El tiempo mínimo de evolución de un estado cuántico arbitrario a un estado ortogonal

Considera un sistema cuántico arbitrario en un estado puro arbitrario en $t=0$. Obtén una cota inferior para la cantidad de tiempo que le toma al sistema el evolucionar del estado original a un estado ortogonal como función del valor de expectación de la energía.
Parece bastante inocente y de hecho desde que uno aprende mecánica clásica naturalmente son la regla este tipo de problemas sobre encontrar el tiempo al que sucede tal o cual cosa. Como sea, al menos para la edad de la mecánica cuántica, la respuesta a este problema parece ser bastante reciente.
L. Vaidman, "Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state", Am. J. Phys. 60, 182-183 (1992)

J. Uffink, "The rate of evolution of a quantum state", Am. J. Phys. 61, 935 (1993)

N. Margolus, L. Levitin, "The maximum speed of dynamical evolution", arXiv:quant-ph/9710043, (1998)
El primero y el tercer artículo, en conjunto, responden con la expresión (aquí en unidades $\hbar=1$)
$$t\geq\max\left(\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle},\frac{\pi}{2\sigma_H}\right)$$ donde $\sigma_H$ es la desviación estándar de la energía (el hamiltoniano) y $\langle{H}\rangle$ su valor de expectación. El último artículo (hasta donde sé) es la publicación del que se conoce como Teorema de Margolus-Levitin.

Del principio de incertidumbre de Heisenberg,
$$\sigma_H\sigma_\mathcal{A}\geq\frac{1}{2}\left|\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle\right|$$ y la ecuación de movimiento de Heisenberg para una observable $A(t)=e^{itH}\mathcal{A}e^{-itH}$ con $\partial_t\mathcal{A}=0$,
$$\frac{dA}{dt}=i[H,A]$$ Podemos emplear $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle$ de modo que
$$\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle=\langle\psi_0|e^{iHt}[H,\mathcal{A}]e^{-iHt}|\psi_0\rangle
=\langle\psi_0|[H,A]|\psi_0\rangle
=\frac{1}{i}\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}$$ donde el subíndice $\mathcal{H}$ sólo pretende resaltar que el promedio está en la imagen de Heisenberg, i.e. $\langle{A}\rangle_\mathcal{H}\equiv\langle\psi_0|A|\psi_0\rangle$, el principio de incertidumbre entonces se puede escribir
$$\sigma_H\sigma_A\geq\frac{1}{2}\left|\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}\right|$$
Consideremos $A=|\psi_t\rangle\langle\psi_t|$ y sea $f(t)\equiv|\langle\psi_t|\psi_0\rangle|$, de modo que
$$\langle{A}\rangle_\mathcal{H}=f^2\hspace{0.5in}\text{y}\hspace{0.5in}
\sigma_A=\sqrt{\langle{A}^2\rangle_\mathcal{H}-\langle{A}\rangle_\mathcal{H}^2}=
f\sqrt{1-f^2}$$ ya que $A^2=A$, y así $\sigma_H\sqrt{1-f^2}\geq\left|\frac{df}{dt}\right|$. Por condición de normalización, $f(0)=1$, entonces podemos cambiar variables nuevamente con $f(t)=\cos\theta(t)$ y así entonces $\left|\frac{d\theta}{dt}\right|\geq\sigma_H$, que integrando de $t=0$ a $t=\tau$ se convierte en $\left|\theta(\tau)\right|\geq\sigma_H\tau$ y finalmente
$$|\langle\psi_\tau|\psi_0\rangle|\geq\cos\sigma_H\tau,\hspace{0.25in}0<\tau\leq\frac{\pi}{2\sigma_H}$$ de modo que se requiere un tiempo \begin{equation}t\geq\frac{\pi}{2\sigma_H}\label{bound1}\end{equation} para que el sistema alcance un estado ortogonal.

Vale, esto es básicamente una paráfrasis de parte del contenido del artículo de Uffink y no hay mucho problema en seguirlo sabiendo lo básico de mecánica cuántica. Como sea, no responde la pregunta original tal como está planteada i.e. obtener el resultado en términos del promedio de la energía. Precisamente, uno de los problemas que resaltan Levitin y Margolus en su artículo es que hay casos en que uno puede construir un estado con una incertidumbre muy alta pretendiendo reducir el tiempo de evolución a un estado ortogonal, como parece sugerir la derivación del intervalo para $\tau$.

Thou shalt not attempt to trick the speed limit of dynamical evolution

Lo que hacen entonces -Margolus y Levitin- es considerar en general un sistema con $H=\sum_{j\geq0}E_j|E_j\rangle\langle{E}_j|$ en la base (de estados de energía) $\{|E_n\rangle\}$ y un estado arbitrario en esta base $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle=\sum_{j\geq0}\alpha_je^{-iE_jt}|E_j\rangle$. Se quiere determinar una cota inferior para el tiempo $t$ tal que
\begin{equation}\langle\psi_0|\psi_t\rangle=\sum_{j\geq0}|\alpha_j|^2e^{-iE_jt}=0\label{ine1}\end{equation} Dado que $\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\cos{E}_jt$ e $\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\sin{E}_jt$, se puede emplear una desigualdad que relacione ambas partes con un término lineal en $t$ y luego usar (\ref{ine1}). En particular, se puede usar la desigualdad $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$, con lo que se obtiene
$$\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle-\frac{2}{\pi}\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\geq\sum_{j\geq0}|\alpha_n|^2\left(1-\frac{2}{\pi}E_jt\right)=1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}$$ y entonces para $t$ tal que $\langle\psi_0|\psi_t\rangle=0$,
$$0\geq1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}\,\Longrightarrow\,t\geq\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle}$$ que puede proveer una mejor cota que (\ref{bound1}).

Vale, el argumento es excepcionalmente sencillo, pero el detalle fino está en la desigualdad empleada "$\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$". Resulta un tanto irritante que los autores no lo justifiquen y hace sentir que uno no está viendo algo que debería resultarle obvio. Y pues... puede ser, pero al menos en este caso, módulo mi estupidez, parece no serlo del todo.

La razón de la elección de esta desigualdad es la siguiente: Primero, debe (en el sentido de ser computacionalmente económico) involucrar ambas la parte real y la parte imaginaria del bra-ket $\langle\psi_0|\psi_t\rangle$ y un término lineal en $t$ (i.e. en su argumento), luego, sin pérdida de generalidad, uno puede tomar una desigualdad de la forma $\cos{x}+\alpha\sin{x}\geq\beta-\gamma{x}$ para $x\geq0$ y notar que $\beta=1$ y $\alpha=\gamma=2/\pi$, es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad para $x$ pequeño y la pendiente de la recta en el lado derecho de la desigualdad (lo que implicará el tiempo mínimo más grande, i.e. la mejor cota inferior en este caso).


Y pues sí, seguramente la forma más fácil de notarlo es graficar usando algún software, en mi caso Mathematica. Lo que muestra el GIF es: en azul y rojo, las funciones $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}$ y $1-\frac{2}{\pi}x$, respectivamente, mientras que en morado y naranja muestra $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ y $1-\gamma{x}$ con $\gamma$ tal que la separación en la desigualdad es mínima (i.e. que las dos curvas se igualan en un punto para el menor $x>0$ posible), además de la leyenda $\cos{x}+\alpha\sin{x}$. La parte complicada de esta visualización animada es la recta, i.e. determinar $\gamma$ dada $\alpha$ de modo que se sostenga la desigualdad y que la separación sea mínima para $x$ positivo y "pequeño". Básicamente lo que hice fue pedirle a Mathematica encontrar numéricamente varios ceros (numéricamente porque ni Mathematica ni yo lo logramos hacer analíticamente y suficientes para que la animación parezca ser continua) de $\cos{x}+\alpha\sin{x}=1+(\alpha\cos{x}-\sin{x})x$ y graficar usando las soluciones en $\gamma=\alpha\cos{x_0}-\sin{x_0}$ con $x_0$ dichas soluciones.

