El triedro de Frenet es una referencia ortonormal para todo punto en una curva parametrizada por longitud de arco. En geometría diferencial se consideran definiciones más generales, sin embargo intuitivamente, en ${\mathbb{R}^3}$, se puede pensar al triedro de Frenet simplemente como un "carrito" de vectores ortonormales que se desplazan a lo largo de una curva. Aquí utilizaré la notación ${\mathbf{T,N,B}}$ para referirme al vector tangente, normal y binormal unitarios.
Las fórmulas de Frenet-Serret describen este triedro empleando precisamente el cambio de éste respecto al arco de la curva (o la parametrización elegida), y además de ello ayudan a definir efectiva e intuitivamente el concepto de curvatura y torsión.
Aquí comparto una demostración de las fórmulas de Frenet-Serret para el caso particular en ${\mathbb{R}^3}$, donde se lee:
Sea ${\alpha:\mathrm{I}\rightarrow\mathbb{R}^3}$ una curva regular de clase ${C^3}$, parametrizada por longitud de arco, entonces:
\begin{align}\mathbf{\dot{T}}&=\kappa\mathbf{N}\label{fre1}\\
\mathbf{\dot{N}}&=\tau\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\label{fre2}\\
\mathbf{\dot{B}}&=-\tau\mathbf{N}\label{fre3}\end{align} donde ${\kappa,\,\tau}$ (escalares) son la curvatura y la torsión respectivamente. Empleo la notación ${\mathbf{\dot{x}}}$ como la derivada de ${\mathbf{x}}$ respecto al parámetro longitud de arco, esperando no incomode al lector.
He aquí una demostración de estas relaciones:
• Tómese en cuenta que, por ser ortonormales, y de modo que sean un sistema de mano derecha (sólo es necesario definir una de estas relaciones, usualmente \ref{defb} y las otras dos se siguen de ahí usando producto cruz; naturalmente $\B{T}\equiv\frac{\dot\alpha}{\|\dot\alpha\|}$ y $\B{N}=\frac{\dot{\B{T}}}{\|\dot{\B{T}}\|}$ ya están definidos), ${\mathbf{T,N,B}}$ satisfacen
\begin{align}\mathbf{T=N\times{B}}\\
\mathbf{N=B\times{T}}\label{defn}\\
\mathbf{B=T\times{N}}\label{defb}\end{align}
• Primero, por definición
\begin{align}\mathbf{N}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\|\mathbf{\dot{T}}\|}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\kappa}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{\dot{T}}=\kappa\mathbf{N}\end{align}
• Véase ahora que ${\mathbf{N\cdot{N}}=1}$, entonces ${\mathbf{N\cdot\dot{N}}=0}$, asi que $\mathbf{\dot{N}}$ es paralelo al plano definido por $\mathbf{B,T}$ y puede ser escrito como una combinación lineal de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{T}$, i.e.
\begin{align}\mathbf{\dot{N}}=\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T}\end{align} Así entonces, al derivar ${\mathbf{B}}$ de la definición (\ref{defb}),
\begin{align}\mathbf{\dot{B}}&=\mathbf{\dot{T}\times{N}+T\times\dot{N}}\nonumber\\[0.1in]&=\kappa\mathbf{N\times{N}+T\times}(\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T})\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{(T\times{B})}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\end{align} y con esto también, al derivar $\mathbf{N}$ de la definición (\ref{defn}),
\begin{align}\mathbf{\dot{N}}&=\mathbf{\dot{B}\times{T}+B\times\dot{T}}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\times\mathbf{T+B\times}\kappa\mathbf{N}\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\end{align} por tanto en la combinación lineal propuesta se identifica,
\begin{equation}\lambda_1=\tau\hspace{0.5in}\lambda_2=-\kappa\end{equation} con lo que se obtienen finalmente las ecuaciones (\ref{fre1},\ref{fre2},\ref{fre3}).
• Finalmente también se encuentra, a partir de ${\mathbf{\dot{B}}=-\tau\mathbf{N}}$, que
\begin{equation}\tau=\mathbf{-N\cdot{\dot{B}}}\end{equation}
• A menudo la gente expresa las ecuaciones de Frenet-Serret en forma matricial
\begin{equation}\begin{pmatrix}\mathbf{\dot{T}}\\{\mathbf{\dot{N}}}\\{\mathbf{\dot{B}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\{0}&-\tau&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\{\mathbf{N}}\\{\mathbf{B}}\end{pmatrix}\end{equation} que resulta interesante al estar formada por una matriz antisimétrica
Puedes ver e interaccionar con el triedro de Frenet en Wolfram Demonstrations:
De cualquier modo la siguiente animación de Wikipedia también puede ser de ayuda.
