Frenet-Serret y el triedro móvil

El triedro de Frenet es una referencia ortonormal para todo punto en una curva parametrizada por longitud de arco. En geometría diferencial se consideran definiciones más generales, sin embargo intuitivamente, en ${\mathbb{R}^3}$, se puede pensar al triedro de Frenet simplemente como un "carrito" de vectores ortonormales que se desplazan a lo largo de una curva. Aquí utilizaré la notación ${\mathbf{T,N,B}}$ para referirme al vector tangente, normal y binormal unitarios.

Las fórmulas de Frenet-Serret describen este triedro empleando precisamente el cambio de éste respecto al arco de la curva (o la parametrización elegida), y además de ello ayudan a definir efectiva e intuitivamente el concepto de curvatura y torsión.

Aquí comparto una demostración de las fórmulas de Frenet-Serret para el caso particular en ${\mathbb{R}^3}$, donde se lee:

Sea ${\alpha:\mathrm{I}\rightarrow\mathbb{R}^3}$ una curva regular de clase ${C^3}$, parametrizada por longitud de arco, entonces:
$$\begin{align}\mathbf{\dot{T}}&=\kappa\mathbf{N}\label{fre1}\\ \mathbf{\dot{N}}&=\tau\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\label{fre2}\\ \mathbf{\dot{B}}&=-\tau\mathbf{N}\label{fre3}\end{align}$$ donde ${\kappa,\,\tau}$ (escalares) son la curvatura y la torsión respectivamente. Empleo la notación ${\mathbf{\dot{x}}}$ como la derivada de ${\mathbf{x}}$ respecto al parámetro longitud de arco, esperando no incomode al lector.

He aquí una demostración de estas relaciones:

• Tómese en cuenta que, por ser ortonormales, y de modo que sean un sistema de mano derecha (sólo es necesario definir una de estas relaciones, usualmente $\ref{defb}$ y las otras dos se siguen de ahí usando producto cruz; naturalmente $\B{T}\equiv\frac{\dot\alpha}{\|\dot\alpha\|}$ y $\B{N}=\frac{\dot{\B{T}}}{\|\dot{\B{T}}\|}$ ya están definidos), ${\mathbf{T,N,B}}$ satisfacen
$$\begin{align}\mathbf{T=N\times{B}}\\ \mathbf{N=B\times{T}}\label{defn}\\ \mathbf{B=T\times{N}}\label{defb}\end{align}$$
• Primero, por definición
$$\begin{align}\mathbf{N}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\|\mathbf{\dot{T}}\|}=\frac{\mathbf{\dot{T}}}{\kappa}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{\dot{T}}=\kappa\mathbf{N}\end{align}$$
• Véase ahora que ${\mathbf{N\cdot{N}}=1}$, entonces ${\mathbf{N\cdot\dot{N}}=0}$, asi que $\mathbf{\dot{N}}$ es paralelo al plano definido por $\mathbf{B,T}$ y puede ser escrito como una combinación lineal de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{T}$, i.e.
$$\begin{align}\mathbf{\dot{N}}=\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T}\end{align}$$ Así entonces, al derivar ${\mathbf{B}}$ de la definición ($\ref{defb}$),
$$\begin{align}\mathbf{\dot{B}}&=\mathbf{\dot{T}\times{N}+T\times\dot{N}}\nonumber\\[0.1in]&=\kappa\mathbf{N\times{N}+T\times}(\lambda_1\mathbf{B}+\lambda_2\mathbf{T})\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{(T\times{B})}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\end{align}$$ y con esto también, al derivar $\mathbf{N}$ de la definición ($\ref{defn}$),
$$\begin{align}\mathbf{\dot{N}}&=\mathbf{\dot{B}\times{T}+B\times\dot{T}}\nonumber\\[0.1in]&=-\lambda_1\mathbf{N}\times\mathbf{T+B\times}\kappa\mathbf{N}\nonumber\\[0.1in]&=\lambda_1\mathbf{B}-\kappa\mathbf{T}\end{align}$$ por tanto en la combinación lineal propuesta se identifica,
$$\begin{equation}\lambda_1=\tau\hspace{0.5in}\lambda_2=-\kappa\end{equation}$$ con lo que se obtienen finalmente las ecuaciones ($\ref{fre1}$,$\ref{fre2}$,$\ref{fre3}$).

• Finalmente también se encuentra, a partir de ${\mathbf{\dot{B}}=-\tau\mathbf{N}}$, que
$$\begin{equation}\tau=\mathbf{-N\cdot{\dot{B}}}\end{equation}$$
• A menudo la gente expresa las ecuaciones de Frenet-Serret en forma matricial
$$\begin{equation}\begin{pmatrix}\mathbf{\dot{T}}\\{\mathbf{\dot{N}}}\\{\mathbf{\dot{B}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\{0}&-\tau&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\{\mathbf{N}}\\{\mathbf{B}}\end{pmatrix}\end{equation}$$ que resulta interesante al estar formada por una matriz antisimétrica

Puedes ver e interaccionar con el triedro de Frenet en Wolfram Demonstrations:

De cualquier modo la siguiente animación de Wikipedia también puede ser de ayuda.