Ignoro la forma de mostrar rigurosamente que ésta elección de las constantes es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad y la pendiente de la recta, aunque este argumento parece ser suficiente para justificar la elección de la desigualdad, finalmente cuando el parámetro $\alpha$ se vuelve muy grande la función $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ degenera en rectas $x=n\pi$, así que no le queda más a la pendiente que vivir en el intervalo $(-\infty,-2/\pi]$.

Este resultado parece ser bien conocido en información cuántica y seguramente hay muchos trabajos más recientes en la frontera del tema. Uno directamente relacionado y que me ha parecido interesante, al menos por encima, es "The role of entanglement in dynamical evolution" de V. Giovannetti, S. Lloyd y L. Maccone.
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La ecuación de Dirac y la antimateria

Hace poco fue el aniversario del nacimiento de Paul Dirac; además, en el mismo mes de agosto, pero en 1932 (treinta años más tarde del nacimiento de Dirac), se encontraría evidencia experimental de la existencia del positrón, tan sólo dos años más tarde de que Dirac (auténticamente) lo predijera.
La historia en sí misma es bastante interesante y hay varias lecturas relevantes en la red como ésta o ésta. También está este buenísimo timeline del sitio web del CERN:


Sobre la vida de Dirac también está el famoso libro The Strangest Man de Graham Farmelo, que no he tenido oportunidad de leer porque es complicado conseguirlo en México, aunque en YouTube se encuentra esta charla del mismo Farmelo:


De las relaciones de momento-energía clásicas no-relativista y relativista de una partícula podemos obtener sus ecuaciones mecánico-cuánticas a través de la correspondencia $(E,\vec{p})\to(i\p_t,-i\nabla)$ en unidades naturales ($\hbar=c=1$). En el caso no-relativista, con el potencial $V=V(x,t)$, tenemos que
\begin{equation}E=\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}}{2m}+V\,\to\,i\p_t=-\frac{\nabla^2}{2m}+\hat{V}\end{equation} que aplicado a una función de onda $\Psi=\Psi(x,t)$, reproduce la ecuación de Schrödinger
\begin{equation}i\p_t\Psi=\left(-\frac{\nabla^2}{2m}+\hat{V}\right)\Psi\end{equation} y de manera análoga se puede tomar (el cuadrado de) la relación relativista $E^2=p^2+m^2$ de modo que
\begin{equation}\left(-\p_t^2+\nabla^2-m^2\right)\Psi=0\end{equation} que es la ecuación de Klein-Gordon. Finalmente, como se hace con la ecuación de Schödinger, se puede obtener una densidad de probabilidad (que junto con la corriente de probabilidad satisfacen una ecuación de continuidad), que sin embargo para este caso no es positiva definida.

En su artículo The Quantum Theory of the Electron de febrero de 1928, Dirac abordó principalmente este problema para electrones considerando que la ecuación cuántico-relativista debía ser lineal o de primer orden en $\p_t$. Dirac es seguramente uno de los autores de antaño que es más sencillo de leer y su famoso artículo no es la excepción. Resumiendo, Dirac parte de que en relatividad especial la dirección temporal "está al mismo nivel" que las demás, de modo que si la ecuación dinámica es lineal en $\p_t$ (i.e. $p_0$), también tendría que serlo en $\p_i$ (i.e. $p_i$), de donde propone la ecuación de prueba (o ansatz)
\begin{equation}\left(p_0+\alpha^ip_i+\beta\right)\Psi=0\end{equation} que debe además ser compatible con la relación de energía-momento relativista, i.e. debe reproducir la ecuación de Klein-Gordon (interpretada como un límite clásico --large quantum numbers) si se eleva al cuadrado el lado izquierdo, de donde obtiene relaciones de las que se sigue que los $\alpha_\mu$ no pueden ser números ordinarios y pueden representarse por matrices. Dirac luego construye un caso particular de estas matrices en lo que hoy conocemos como una representación del álgebra de Clifford. Concretamente, en notación moderna (Dirac la escribe también de forma parecida cuando demuestra que la ecuación es invariante ante transformaciones de Lorentz),
\begin{equation}\left(i\gamma^\mu\p_\mu-m\right)\psi=0\end{equation} es la ecuación de Dirac con $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}\mathbb{I}$ el álgebra de Clifford (Dirac encuentra una representación particular, notando antes que cualquiera debe estár formada por matrices de al menos 4x4) y $\psi$ es un 4-vector, que concretamente en teoría cuántica de campos se conoce como espinor (aunque desde antes se conocía así precisamente por poderse relacionar con el espín de los electrones).

De su ecuación, Dirac resolvió el problema de la densidad de probabilidad negativa [otra forma de determinar los coeficientes de la ecuación de Dirac es precisamente buscando que se satisfaga una ecuación de continuidad de tipo $\p_t(\psi^\dagger\psi)+\nabla\cdot\vec{j}=0$] pero persistía otro problema importante: energías negativas. Resulta que las soluciones de la ecuación de Dirac pueden descomponerse en dos espinores de dos componentes que son eigenestados de energía positiva y negativa. Clásicamente las energías negativas pueden simplemente ignorarse por no tener sentido físico y nada impide descartarlas, de cualquier modo en cuántica estos estados no pueden ignorarse así nada más, ya que la teoría misma requiere tener conjuntos completos (y ortonormales) de eigenestados.

Así pues, Dirac, viendo al monstruo que había creado, atacó también de manera bastante ingeniosa este problema en el artículo A Theory of Electrons and Protons: los electrones son fermiones, así que están sujetos al principio de exclusión de Pauli y por tanto los estados de energía negativa deben estar todos ocupados, siendo accesibles únicamente los de energía positiva. Esto es lo que se conoce como el mar de Dirac. Pero Dirac no se detuvo ahí, notó además que un hueco en el mar de Dirac se comporta como una partícula con carga positiva y el resto de propiedades del electrón: el antielectrón o positrón, que además se aniquila con el electrón emitiendo radiación.

Finalmente el mar de Dirac resultó ser sólo una pifia, de cualquier modo, increíblemente llevó a la respuesta correcta sobre el positrón y luego en general sobre la antimateria. Hoy (y desde algo así como 1934) la ecuación de Dirac únicamente se entiende consistentemente en el contexto de la teoría cuántica de campos: el espinor no es una función de onda, sino un campo clásico que se cuantiza en partículas de espín 1/2 y las antipartículas no están asociadas necesariamente sólo a fermiones, además el Hamiltoniano asociado a la ecuación de Dirac es positivo definido, de modo que es acotado por abajo, como debe, y desaparecen las energías negativas. De manera análoga, más tarde la ecuación de Klein-Gordon fue interpretada por Pauli (?) como una para un campo de espín nulo, también con un Hamiltoniano positivo definido y energías positivas.
In this attempt, the success seems to have been on the side of Dirac rather than logic.
- Pauli sobre Dirac
La predicción de Dirac seguramente era descabellada, además de que nunca se había reportado la observación experimental de algo parecido. Como sea, y contrario a muchas ideas relevantes actualmente, se tenía la ventaja de que se podía falsificar rápidamente su predicción, y así ocurrió con un experimento de Carl Anderson en 1932.

