Sean ${\mathbf{E}_1}$, ${\mathbf{E}_2}$ y ${\mathbf{E}_3}$ los campos eléctricos incidente, reflejado y transmitido, respectivamente. Considérese el caso en que ambos medios son no conductores, de modo que se satisfacen las condiciones
\begin{align}E_{It}&=E_{Tt}\;\Longrightarrow\;E_{1t}+E_{2t}=E_{3t}\label{1}\\
D_{In}&=D_{Tn}\;\Longrightarrow\;\varepsilon_1\left(E_{1n}+E_{2n}\right)=\varepsilon_2E_{3n}\label{2}\\
H_{It}&=H_{Tt}\label{3}\\
B_{In}&=B_{Tn}\label{4}\end{align} La forma de los campos eléctricos es
\begin{align}\mathbf{E}_{1}&=\mathbf{E}_{10}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_1\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_2&=\mathbf{E}_{20}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_2\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_3&=\mathbf{E}_{30}\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_3\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\end{align} Supóngase, sin pérdida de generalidad, que la situación está descrita por el siguiente esquema
de modo que
\begin{align}\mathbf{E}_{10}=E_{10}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\cos\theta_1-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_1\right)\\
\mathbf{E}_{20}=E_{20}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_2+\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_2\right)\\
\mathbf{E}_{30}=E_{30}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_3-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_3\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_1=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_1+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_1\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_2=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_2-\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_2\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_3=\omega\,\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_3+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_3\right)\end{align} se tiene entonces para la condición (\ref{1}),
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1\,e^{\kappa_1\sin\theta_1x}+
E_{20}\cos\theta_2\,e^{\kappa_1\sin\theta_2x}=E_{30}\cos\theta_3\,e^{\kappa_3\sin\theta_1x}\label{5}\end{equation} esta última ecuación es del tipo
\begin{equation}\alpha\,e^{ax}+\beta\,e^{bx}+\delta\,e^{dx}=0\end{equation} Las soluciones a (\ref{1}) deben corresponder a ${\{\alpha,\beta,\gamma\}\neq\{\mathbf{0}\}}$, lo que significa que las exponenciales deben ser linealmente dependientes, esto es, el Wronskiano de las exponenciales debe anularse,
\begin{equation}W\left(\,e^{\zeta{x}}\right)=\begin{vmatrix}e^{ax}&e^{bx}&e^{dx}\\
a\,e^{ax}&b\,e^{bx}&d\,e^{dx}\\
a^2\,e^{ax}&b^2\,e^{bx}&d^2\,e^{dx}\end{vmatrix}=0\end{equation} y simplificando esta expresión para W, se llega a que
\begin{equation}-(a-b) (a-d) (b-d)\,e^{(a+b+d) x}=0\end{equation} la que evidentemente es cierta para todo x siempre que a=b=d. De aquí entonces se sigue que (\ref{5}) se satisface sí y sólo sí
\begin{equation}\kappa_1\sin\theta_1=\kappa_1\sin\theta_2=\kappa_3\sin\theta_3\end{equation} de donde se sigue que
\begin{equation}\sin\theta_1=\sin\theta_2\end{equation} que es la ley de reflexión, y también,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_3\end{equation} donde ${n_i\equiv{c}\sqrt{\varepsilon_i\mu_i}}$, que es la ley de Snell. Esto implica entonces que (\ref{5}) se puede escribir como
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1+E_{20}\cos\theta_2=E_{30}\cos\theta_3\label{6}\end{equation} Ahora bien, de la condición (\ref{2}), se tiene que
\begin{equation}\varepsilon_1\sin\theta_1\left(E_{10}-E_{20}\right)=\varepsilon_2E_{30}\sin\theta_3\label{7}\end{equation} Finalmente (\ref{3}) y (\ref{4}), no llevan a ninguna restricción extra, obteniendo de (\ref{3}) una relación equivalente a (\ref{7}) mediante la ley de Snell. Así entonces, resolviendo las ecuaciones (\ref{6}) y (\ref{7}) para ${E_{20}}$ y ${E_{30}}$ con ayuda del ordenador (Mathematica), se encuentran las relaciones
\begin{align}E_{30}=\frac{\varepsilon_1\sin(2\theta_1)}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\\[0.25in]
E_{20}=\frac{\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3-
\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\end{align} que son conocidas como las ecuaciones de Fresnel y con las que queda descrito por completo la reflexión y refracción de la onda. De aquí entonces es posible obtener los coeficientes de transmisión y reflexión, así como también, bajo ciertas condiciones, el ángulo de Brewster.
