El problema de Basilea

Uno de los acontecimientos que dieron fama a Leonhard Euler a sus 28 años fue “demostrar” que
$$\sum_{k=1}^{\infty}\,\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ o bien para quien esté familiarizado
$$\zeta{(2)} =\frac{\pi^2}{6}$$ digo “demostrar” pues el procedimiento de Euler tenía una falla sutil por la cual fue criticado. El resultado anterior no es uno trivial y la pregunta original se conoce como el problema de Basilea, por la ciudad natal de Euler. Otros matemáticos intentaron resolverlo antes y todos fallaron; el problema fue propuesto en 1650 por Pietro Mengoli, que entre otras cosas fue el primero en demostrar que
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\;(k+1)}=1$$ Leibniz, Goldbach y Stirling fueron algunos de ellos, pero el que logró mayor avance fue Jacob Bernoulli (también nacido en Basilea) haciendo notar que
$$\sum_{k=1}^{\infty}\,\frac{1}{k^2}<2\sum_{k=1}^{\infty}\,\frac{1}{k\;(k+1)}=2$$ sin embargo, la serie converge muy lentamente, podríamos sumar 200 términos consecutivos y obtendríamos 1.6399465460149973, que tiene solamente un decimal correcto.

Pero tenía que aparecer Euler y hacer lo siguiente:

Se sabe que
$$\frac{\sin{\;x}}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$$ además, la gente sabe que las raíces de la función seno son ${n\pi}$ para n entero, entonces Euler supone que lo siguiente es cierto
$$\frac{\sin{\;x}}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\;\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\;\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\;\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\;\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)$$ entonces también debe ser cierto
$$\frac{x^2}{3!}=x^2\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}\cdots\right)$$ es decir
$$\left(\frac{\pi^2}{x^2}\right)\;\frac{x^2}{3!}=\left(\frac{\pi^2}{x^2}\right)\; x^2\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}\cdots\right)$$ $$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}\;\frac{1}{k^2}$$ Este resultado es correcto y sin embargo tiene una falla, ¿puedes indicar cuál es?

El mismo Euler años más tarde proveería una demostración sin fallas y hoy se conocen soluciones al problema que no requieren intrincadas herramientas matemáticas.

El problema es de gran importancia pues logró cautivar a Bernhard Riemann, que después formularía la función zeta, que constituye uno de los problemas más relevantes hoy en día en la famosa Hipótesis de Riemann.

En el siguiente enlace pueden consultarse 14 procedimientos distintos para $\displaystyle{\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}}$ : Evaluating $\zeta(2)$