Carl D. Anderson, Physical Review Vol.43, p491 (1933)

Y la idea es bastante simple: utilizar una cámara de niebla: un detector de partículas que funciona mediante vapor de agua supersaturado. El vapor de la cámara de niebla se ioniza cuando cierta radiación ionizante pasa por él, en este caso rayos cósmicos (apenas descubiertos), lo que genera el rastro de un camino ionizado que se fotografía para ser analizado. Si además se aplica un campo magnético, las partículas se curvarán en cierta dirección debido a la fuerza de Lorentz.

Producción de un electrón y un positrón a partir de un fotón de alta energía. Fuente: http://teachers.web.cern.ch

A fin de cuentas Anderson encontró que la partícula que estaba midiendo no podía ser un protón y que correspondía al electrón de carga positiva, que bautizó como positrón. Y el resto es historia, se siguieron descubriendo antipartículas y se generó la noción de la antimateria, que puede ser tan estigmatizada por la cantidad de energía que libera al aniquilarse con la materia hasta ser tan mundana por aplicaciones como la tomografía por emisión de positrones.
When I was a young man, Dirac was my hero. He made a breakthrough, a new method of doing physics. He had the courage to simply guess at the form of an equation, the equation we now call the Dirac equation, and to try to interpret it afterwards. Maxwell in his day got his equations, but only in an enormous mass of 'gear wheels' and so forth.
- Feynman en "The Reason for Antiparticles"
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Sobre el proceso para estudiar un posgrado en el extranjero

Finalmente concluí el último paso burocrático para comenzar a estudiar la maestría el próximo mes de septiembre en la Universidad de Edimburgo, en Reino Unido. El programa es el MSc in Mathematical Physics, que en particular me interesa porque está directamente enfocado a la física matemática y quisiera buscar la opción de luego integrarme al programa de PhD y al grupo de física matemática.

Estatua de James Clerk Maxwell en George Street, Edimburgo
Fuente: www.henniker.org.uk
Una interesante historia sobre Maxwell, su casa y su estatua: aquí

En esta entrada escribo un poco sobre mi experiencia con todo el proceso, esperando tanto motivar como prevenir a quien esté interesado (aunque para obtener motivación lo mejor seguramente es hablar con alguien que ya ha vivido la experiencia, también está la cuestión sobre si hacer esto para maestría o hasta doctorado, etc). Por supuesto esto es para mexicanos y hago referencia principalmente a maestrías, al Reino Unido, a la Universidad de Edimburgo, y en particular me interesa más llegar a físicos, matemáticos o interesados en ciencia básica. También me referiré a las becas CONACYT al extranjero. De cualquier modo esto también puede dar una idea a quien apenas se está interesado en general en estudiar un posgrado (ya sea maestría o doctorado) en el extranjero.

Como yo, otros estudiantes, sociedades de estudiantes, ex-estudiantes u otros individuos han escrito antes al respecto, así que la información de este tipo (i.e. de consejos/ sugerencias/ comentarios) en la red abunda y evidentemente ésta es sólo mi opinión y nada más. También debes tomar en cuenta que los detalles de este tipo de procesos están en cambio constante; esto no es una guía exhaustiva.

Utiliza la siguiente lista expansible para ver las distintas secciones.
  1. El procedimiento en general
  2. El requisito de idioma
  3. La admisión
  4. Obtener financiamiento
  5. El proceso de inmigración
Como recursos extra está e.g. el blog de la sociedad mexicana de King's College London, que está muy completo y puedes hacer preguntas a mexicanos que ya pasaron por esto. Ya concretamente si necesitas asesoría, hay varias asociaciones como Accross The Pond que te pueden ayudar de manera gratuita desde cero (también hay otras no gratuitas, pero ya queda la elección a discreción personal) o incluso agentes de las mismas universidades; yo no usé ningún servicio de asesoría pero quizá me hubiera ahorrado muchos ratos de incertidumbre y estrés innecesarios.

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El lema de Poincaré

Una forma exacta $\phi=d\varphi$ es siempre cerrada dado que $d^2=0$. El lema de Poincaré provee la situación en que el converso también es cierto diciendo que una p-forma cerrada $\phi$ en una región abierta $U$ simplemente-conexa de una variedad $M$ será también exacta. Esto es, siempre que $\phi\in\Omega^p(U)$ con $U\subset{M}$ simplemente-conexo y $d\phi=0$, existe una (p-1)-forma $\varphi$ tal que $\phi=d\varphi$.

Vale, intentaré elaborar un poco sobre la prueba de este resultado que he seguido en este documento para 1-formas y en el libro de Nakahara para p-formas. Al final traduciré algunas cosas a $\mathbb{R}^3$.

1-formas
Acá trataré con una 1-forma cerrada $\phi$ y superficies o 1-variedades $M$. Lo primero que uno piensa es en usar las palabras mágicas simplemente-conexo, pues es lo que hace válido el lema. Intuitivamente, simplemente-conexo significa que está hecho de una sola pieza (conexo) y no tiene hoyos; para formalizar, podemos definir la llamada homotopía de una curva cerrada simple (o que no se intersecta a sí misma; en adelante las llamaré circuitos) $\mc{C}:[a,b]\to{M}$ tal que $\mc{C}(a)=\mc{C}(b)\equiv{p}$ (en general con $\mc{C}^\prime(a)\neq\mc{C}^\prime(b)$) a un punto de la curva, también llamada nulhomotopía, como el mapeo
\begin{equation}h:[a,b]\times[0,1]\to{M}\end{equation} tal que para $u\in[a,b]$, $v\in[0,1]$,
\begin{align}h(u,0)&=\mc{C}(u)\\
h(u,1)&=h(a,v)=h(b,v)=p\end{align} que estrictamente es un 2-segmento (o 2-celda) de $M$ pero que puede pensarse como una colección de circuitos $\mc{C}_v(u)=h(u,v)$ para cada $v$, o mejor aún como una función continua que deforma $\mc{C}$ en el punto $p$ a través del parámetro $v$. Si tal mapeo existe, se dice que $\mc{C}$ es nulhomotópica u homotópica a una constante.

Ilustración en Wikipedia. Un ejemplo visualmente sencillo: $S^2$ es simplemente conexo (en dos dimensiones) porque es conexo y cualquier circuito es nulhomotópico.
Así pues, $M$ es simplemente-conexo si es conexo y cualquier circuito en $M$ es nulhomotópico. Nos interesaría entonces emplear el hecho de que la 1-forma cerrada $\phi$ está en una región $U$ simplemente-conexa de $M$. Considerando entonces un circuito $\mc{C}:[a,b]\to{U}$ y su nulhomotopía $h$, lo más inmediato es usar el teorema de Stokes (segunda igualdad),
\begin{equation}0=\int\limits_hd\phi=\int\limits_{\p{h}}\phi\label{stokes1}\end{equation} Aquí el calcular la frontera $\p{h}$ me resultó un tanto confuso; de cualquier modo lo entendí considerando el caso de un círculo en $\mathbb{R}^2$ con la nulhomotopía siendo un disco. Puedes verlo usando el siguiente botón o continuar si no lo consideras necesario.