Las fórmulas de Frenet-Serret describen este triedro empleando precisamente el cambio de éste respecto al arco de la curva (o la parametrización elegida), y además de ello ayudan a definir efectiva e intuitivamente el concepto de curvatura y torsión.
Aquí comparto una demostración de las fórmulas de Frenet-Serret para el caso particular en ${\mathbb{R}^3}$, donde se lee:
Sea ${\alpha:\mathrm{I}\rightarrow\mathbb{R}^3}$ una curva regular de clase ${C^3}$, parametrizada por longitud de arco, entonces:
\begin{align}\mathbf{\dot{T}}&=\kappa\mathbf{N}\label{fre1}\\
\mathbf{\dot{N}}&=\tau\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\label{fre2}\\
\mathbf{\dot{B}}&=-\tau\mathbf{N}\label{fre3}\end{align} donde ${\kappa,\,\tau}$ (escalares) son la curvatura y la torsión respectivamente. Empleo la notación ${\mathbf{\dot{x}}}$ como la derivada de ${\mathbf{x}}$ respecto al parámetro longitud de arco, esperando no incomode al lector.
He aquí una demostración de estas relaciones:
• Tómese en cuenta que, por ser ortonormales, y de modo que sean un sistema de mano derecha (sólo es necesario definir una de estas relaciones, usualmente \ref{defb} y las otras dos se siguen de ahí usando producto cruz; naturalmente $\B{T}\equiv\frac{\dot\alpha}{\|\dot\alpha\|}$ y $\B{N}=\frac{\dot{\B{T}}}{\|\dot{\B{T}}\|}$ ya están definidos), ${\mathbf{T,N,B}}$ satisfacen
\begin{align}\mathbf{T=N\times{B}}\\
\mathbf{N=B\times{T}}\label{defn}\\
\mathbf{B=T\times{N}}\label{defb}\end{align}
• Primero, por definición
\begin{align}\mathbf{N}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\|\mathbf{\dot{T}}\|}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\kappa}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{\dot{T}}=\kappa\mathbf{N}\end{align}
• Véase ahora que ${\mathbf{N\cdot{N}}=1}$, entonces ${\mathbf{N\cdot\dot{N}}=0}$, asi que $\mathbf{\dot{N}}$ es paralelo al plano definido por $\mathbf{B,T}$ y puede ser escrito como una combinación lineal de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{T}$, i.e.
\begin{align}\mathbf{\dot{N}}=\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T}\end{align} Así entonces, al derivar ${\mathbf{B}}$ de la definición (\ref{defb}),
\begin{align}\mathbf{\dot{B}}&=\mathbf{\dot{T}\times{N}+T\times\dot{N}}\nonumber\\[0.1in]&=\kappa\mathbf{N\times{N}+T\times}(\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T})\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{(T\times{B})}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\end{align} y con esto también, al derivar $\mathbf{N}$ de la definición (\ref{defn}),
\begin{align}\mathbf{\dot{N}}&=\mathbf{\dot{B}\times{T}+B\times\dot{T}}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\times\mathbf{T+B\times}\kappa\mathbf{N}\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\end{align} por tanto en la combinación lineal propuesta se identifica,
\begin{equation}\lambda_1=\tau\hspace{0.5in}\lambda_2=-\kappa\end{equation} con lo que se obtienen finalmente las ecuaciones (\ref{fre1},\ref{fre2},\ref{fre3}).
• Finalmente también se encuentra, a partir de ${\mathbf{\dot{B}}=-\tau\mathbf{N}}$, que
\begin{equation}\tau=\mathbf{-N\cdot{\dot{B}}}\end{equation}
• A menudo la gente expresa las ecuaciones de Frenet-Serret en forma matricial
\begin{equation}\begin{pmatrix}\mathbf{\dot{T}}\\{\mathbf{\dot{N}}}\\{\mathbf{\dot{B}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\{0}&-\tau&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\{\mathbf{N}}\\{\mathbf{B}}\end{pmatrix}\end{equation} que resulta interesante al estar formada por una matriz antisimétrica
Puedes ver e interaccionar con el triedro de Frenet en Wolfram Demonstrations:
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