\begin{align}E_{It}&=E_{Tt}\;\Longrightarrow\;E_{1t}+E_{2t}=E_{3t}\label{1}\\
D_{In}&=D_{Tn}\;\Longrightarrow\;\varepsilon_1\left(E_{1n}+E_{2n}\right)=\varepsilon_2E_{3n}\label{2}\\
H_{It}&=H_{Tt}\label{3}\\
B_{In}&=B_{Tn}\label{4}\end{align} La forma de los campos eléctricos es
\begin{align}\mathbf{E}_{1}&=\mathbf{E}_{10}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_1\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_2&=\mathbf{E}_{20}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_2\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_3&=\mathbf{E}_{30}\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_3\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\end{align} Supóngase, sin pérdida de generalidad, que la situación está descrita por el siguiente esquema
\begin{align}\mathbf{E}_{10}=E_{10}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\cos\theta_1-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_1\right)\\
\mathbf{E}_{20}=E_{20}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_2+\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_2\right)\\
\mathbf{E}_{30}=E_{30}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_3-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_3\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_1=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_1+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_1\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_2=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_2-\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_2\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_3=\omega\,\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_3+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_3\right)\end{align} se tiene entonces para la condición (\ref{1}),
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1\,e^{\kappa_1\sin\theta_1x}+
E_{20}\cos\theta_2\,e^{\kappa_1\sin\theta_2x}=E_{30}\cos\theta_3\,e^{\kappa_3\sin\theta_1x}\label{5}\end{equation} esta última ecuación es del tipo
\begin{equation}\alpha\,e^{ax}+\beta\,e^{bx}+\delta\,e^{dx}=0\end{equation} Las soluciones a (\ref{1}) deben corresponder a ${\{\alpha,\beta,\gamma\}\neq\{\mathbf{0}\}}$, lo que significa que las exponenciales deben ser linealmente dependientes, esto es, el Wronskiano de las exponenciales debe anularse,
\begin{equation}W\left(\,e^{\zeta{x}}\right)=\begin{vmatrix}e^{ax}&e^{bx}&e^{dx}\\
a\,e^{ax}&b\,e^{bx}&d\,e^{dx}\\
a^2\,e^{ax}&b^2\,e^{bx}&d^2\,e^{dx}\end{vmatrix}=0\end{equation} y simplificando esta expresión para W, se llega a que
\begin{equation}-(a-b) (a-d) (b-d)\,e^{(a+b+d) x}=0\end{equation} la que evidentemente es cierta para todo x siempre que a=b=d. De aquí entonces se sigue que (\ref{5}) se satisface sí y sólo sí
\begin{equation}\kappa_1\sin\theta_1=\kappa_1\sin\theta_2=\kappa_3\sin\theta_3\end{equation} de donde se sigue que
\begin{equation}\sin\theta_1=\sin\theta_2\end{equation} que es la ley de reflexión, y también,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_3\end{equation} donde ${n_i\equiv{c}\sqrt{\varepsilon_i\mu_i}}$, que es la ley de Snell. Esto implica entonces que (\ref{5}) se puede escribir como
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1+E_{20}\cos\theta_2=E_{30}\cos\theta_3\label{6}\end{equation} Ahora bien, de la condición (\ref{2}), se tiene que
\begin{equation}\varepsilon_1\sin\theta_1\left(E_{10}-E_{20}\right)=\varepsilon_2E_{30}\sin\theta_3\label{7}\end{equation} Finalmente (\ref{3}) y (\ref{4}), no llevan a ninguna restricción extra, obteniendo de (\ref{3}) una relación equivalente a (\ref{7}) mediante la ley de Snell. Así entonces, resolviendo las ecuaciones (\ref{6}) y (\ref{7}) para ${E_{20}}$ y ${E_{30}}$ con ayuda del ordenador (Mathematica), se encuentran las relaciones
\begin{align}E_{30}=\frac{\varepsilon_1\sin(2\theta_1)}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\\[0.25in]
E_{20}=\frac{\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3-
\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\end{align} que son conocidas como las ecuaciones de Fresnel y con las que queda descrito por completo la reflexión y refracción de la onda. De aquí entonces es posible obtener los coeficientes de transmisión y reflexión, así como también, bajo ciertas condiciones, el ángulo de Brewster.
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