Sean entonces $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(b,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(a,v)$ los bordes de $h$, de modo que
\begin{equation}\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta\end{equation} y en particular nota que en una nulhomotopía, $\beta^\prime(v)=\gamma^\prime(u)=\delta^\prime(v)=0$, de modo que se tiene por (\ref{stokes1}) que
\begin{align}\int\limits_{\p{h}}\phi&=0\nonumber\\
&=\int\limits_\alpha\phi+\underbrace{\int\limits_\beta\phi-\int\limits_\gamma\phi-\int\limits_\delta\phi}_{=\int\limits_0^1\phi(\beta^\prime(v))\,dv-\int\limits_a^b\cdots\,=0}\nonumber\\
&=\int\limits_\alpha\phi=\int\limits_\mc{C}\phi\end{align}


es decir, obtenemos que la integral de una 1-forma cerrada $\phi$ a través de un circuito $\mc{C}$ en una región simplemente-conexa es cero,
\begin{equation}\oint\limits_\mc{C}\phi=0\end{equation} que no es más que decir que si tomamos dos puntos $p$ y $q$ y dos curvas que los unan, $\delta$ y $\eta$, de modo que $\mc{C}=\delta-\eta$,
\begin{equation}\int\limits_\delta\phi=\int\limits_\eta\phi\end{equation} i.e. la integral será independiente de los caminos $\delta$ y $\eta$. Usualmente también ésta se toma como una definición equivalente de una forma exacta, e.g. en cursos de termodinámica, donde se toma prácticamente como definición. Sabemos entonces que la integral sólo dependerá de $p$ y $q$; supongamos que fijamos $q$ y dejamos que $p$ sea cualquier punto en $U$, entonces podemos proponer una función $\varphi\in{C}^\infty(U)$ tal que
\begin{equation}\varphi(p)=\int\limits_\eta\phi\end{equation} Más generalmente, consideremos $\eta:[a,b]\to{U}$ y algún $t\in[a,b]$ de modo que tengamos en mente el segmento $\eta_t:[a,t]\to{U}$ y cualquier punto dinámico $\eta(t)$,
\begin{equation}\varphi\left(\eta(t)\right)=\int\limits_{\eta_t}\phi=\int_a^t\phi(\eta^\prime(u))\,du\label{poin1}\end{equation} Considerando $\eta(t)$ en coordenadas locales de modo que $d\varphi=\p_i\varphi\,dx^i$, sea entonces $f:U\to\mathbb{R}$ una función cualquiera de modo que $\frac{df(\eta(t))}{dt}=\frac{dx^i}{dt}\frac{\p{f}}{\p{x}^i}$, entonces $\eta^\prime(t)=\frac{dx^i(\eta(t))}{dt}\p_i$ en coordenadas locales, lo que nos permite calcular que
\begin{equation}d\varphi\left(\eta^\prime(t)\right)=\frac{\p\varphi}{\p{x}^i}\frac{dx^i}{dt}=\frac{d\varphi(\eta(t))}{dt}\end{equation} lo que entonces lleva por (\ref{poin1}) a que
\begin{equation}d\varphi(\eta^\prime(t))=\phi\left(\eta^\prime(t)\right)\end{equation} y $\eta^\prime(t)$ es un vector definido en cada punto de $\eta$ que a su vez es arbitraria siempre que su imagen y su último punto estén en la región simplemente conexa $U\subset{M}$, de modo entonces que en general
\begin{equation}d\varphi=\phi\end{equation} lo que prueba el lema para 1-formas.
Henri Poincaré dibujado por David Levine.
Fuente: www.nybooks.com/galleries/david-levine-illustrator

El lema de Poincaré naturalmente es válido para p-formas con $p\geq1$. El famoso libro de Nakahara, disponible en línea aquí, tiene una demostración sencilla que a lo más requiere la generalización de una nulhomotopía a un punto $p\in{U}$ como $H:U\times[0,1]\to{U}$ con $H(u,0)=u$ y $H(u,1)=p$ para $u\in{U}$ y la definición del pullback de una forma diferencial por una función. Seguramente también es posible generalizar los mismos pasos para p-formas que los que mostré para 1-formas, aunque probablemente sea más laborioso que la demostración de Nakahara; en general debe haber muchas formas y otras muy sencillas de probar el lema.

A fin de cuentas, de cualquier modo, el lema es prácticamente siempre, o lo que es lo mismo, es válido siempre localmente.

Traducción al cálculo vectorial en $\mathbb{R}^3$
Del lema de Poincaré surgen todas las propiedades lindas que se usan en termodinámica con derivadas parciales para las variables de estado; como sea, la situación es realmente más elaborada que esto, aunque a los físicos les sea poco útil esta formalidad.

En general todo espacio vectorial $V$ tiene un espacio dual $V^*$ en el sentido de que existen mapeos de $V$ en $\mathbb{R}$. En el caso de variedades, al menos siempre localmente, se puede proveer un isomorfismo (o difeomorfismo) entre ambos a través de la métrica. El caso de $\mathbb{R}^3$ es bastante lindo como motivación para aprender el lenguaje de las formas diferenciales, que si bien no cambian el contenido, hacen las cosas mucho más sencillas y elegantes. Un ejemplo es el electromagnetismo, que usualmente se formula usando cálculo vectorial, e.g. puedes consultar: Maxwell's equations in terms of differential forms (que en general también sirve para introducirse como físico a las formas diferenciales), y en general muchos temas en física matemática como las teorías de norma (GFT's) están formuladas en estos términos. Adelante sólo asumo primero tres dimensiones y luego paso a $\mathbb{R}^3$ (asumiendo coordenadas cartesianas).

La playera que se ha visto utilizan l@s jóvenes cool de hoy$$F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge{d}x^\nu$$
0-formas
Primero, en el caso de 0-formas o funciones $\varphi\in\Omega^0$, evidentemente el isomorfismo $\Omega^0\to\Omega^0=C^\infty$ es una identidad $\varphi\mapsto{\varphi}$.

1-formas
Para 1-formas $\phi\in\Omega^1$, se tiene localmente $\phi=\phi_idx^i$ y a través de una métrica, $g$ se obtiene
\begin{align}g^{-1}(\phi,\sigma)&=g^{ij}\phi_i\sigma_j\nonumber\\
&=g^{i\beta}\phi_i\sigma_\alpha\delta^\alpha_\beta\nonumber\\
&=g^{i\beta}\phi_i\p_\beta(\sigma_\alpha{d}x^\alpha)=\phi^i\p_i(\sigma)\end{align} esto es, $g^{-1}(\phi,\cdot)=g^{ij}\phi_i\p_j$, en general, $\phi\mapsto{g}^{-1}(\phi,\cdot)$. Ahora bien, considerando que $d:\Omega^p\to\Omega^{p+1}$, tenemos que $d\varphi\mapsto{g}^{ij}(\p_i\varphi)\p_j$ que en el caso del contradominio ${C}^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$, con $g^{ij}=\delta^{ij}=\delta_{ij}$, se reduce a $d\varphi\mapsto\nabla\varphi$. Así, el lema de Poincaré en el cálculo vectorial Euclídeo se traduce en que campos conservativos son campos gradiente,
\begin{equation}\phi=d\varphi\longleftrightarrow\vec{\phi}=\nabla\varphi\end{equation} donde $\vec\phi={g}^{-1}(\phi,\cdot)$. La correspondencia mediante la métrica $g$ se llama el isomorfismo musical, que tiene tanto el isomorfismo $\sharp:\Omega^1\to{V}$ como su inversa $\flat:V\to\Omega^1$ (hasta donde sé, el nombre es simplemente por los símbolos de sostenido $\sharp$ y bemol $\flat$) y puede señalarse de manera más sencilla, e.g. en este caso el isomorfismo en términos de $\sharp$ es
\begin{equation}\phi\mapsto\phi^\sharp=g^{ij}\phi_i\p_j\end{equation}

