$; aclarando esto aún más, el tensor electromagnético "en realidad" es $F_{\mu\nu}\equiv(\partial_\mu{A}_\nu)-(\partial_\nu{A}_\mu)$, i.e. las derivadas actúan sobre las $A_\alpha$. Finalmente entonces se puede escribir
$$\begin{align}[\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]=ieF_{\mu\nu}\end{align}$$ de modo que finalmente
$$\begin{equation}\left(D^2+m^2+\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right)\psi=0\label{pauli2}\end{equation}$$ que aparenta tener un factor de 1/2 de más. La razón parece ser sencillamente un error en las notas; hay varios errores menores, e.g. la falta de $\psi$ en la ec. (4.29). Quizá el error proviene de que se está pensando en términos los generadores del álgebra de Lorentz, usualmente denotados $S^{\mu\nu}$, que son un proporcionales a $[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$, y su relación con las matrices de espín, que dependiendo de la representación, puede tomarse de distintas formas. A fin de cuentas, el término $2eS^iB_i$ en la ecuación completa debe quedar como $(e/2)S^iB_i$ de modo que se lea que el momento magnético del electrón es $e/2m_e$, por lo que el factor original correcto en efecto es un 1/4.

En estas notas de Matthew Schwarz:

Introduction to Quantum Field Theory
Matthew Schwarz (Harvard University)
Fall 2008

se obtiene ($\ref{pauli2}$) con el signo de carga $e\to-e$, pero en efecto con ese mismo factor de 1/2 "extra" (la expresión es la 11.125 en la pg 105). También se emplea una elección particular de los generadores del álgebra de Lorentz y la representación quiral o de Weyl de modo que se manifieste explícitamente el término $(e/2)S^iB_i$.