Velocidad angular de una rotación parametrizada por ángulo y eje

Una de las parametrizaciones más comunes para una rotación es la de ángulo y eje. En la imagen a la derecha (modificación del original de Wolfram Mathwolrd) se muestra un esquema que puede ayudar a obtener la matriz de rotación $\mathbf{R}$ en términos de la dirección $\mathbf{n}$ (se omite la notación con gorro $\hat{\mathbf{n}}$ por simplicidad) y un ángulo $\Phi$. Esta matriz puede escribirse como
$$\mathbf{R}=\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}+\left(\mathbb{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\right)\cos\Phi+\sin\Phi\,\mathbf{n}\times$$ donde $\mathbb{I}$ es la matriz identidad, que es conocida como la forma de Gibbs de la matriz de Rotación (Piña E., Dinámica de Rotaciones, 1996). Ya que ${\mathbf{R}\mathbf{R}^\mathrm{T}=\mathbb{I}}$, para la velocidad angular en el sistema inercial, se define la matriz antisimétrica ${\boldsymbol{\mho}\equiv\dot{\mathbf{R}}\mathbf{R}^\mathrm{T}}$. Es algo bastante interesante que si se nos ocurre pensar a la matriz antisimétrica $\boldsymbol{\mho}$ como un operador, ésta puede escribirse como un producto vectorial de algún vector $\boldsymbol{\Omega}$; esto es, en 3 dimensiones
$$\boldsymbol{\mho}=\begin{pmatrix}0&-\Omega_3&\Omega_2\\\Omega_3&0&-\Omega_1\\-\Omega_2&\Omega_1&0\end{pmatrix}=\boldsymbol{\Omega}\times\;\text{ con }\;\boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix}\Omega_1\\\Omega_2\\\Omega_3\end{pmatrix}$$ Con esto entonces, se quiere expresar $\boldsymbol{\Omega}$ en términos de $\mathbf{n}$ y $\Phi$. Este probablemente sea un ejercicio sugerido en una clase de mecánica clásica, por lo que no haré todos los pasos aquí. Primeramente, al hacer uso de la expresión de $\mathbf{R}$ parametrizada por ángulo y eje, se tiene
\begin{align*}\boldsymbol{\Omega}&\times=\left[\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}+\mathbf{n}\dot{\mathbf{n}}^\mathrm{T}-\sin\Phi\,\dot{\Phi}\left(\mathbb{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\right)-\cos\Phi\left(\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}+\mathbf{n}\dot{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\right)+\sin\Phi\,\dot{\mathbf{n}}\times+\cos\Phi\,\dot{\Phi}\,\mathbf{n}\,\times\right]\left[\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}+\cos\Phi\left(\mathbb{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\right)-\sin\Phi\,\mathbf{n}\times\right]\end{align*} que es una expresión bastante horrible, y aún falta simplificar, o sea multiplicar y sacar sobrevivientes. De aquí lo que importa, antes de emplear fuerza bruta, es obtener identidades que faciliten el trabajo (o mejor dicho, que hagan el trabajo, pues es todo lo que hay que calcular). Todas las siguientes son necesarias, y asimismo es necesario demostrarlas (algunas probablemente calcularlas explícitamente) ya que algunas no son evidentes, éstas son
\begin{align*}\begin{array}{l l l}\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}=n\,\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}\hspace{1in}&\mathbf{n}\dot{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}=\mathbf{0}\hspace{1in}&\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}=n\,\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\\[0.1in]\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\mathbf{n}\times=\mathbf{0}\hspace{1in}&\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}\mathbf{n}\times=\mathbf{0}\hspace{1in}&\mathbf{n}\times\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}=\mathbf{0}\\[0.1in]\mathbf{n}\times\mathbf{n}\times=\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}-n\,\mathbb{I}\hspace{1in}&\dot{\mathbf{n}}\times\mathbf{n}\times=\mathbf{n}\dot{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\hspace{1in}&\mathbf{n}\dot{\mathbf{n}}^\mathrm{T}=\mathbf{0}\\[0.1in]\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}=\mathbf{n}\times\dot{\mathbf{n}}\times\end{array}\end{align*} donde ${n=\|\mathbf{n}\|=1}$. Cuando yo he tenido que calcular esta velocidad angular, sólo con una identidad que no he notado me ha quedado una expresión incorrecta, por lo que insisto en que es necesario mostrar cada una. Con esto entonces, haciendo la multiplicación horrible, simplemente queda que
\begin{align*}\mathbf{\Omega}\times&=\dot{\Phi}\,\mathbf{n}\times+\dot{\mathbf{n}}\times\left[\sin\Phi\,\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}+\sin\Phi\cos\Phi\left(\mathbb{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T}\right)\right]+\left(1-\cos\Phi\right)\dot{\mathbf{n}}\mathbf{n}^\mathrm{T}\\[0.1in]&=\dot{\Phi}\,\mathbf{n}\times+\sin\Phi\,\dot{\mathbf{n}}\times+\left(1-\cos\Phi\right)\mathbf{n}\times\dot{\mathbf{n}}\end{align*} por lo que se concluye que ${\mathbf{\Omega}=\dot{\Phi}\,\mathbf{n}+\sin\Phi\,\dot{\mathbf{n}}+\left(1-\cos\Phi\right)\mathbf{n}\times\dot{\mathbf{n}}}$ es la velocidad angular en el sistema inercial en términos de ángulo y eje.

Procura encontrar, de manera análoga, la velocidad angular en términos de ángulo y eje en el sistema no inercial, ${\boldsymbol{\omega}=\mathbf{R}^\mathrm{T}\mathbf{\Omega}}$, calculando ahora ${\boldsymbol{\omega}\times=\mathbf{R}^\mathrm{T}\dot{\mathbf{R}}}$.