2-formas
Para 2-formas $\omega\in\Omega^2$, localmente, $\omega=\omega_{ij}dx^i\wedge{d}x^j=\frac{\omega_{ij}}{2}(dx^i\otimes{d}x^j-dx^j\otimes{d}x^i)$. Ahora bien, aunque el isomorfismo musical puede extenderse en general para mandar $\bigotimes\limits^pT(M)$ en $\bigotimes\limits^pT^*(M)$ (que no es exactamente el espacio de p-formas) y viceversa, lo que nos interesa es mandar 2-formas en campos vectoriales o funciones. Si consideramos dos 1-formas $\alpha$ y $\beta$, localmente podemos formar la 2-forma
\begin{align}\alpha\wedge\beta&=\alpha_i\beta_j{d}x^i\wedge{d}x^j\nonumber\\
&=(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)dx^1\wedge{d}x^2+(\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2)dx^2\wedge{d}x^3+(\alpha_3\beta_1-\alpha_1\beta_3)dx^3\wedge{d}x^1\end{align} donde los coeficientes tienen exactamente la misma cara que los de un producto cruz de vectores 3-dimensional. El operador necesario en este caso es el dual (o estrella) de Hodge $\star:\Omega^p\to\Omega^{(n-p)}$, definido por
\begin{equation}\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{i_p})\equiv\frac{\sqrt{|g|}}{(n-p)!}{\epsilon^{i_1\cdots{i}_p}}_{j_1\cdots{j}_{n-p}}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{j_{n-p}}\end{equation} que entonces aquí mandará 2-formas en 1-formas a través de (asumo $\sqrt{|g|}=1$ en adelante)
\begin{equation}\star(dx^i\wedge{d}x^j)={\epsilon^{ij}}_kdx^k\end{equation} de modo que en tres dimensiones $\star(\alpha\wedge\beta)=\vec{\alpha}\times\vec{\beta}$ y entonces el isomorfismo $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\to{C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)}$ es (empleo $\{\mathrm{e}_i\}$ como la base de vectores)
\begin{equation}\omega\mapsto(\star\omega)^\sharp=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\end{equation} Si además $\omega$ es cerrada, también por lema de Poincaré $\omega=d\phi$ y así
\begin{equation}(\star\,d\phi)^\sharp=\epsilon_{ijk}\p_i\phi_j\mathrm{e}_k=\nabla\times\phi^\sharp\label{conm1}\end{equation} de modo que la versión equivalente del lema es $\vec{\omega}=\nabla\times\vec\phi$, i.e. la versión para campos rotacionales. Si nuevamente $\phi$ es cerrada y por el lema también exacta, se tiene la equivalencia de que los campos conservativos son también irrotacionales,
\begin{equation}\omega=d\phi=d^2\varphi=0\longleftrightarrow\vec\omega=\nabla\times\vec\phi=\nabla\times\nabla\varphi=0\end{equation}

3-formas
Finalmente la estrella de Hodge manda 3-formas $\psi\in\Omega^3$, localmente $\psi=\psi_{ijk}dx^i\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k$ en 0-formas, entonces
\begin{equation}\psi\mapsto\star\psi=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{equation} es un isomorfismo $\Omega^3\to\Omega^0=C^\infty$ inducido naturalmente. En este caso si $\psi=d\omega$, en $\mathbb{R}^3$,
\begin{equation}\star{d}\omega=\epsilon_{ijk}\p_k\omega_{ij}=\nabla\cdot(\star\omega)^\sharp\end{equation} de modo que el lema se traduce en $\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega$; si aún a su vez $\omega=d\phi$, se tiene la equivalencia de que los campos rotacionales son libres de divergencia,
\begin{equation}\psi=d\omega=d^2\psi=0\longleftrightarrow\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega=\nabla\cdot(\nabla\times\vec\phi)=0\end{equation} Nota de cualquier modo que también, en general para cualquier 1-forma $\zeta\in\Omega^1$ se puede formar
\begin{align}\star{d}\star\zeta&=\star{d}\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\zeta_idx^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\
&=\star\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i\,dx^\ell\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\epsilon^{\ell{j}k}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i=\delta^{\ell{i}}\p_\ell\zeta_i\stackrel{\mathbb{R}^3}{=}\nabla\cdot\zeta^\sharp\end{align} de manera que igualmente se puede construir $\star{d}\star{d}\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi$.

El complejo de De Rham
Esto usualmente se hace de manera inversa, es decir, pasando de las relaciones del cálculo vectorial a las de las formas diferenciales, de cualquier modo esta manera también es útil y asimismo sirve para notar la generalidad de las p-formas. El siguiente diagrama (formalmente llamado complejo de De Rham)
$$\matrix{ \Omega^0(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3(\mathbb{R}^3) \cr
\big\downarrow\small{\mathrm{Id}}& & \big\downarrow\small{\sharp} & & \big\downarrow\small{\sharp\circ\star} & & \big\downarrow\small{\star} \cr
C^\infty(\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3) \cr}$$ con
\begin{align}\mathrm{Id}(\varphi)&=\varphi\\
\sharp(\phi_idx^i)&=\phi_i\mathrm{e}_i\\
\sharp\circ\star(\omega_{ij}dx^i\wedge{dx}^j)&=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\\
\star(\psi_{ijk}dx^i\wedge{dx}^j\wedge{dx}^k)&=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{align} encapsula de manera bastante concisa toda la información anterior. Como se vio, el diagrama conmuta, i.e. se llega al mismo lugar sin importar qué flechas se sigan.
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El número de enlace de Gauss y el principio de incertidumbre electro-magnético

Hace un tiempo ya, leía la página de John Baez llamada Symmetries, Groups, and Categories en donde se cita este artículo:
Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty Principle
Abhay Ashtekar, Alejandro Corichi

It is shown that there is a precise sense in which the Heisenberg uncertainty between fluxes of electric and magnetic fields through finite surfaces is given by (one-half $\hbar$ times) the Gauss linking number of the loops that bound these surfaces. To regularize the relevant operators, one is naturally led to assign a framing to each loop. The uncertainty between the fluxes of electric and magnetic fields through a single surface is then given by the self-linking number of the framed loop which bounds the surface.
Admito que desconocía este resultado, que Baez atribuye a Ashtekar y a Corichi, aunque es un tanto viejo (1997). Incluso tampoco había visto de cerca el número de enlace de Gauss, que es el invariante topológico de enlace de nudos más simple y cuyo alcance se dice es mucho mayor que sólo el de la física o las matemáticas, así que hace poco decidí leer acerca del tema y acá comparto un poquitín sobre ello (para el número de enlace sólo se requiere saber una pizquilla de electromagnetismo y/o cálculo vectorial, el resto lo tocaré de manera más superficial).

El número de enlace de Gauss
Consideremos un aro delgado por el que circula una corriente estacionaria $i$ (i.e. el caso estático) representado por una curva $\mc{C}^\prime$.


En este caso entonces en todos los puntos fuera de $\mc{C}^\prime$, la ley de Ampère-Maxwell se reduce a
\begin{equation}\nabla\times\vec{B}=0\end{equation} por lo que en esta región existe alguna $\psi$ tal que
\begin{equation}\vec{B}=-\nabla\psi\end{equation} En los cursos de electromagnetismo de licenciatura seguido se discute (o los alumnos deben investigar por su cuenta) las razones por las cuales este potencial escalar magnético $\psi$ es relativamente inútil; de cualquier modo aquí resultará en cierto modo relevante. Vale, en general, en magnetostática la forma más sencilla para determinar un campo $\vec{B}$ es la ley de Ampère "original" en forma integral,
\begin{equation}\oint\vec{B}\cdot{d}\vec{\ell}=\mu_0{i}\end{equation} de cualquier modo, si consideramos un circuito amperiano $\mc{C}$,


parametrizado por alguna función $\vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ con parámetro $\tau$ y tal que $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$, tenemos que
\begin{align}\mu_0{i}&=\oint\limits_\mc{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}=-\oint\limits_\mc{C}\nabla{\psi}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}\nonumber\\
&=-\int_a^b\nabla\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\cdot\dot{\vec{r}}(\tau)\,d\tau\nonumber\\
&=-\int_a^b\frac{d}{d\tau}\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\,d\tau\nonumber\\
&=\psi\left(\vec{r}(a)\right)-\psi\left(\vec{r}(b)\right)\end{align} y entonces el potencial $\psi$ es multivaluado, tomando múltiplos enteros de $\mu_0{i}$ por cada vuelta al circuito. Como se cita en el artículo de Ashtekar y Corichi, podemos interpretar este incremento del potencial como el trabajo $W$ hecho al mover un monopolo magnético a lo largo de $\mc{C}$ (aparentemente este argumento fue debido a Maxwell y no a Gauss como se señala). En general, podemos considerar deformar el aro $\mc{C}^\prime$ de forma que se enlace $n$ veces con el circuito amperiano $\mc{C}$. Estrictamente, para definir los enlaces o entrelazamientos entre ambas curvas, hay que considerar una superficie conexa cualquiera (a pesar de la ilustración) $\Sigma$ tal que $\p\Sigma=\mc{C}^\prime$ (o en su defecto $\p\Sigma=\mc{C}$) y contar las veces que $\mc{C}$ la intersecta (o $\mc{C}^\prime$ en el otro caso),


de modo que el trabajo o el incremento del potencial alrededor del circuito amperiano será
\begin{equation}W=n\mu_0{i}\label{potmulti1}\end{equation} Ahora bien, usualmente en los primeros cursos de electromagnetismo se tortura a los estudiantes con calcular a fuerza bruta el campo $\vec{B}$ en un punto $\vec{\mc{R}}$ cualquiera usando la ley de Biot-Savart, en este caso como
\begin{equation}\vec{B}(\vec{\mc{R}})=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime)}{|\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} donde $\vec{r}^\prime$ son puntos en $\mc{C}^\prime$. Usando este resultado entonces se sigue también que
\begin{equation}W=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} Se define entonces
\begin{equation}\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)\equiv\frac{1}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\label{gausslink2}\end{equation} como el llamado enlace de Gauss, que sabemos además, casi de manera gratuita por (\ref{potmulti1}), que es un entero positivo o nulo $n$ (siempre que $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$ no se intersecten; no lo justifico, pero la cuestión seguramente es más sutil). Éstas dos últimas son, escritas ligeramente distinto, las dos primeras ecuaciones del artículo de Ashtekar y Corichi.

El número de enlace es relevante porque al ser un número entero, es también un invariante topológico al no depender de la forma de las curvas $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$. Además, parece no tener relación alguna con la física que se usó para obtenerlo; de hecho se dice que Gauss simplemente lo introdujo para contar el número de veces que una curva cerrada circunda a otra curva cerrada en el espacio (aunque estaba motivado también por el magnetismo terrestre):
Una cuestión primordial en la interfase de la geometria situs y la geometria magnitudinis será la de contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o interminables.
Sean $x,y,z$ las coordenadas de un punto indeterminado en la primera curva; $x^\prime,y^\prime,z^\prime$ las de un punto en la segunda y sea
$$\iint\frac{(x^\prime-x)(dydz^\prime-dzdy^\prime)+(y^\prime-y)(dzdx^\prime-dxdz^\prime)+(z^\prime-z)(dxdy^\prime-dydx^\prime)}{\left[(x^\prime-x)+(y^\prime-y)^2+(z^\prime-z)^2\right]^\frac{3}{2}}=V$$ entonces esta integral tomada a lo largo de ambas curvas es
$$=4m\pi$$ siendo $m$ el número de entrelazamientos.
El valor es recíproco, i.e. se mantiene igual si las curvas se intercambian.
- traducción de la cita en Ricca & Nipoti, "Gauss Linking Number Revisited"
Y en efecto, tomando $\vec{r}=(x,y,z)$ y $\vec{r}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ en (\ref{gausslink2}) se tiene $4\pi\,\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=V$; además se puede comprobar que $\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=\mc{G}\mc{L}(\mc{C}^\prime,\mc{C})$. Al derivar este resultado, Gauss estaba pensando en ángulos sólidos, como se puede leer más en el artículo que cité de Ricca y Nipoti, sólo luego Maxwell elaboraría sobre esto con el argumento físico en base al trabajo que realiza el monopolo magnético.

Aunque no encontré la correspondencia entre Maxwell y Tait, esto es del Vol. II de A Treatise on Electricity and Magnetism.
La Fig. 4 muestra que también existe el caso en que $\mc{G}\mc{L}=0$ para dos curvas inseparables; el eslabón de Whitehead es otro ejemplo famoso.
Geometry of Position o Geometria Situs es el nombre vintage de la Topología.

De cualquier modo, de 1830 o 1860 a nuestra época hay una cantidad impresionante de matemáticas de por medio, por lo que es de esperar que existan numerosas generalizaciones y extensiones de este bello resultado. Sinceramente ignoro la gran mayoría; de cualquier modo algunos enlaces (en el espíritu de la física-matemática) que he encontrado relevantes son:

El principio de incertidumbre electro-magnético
Quizá en los cursos de E&M de licenciatura no se habla del número de enlace (o quizá dependa del profe) porque éste parece no tener importancia física alguna: al final se reduce al numerillo que le dice al alumno qué tantas vueltas está encerrando con su circuito amperiano cuando resuelve con ley de Ampère el problemita del campo $\vec{B}$ en las distintas regiones de un embobinado.
It turns out that the double integral $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ does have a fundamental significance in electro-magnetism, which however, could not have been guessed before the advent of quantum field theory.
«Resulta que la integral doble $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ sí tiene un papel fundamental en el electromagnetismo que, de cualquier modo, no hubiera podido ser descubierto antes de la aparición de la teoría cuántica de campo», dicen Ashtekar y Corichi en el artículo, que básicamente comienza con el paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{B[\alpha],E[\beta]\}=\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} (entre otras cosas, la ec. (1.4) es básicamente el teorema de Stokes usando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$) y luego entonces proponen la segunda cuantización como
\begin{equation}\left[\hat{B}[\alpha],\hat{E}[\beta]\right]=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} de modo que también que hay una incertidumbre de Heisenberg intrínseca en mediciones simultáneas de los campos eléctrico y magnético a través de superficies finitas que además depende del número de enlace de las fronteras de ambas superficies.

En el resto del artículo, los autores obtienen rigurosamente este resultado (que señalan es más bien al nivel del usual en física teórica que el de física matemática). No me puedo decir experto ni mucho menos, pero la cuestión parece ir algo así:

En general en una QFT los campos satisfacen un principio de incertidumbre con su momento conjugado en términos de promedios de ambos en distintas regiones espaciales (asumiendo tiempos iguales o al menos separación temporal). Básicamente los autores construyen un operador $\hat{E}[\beta]$ (e implícitamente también $\hat{B}[\alpha]$) bien definido en el espacio de Fock (la suma de espacios de Hilbert de los fotones) desplegando el campo (intento de traducción de smear; esto se hace en general en QFT, véase e.g. aquí la página 31 o más ampliamente aquí) con una distribución $f^{(\beta)}$ que luego determinan introduciendo reguladores como extender el circuito $\beta$ a un listón e introducir un corte ultravioleta para lidiar con una divergencia. Finalmente calculan el conmutador entre los operadores regulados y toman el límite para quitar los objetos reguladores (el listón, $\epsilon\to0$ y el corte ultravioleta, $\Lambda\to\infty$); extienden además el resultado a circuitos que se intersectan e incluso a cuando se trata del mismo circuito. En el caso más simple sin intersecciones, concluyen:

«La relación de incertidumbre $\displaystyle{\left(\Delta\hat{B}[\alpha]\right)\left(\Delta\hat{E}[\beta]\right)\geq\frac{\hbar}{2}\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$ se afirma en el sentido de $\displaystyle{\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\lim_{\Lambda\to\infty}\left[\hat{B}[f^{(P_\alpha,\Lambda)}],\hat{E}[f^{(P_\beta,\Lambda)}]\right]\right)=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$»

i.e. la incertidumbre electro-magnética proporcional al número de enlace está bien definida en los límites en que los operadores de ambos campos están bien definidos.

Finalmente, de nuevo, en esta nota de justo poco después de la fecha del artículo, John Baez escribe:
Quantum mechanics, electromagnetism, and knot theory are clearly quite tangled up here. Since the linking number was first discovered by Gauss in his work on magnetism, it's all quite fitting.


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SUSY en el LHC, Cuerdas sin SUSY y lo que todo físico debería saber sobre Cuerdas

Hace poco encontré estos vídeos sobre supersimetría y teoría de cuerdas, dos temas íntimamente relacionados:

Supersimetría: el LHC regresa a la búsqueda de nueva física
Este vídeo está dirigido al público en general. La anfitriona entrevista a varios físicos, entre ellos a John Ellis, quien habla acerca del Run II del LHC y en particular sobre la búsqueda de nueva física y supersimetría. La explicación a nivel divulgativo es la usual, pero las entrevistas son interesantes y se presenta también el lado más escéptico de la propuesta de SUSY con Alvaro De Rújula que bromea un poco sobre viajar al pasado.

Entre otras cosas, si no se encuentra SUSY en el Run II del LHC, John Ellis señala que tendrá que limpiar su oficina.
El escritorio de John Ellis @CERN

Teoría de cuerdas en un universo sin supersimetría
Luego del Run I del LHC, los medios y "algunos físicos" comenzaron a decir que SUSY estaba muerto. En realidad, y como se explica en el vídeo anterior, SUSY podría estar en cualquier escala de energía y podría incluso ser inalcanzable por el LHC. De cualquier modo esto mete en problemas a muchos teóricos y en particular a los que se dedican a la construcción de modelos realistas de partículas (tipo modelo estándar) a partir de teoría de cuerdas (fenomenología de cuerdas).

Algunos recursos para abordar este tema conceptualmente son:
What if the LHC doesn't see SUSY? en Physics SE
Why string theory implies supersymmetry en The Reference Frame
Saúl Ramos, investigador del IFUNAM, aborda el tema de Cuerdas sin SUSY (y explica exactamente a qué se refiere esto en el tiempo 27:00 gracias a una pregunta) precisamente motivado por el hecho de que no ha habido evidencia alguna de SUSY en el LHC, entre otros.

El squark stop es la superpartícula asociada al top quark y era una de las primeras que se esperaba en el LHC 

La charla no es divulgativa (seminario de Altas Energías en la UNAM) pero es accesible para quien esté interesado sin ser experto. El audio es relativamente malo pero vale la pena intentar seguirlo (como sea se agradece la iniciativa del camarógrafo) y la acción en específico sobre la construcción de N=0 comienza en el tiempo 21:00.


Finalmente, no recuerdo si durante la presentación se cita el artículo en que está basada la presentación, pero parece que es este trabajo:
Non-supersymmetric heterotic model building
Michael Blaszczyk, Stefan Groot Nibbelink, Orestis Loukas, Saúl Ramos-Sánchez

We investigate orbifold and smooth Calabi-Yau compactifications of the non-supersymmetric heterotic SO(16)×SO(16) string. We focus on such Calabi-Yau backgrounds in order to recycle commonly employed techniques, like index theorems and cohomology theory, to determine both the fermionic and bosonic 4D spectra. We argue that the N=0 theory never leads to tachyons on smooth Calabi-Yaus in the large volume approximation. As twisted tachyons may arise on certain singular orbifolds, we conjecture that such tachyonic states are lifted in the full blow-up. We perform model searches on selected orbifold geometries. In particular, we construct an explicit example of a Standard Model-like theory with three generations and a single Higgs field.

Lo que todo físico debería saber sobre teoría de cuerdas
Al fin una charla de Eddie Witten que todos podemos entender... todos los físicos... todos los que conocen, al menos de lejitos, QFT y obviamente relatividad general.

Las diapositivas de la charla están disponibles aquí a través del sitio del Strings 2015.

A groso modo, en la primera parte, Witten comienza con la que sería una formulación 1-dimensional de gravedad cuántica, en la que el tensor de Riemann es idénticamente nulo y así la curvatura de Ricci y la acción de Einstein-Hilbert, con D campos escalares y llega a una teoría de campo en un espaciotiempo D-dimensional curvo. Luego incluso, con este modelo unidimensional, continúa calculando el propagador de una partícula de un punto a otro e introduce interacciones. Finalmente considera el caso dos dimensional, explica por qué Cuerdas es una teoría de gravedad cuántica (no esperen conocer al gravitón, aunque sólo quedan unas patadillas para describirlo) y discute cómo es que en cuerdas desaparecen las divergencias ultravioleta.


Hay además disponible en YouTube una charla de 2013 del mismo Witten llamada Feynman diagrams in String Theory que parece ser esencialmente la misma, aunque quizá con un poco más de detalle (en la primera diapositiva menciona "I will aim to explain the minimum about string perturbation theory that every quantum physicist should know"). Finalmente en algo con relación únicamente a Witten: How does Edward Witten know so much math?.

http://abstrusegoose.com/332

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¿Por qué no todos creen en Dios?

El ateísmo no es en mí resultado de algo, y mucho menos un acontecimiento de mi vida; para mí, el ateísmo es una cosa instintiva. Soy demasiado curioso, demasiado problemático, demasiado pedante para contentarme con una respuesta burda. Dios es una respuesta burda, una falta de consideración para con nosotros los pensadores, incluso, no es más que una burda prohibición que nos hacen diciéndonos que no debemos pensar.
- Friedrich Nietzsche, Ecce Homo (I, Por qué soy tan inteligente)
Cuando leí por primera vez a Nietzsche en El Anticristo, éste causó en mí una impresión tremenda con su tono agresivo y sus comentarios particularmente agudos sobre el cristianismo. La cita de Ecce Homo que he escrito arriba es ciertamente una de mis favoritas y me parece que representa bien el hecho de que para muchos de nosotros la idea del Dios convencional (elegir aquí a su favorito) es una que ni siquiera merece consideración seria por ser lógicamente inadmisible por definición; es una respuesta burda, la salida fácil a cualquier pregunta que se le escape una respuesta racional. Vale, eso parece obvio, pero precisamente las razones por las que los creyentes creen en un Dios convencional son completamente ajenas al pensamiento racional, aunque luego intenten justificarlo racionalmente y se embarquen en debates imposibles de ganar [objetivamente, me refiero, pues al final queda la cuestión de quién juzga ;-)].

No parece descabellado conjeturar que la correlación de las creencias entre ciertos individuos y sus familiares es casi perfecta; a su vez éstas parecen estar determinadas en su mayoría por las creencias predominantes en la sociedad en cuestión: si eres Mexicana, muy probablemente eres católica, igual que tus padres, y a su vez, si en lugar de eso fueras Yemení, muy probablemente serías musulmana y vestirías un hiyab (o algún otro velo) con orgullo. Excluyendo entonces los casos en que un individuo se decide por un amigo imaginario distinto al predominante en su familia o región del mundo, ¿qué hace que surjan ovejas negras que descartan al Dios convencional?


En esta pequeña publicación web, la autora aborda la cuestión:
Why doesn’t everyone believe in God?: The skeptical brain may hold the answer
Y el punto de la misma se centra en este artículo:
Is it just a brick wall or a sign from the universe? An fMRI study of supernatural believers and skeptics
Lindeman M1, Svedholm AM, Riekki T, Raij T, Hari R.

We examined with functional magnetic resonance imaging the brain activity of 12 supernatural believers and 11 skeptics who first imagined themselves in critical life situations (e.g. problems in intimate relationships) and then watched emotionally charged pictures of lifeless objects and scenery (e.g. two red cherries bound together). Supernatural believers reported seeing signs of how the situations were going to turn out in the pictures more often than skeptics did. Viewing the pictures activated the same brain regions among all participants (e.g. the left inferior frontal gyrus, IFG). However, the right IFG, previously associated with cognitive inhibition, was activated more strongly in skeptics than in supernatural believers, and its activation was negatively correlated to sign seeing in both participant groups. We discuss the implications of these findings for research on the universal processes that may underlie supernatural beliefs and the role of cognitive inhibition in explaining individual differences in such beliefs.
que se puede traducir como

«¿Es sólo un ladrillo en la pared o una señal del universo? Un estudio IRMf de creyentes de lo sobrenatural y escépticos»
«Examinamos con imagen por resonancia magnética funcional la actividad cerebral de 12 creyentes de lo sobrenatural y 11 escépticos quienes primero se imaginaron a sí mismos en situaciones críticas de vida (e.g. problemas en relaciones íntimas) y luego miraron imágenes emocionalmente cargadas de objetos inertes y paisajes (e.g. dos cerezas rojas unidas). Los creyentes de lo sobrenatural reportaron ver señales de cómo las situaciones iban a resultar en las imágenes más frecuentemente que los escépticos. Ver las imágenes activó las mismas regiones cerebrales en todos los participantes (e.g. el giro frontal inferior izquierdo, GFI). De cualquier modo, el GFI derecho, previamente asociado con inhibición cognitiva, se activó más fuertemente en los escépticos que en los creyentes de lo sobrenatural, y su activación estuvo negativamente correlacionada con la visión de señales en ambos grupos de participantes. Discutimos las implicaciones de estos descubrimientos para la investigación de los procesos universales que podrían subyacer las creencias sobrenaturales y el papel de la inhibición cognitiva en explicar diferencias individuales en tales creencias.»

El artículo es de acceso gratuito y la única barrera posible es el idioma; como sea el resultado principal se puede resumir a que los escépticos pueden detener o invalidar ciertos procesos mentales (inhibición cognitiva) con más facilidad, desechando así información indeseada o irrelevante. Luego de ésto queda la cuestión sobre qué procesos hacen que los creyentes de lo sobrenatural vean señales en información irrelevante (i.e. que tengan poca inhibición cognitiva), así como la de cuáles son las razones que hacen que un individuo tenga una mayor o menor inhibición cognitiva.

En la parte de discusión, casi al final del artículo, los autores señalan:
Although people’s general inclination toward supernatural beliefs may be understood as a form of natural information processing, weak cognitive inhibition may explain why supernatural beliefs are not typical of everybody but especially of, for example, children, old people, creative individuals, intuitive thinkers, people in distress and with mental disorders, as well as during decreased sense of control and altered states of consciousness (...). Similarly, it is possible that, besides an implicit inclination toward supernatural interpretations, skeptics may have endorsed explicit supernatural beliefs at some point in their lives. We suggest that developmental increases in cognitive inhibition may be among the factors that contribute to the decline of these beliefs.
i.e.

«Aunque la inclinación general de la gente hacia las creencias sobrenaturales puede entenderse como una forma de procesamiento de información natural, una inhibición cognitiva débil podría explicar por qué las creencias sobrenaturales no son típicas de todos pero especialmente de, por ejemplo, niños, ancianos, individuos creativos, pensadores intuitivos, personas en sufrimiento y con desordenes mentales, así como durante un disminuido sentido del control y estados de consciencia alterados (...). De manera similar, es posible que, además de una inclinación implícita a las interpretaciones sobrenaturales, los escépticos podrían haber apoyado creencias sobrenaturales explícitas en algún punto de sus vidas. Sugerimos que el desarrollo de incrementos en la inhibición cognitiva podría estar entre los factores que contribuyen a la disminución de esas creencias.»

Así pues, la cuestión no es simplemente la de que los individuos puedan separarse en estúpidos y en poseedores de la verdad. En mi caso, como la gran mayoría de Mexicanos, fui inculcado la religión católica desde pequeño (aunque a un nivel muy moderado), y aún así desde una edad temprana empecé a cuestionar muchas cosas que me parecían evidente(mente absurda)s, desde cuestiones meramente religiosas como el sincretismo que implícitamente acarrea el guadalupanismo, hasta la idea misma del Dios del catolicismo. Pero esto es algo que se va desarrollando con la propia experiencia mediante innumerables factores y a través del propio ejercicio y crecimiento intelectual.

Como se resalta en el primer artículo web que cité (Why doesn't everyone...), este cambio usualmente surge más fácilmente cuando las propias creencias (usualmente estúpidas, o si se quiere, predispuestas y tendenciosas) chocan con nuestra situación de vida: e.g. ser inculcado principios altamente homofóbicos y descubrirse eventualmente uno mismo como alguien con preferencias homosexuales. Como sea, en última instancia las creencias religiosas son probablemente las más complicadas de inhibir, además de que algunas religiones como la católica están renovando sus valores continuamente a modo de ser más amigables y de retener la mayor cantidad posible de adeptos (con esto no quiero decir que las fundamentalistas sean a su vez más deseables).


Es más fácil llegar a la obviedad de que dos (o más) personas que conscientemente han elegido estar juntas y ser felices deberían tener el derecho a estarlo y serlo, independientemente de su género, que entender que la idea de un Dios convencional es fundamentalmente obtusa.


Finalmente, en general, todos vemos el mundo a través de nuestros prejuicios, sean religiosos, de género, de raza, o ante cualquier decisión mundana que hemos de tomar, nos guste o no; el punto es que tenemos la capacidad de trascender estos prejuicios como mejor corresponda empleando nuestro intelecto, además de poder desarrollar esta capacidad con la experiencia propia o una educación consciente.
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