El concepto de infinito resulta sumamente atractivo incluso para las mentes obtusas; es algo que se nos escapa y sin embargo nos hace sentir plenamente humanos. La vida del matemático Georg Cantor estuvo destinada en gran parte a estudiar y sentar las bases formales de este revolucionario concepto (es sumamente interesante y estimulante la vida de Cantor y recomiendo pródigamente leer acerca de ella), y sus ideas a menudo fueron rechazadas y condenadas incluso por matemáticos de la talla de Gauss e incluso por su mentor Weierstrass.
Uno de los ejemplos que más desafía a la gente a expandir sus ideas es demostrar que 0.99999… = 1, o bien que 0.33333… = 1/3, etc. Si no lo has hecho, uno de los métodos más sencillos sólo requiere álgebra vulgar y silvestre, por lo que puedes intentarlo antes por ti mismo, la prueba va así
Desde la antigüedad se concibe el concepto de infinito potencial e infinito actual o cardinal. El infinito potencial es la variación de una magnitud que crece más allá de cualquier cantidad finita, mientras el infinito actual es una magnitud fija más allá de cualquier cantidad finita (el infinito no es un número real, sin embargo los infinitos poseen cardinalidad y Cantor los considera números, que llama transfinitos). La clave es que podemos pensar los números enteros (cuyo conjunto se simboliza $\mathbb{N}$), racionales (cuyo conjunto es $\mathbb{Q}$) e irracionales (no es estándar un símbolo para este conjunto, pero adoptemos por ahora $\mathbb{I}$) como un proceso infinito que se aproxima a una magnitud dada, por ejemplo 4.0000000..., para un entero, 0.3333333..., para un racional, 1.4142135623730951... para un irracional. Nótese que los enteros y los racionales siempre son periódicos en su parte decimal, mientras los irracionales nunca lo son.
Cantor extiende la cardinalidad para conjuntos y dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o son equipotentes si a cada elemento de un conjunto le corresponde otro del otro conjunto. De ahí Cantor desafía nuestras nociones arcaicas y nos dice que un conjunto infinito es aquél para el que existe un subconjunto con el que es equipotente. Por ejemplo, en el conjunto de los naturales podemos hacer corresponder
\begin{align*}1&\mapsto{1^2}\\[0.1in]
2&\mapsto{2^2}\\[0.1in]
3&\mapsto{3^2}\\[0.1in]
4&\mapsto{4^2}\\[0.1in]
&\vdots\end{align*} y es claro que podemos hacer esto ad infinito (rigurosamente se dice que se tiene correspondencia biyectiva).
Pero además de esto, Cantor descubrió que hay distintos tamaños de infinitos. Cantor asignó al cardinal infinito de $\mathbb{N}$ el número ${\aleph_0}$ (un número u ordinal transfinito), que es del mismo orden que el de $\mathbb{Q}$ aunque éste sea un conjunto denso. Sin embargo para el caso de $\mathbb{R}$ debemos considerar los irracionales, en el cual se encuentran los números trascendentes y por tanto no podemos hacer corresponder cada elemento ${\mathbb{R}\to\mathbb{N}}$ (se dice que el conjunto no es numerable) y entonces el transfinito ${\aleph_0}$ debe ser de menor orden al transfinito de $\mathbb{R}$, que llamamos ${\aleph_1}$ (en la llamada hipótesis del continuo se dice que ${\aleph_0<\aleph_1=2^{\aleph_0}}$).
Cantor además consideró que hay un número infinito de números transfinitos, es decir, que no hay un último número transfinito. De aquí se siguen algunas paradojas, como por ejemplo: A todo conjunto infinito se le puede asignar un número transfinito, entonces, hay un conjunto infinito que contiene a todos los números transfinitos, pero… ¡este conjunto sería otro número transfinito! De otro modo, consideremos que este conjunto infinito se contiene a sí mismo, entonces tendríamos conjuntos que se contienen a sí mismos y conjuntos que no, pero entonces ¿el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo?
Exhorto nuevamente a leer la biografía de Georg Cantor, que finalmente murió en un hospital psiquiátrico en 1918. No cualquiera decide nadar en aquellas corrientes.
La última pregunta que cito, fue propuesta por Bertrand Russell, que como Cantor, tengo como uno de los grandes personajes, y quien a propósito puso lo anterior de la siguiente forma:
Se puede argumentar del siguiente modo:
El enunciado se puede escribir
que se lee “existe p tal que para todo h, p rasura h sí y sólo sí h no rasura h”, y como suponemos que p=h
que es una contradicción, por tanto lo hipótesis debe ser falsa, i.e.
entonces no hay solución posible para p=h, es decir, o el peluquero no es hombre o simplemente no vive en la isla en que viven los demás hombres.
Por supuesto una astuta dama, un perro, un alienígena o una llama glama habrían hecho al peluquero de su propio género desde un principio y voilà!
Lo anterior (es decir, la pregunta ¿el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo?) no se considera concretamente una paradoja pues no puede satisfacerse desde un principio (axiomas de Zermelo-Fraenkel), sin embargo hay varias paradojas formuladas por Russell e inspiradas en la teoría de Cantor (teoría informal de conjuntos, previa o base a los axiomas de Zermelo-Fraenkel) que desafiaron fuertemente las bases de esta última. No estoy seguro de qué tanto se ha resuelto respecto a estos temas, sin embargo lo único seguro es que hay un tremendo, magnífico, y para muchos inconcebible mundo por descubrir. Sólo puedo invitar a inspirarse en Cantor y a recordar que, como decía Schopenhauer, "toda verdad atraviesa tres fases: primero es ridiculizada, luego recibe violenta oposición y finalmente es aceptada como algo evidente".
Uno de los ejemplos que más desafía a la gente a expandir sus ideas es demostrar que 0.99999… = 1, o bien que 0.33333… = 1/3, etc. Si no lo has hecho, uno de los métodos más sencillos sólo requiere álgebra vulgar y silvestre, por lo que puedes intentarlo antes por ti mismo, la prueba va así
x = 0.99999...
10x = 9.99999...
10x-x = 9.99999...-0.99999...
9x = 9, por tanto, x = 1
10x = 9.99999...
10x-x = 9.99999...-0.99999...
9x = 9, por tanto, x = 1
Desde la antigüedad se concibe el concepto de infinito potencial e infinito actual o cardinal. El infinito potencial es la variación de una magnitud que crece más allá de cualquier cantidad finita, mientras el infinito actual es una magnitud fija más allá de cualquier cantidad finita (el infinito no es un número real, sin embargo los infinitos poseen cardinalidad y Cantor los considera números, que llama transfinitos). La clave es que podemos pensar los números enteros (cuyo conjunto se simboliza $\mathbb{N}$), racionales (cuyo conjunto es $\mathbb{Q}$) e irracionales (no es estándar un símbolo para este conjunto, pero adoptemos por ahora $\mathbb{I}$) como un proceso infinito que se aproxima a una magnitud dada, por ejemplo 4.0000000..., para un entero, 0.3333333..., para un racional, 1.4142135623730951... para un irracional. Nótese que los enteros y los racionales siempre son periódicos en su parte decimal, mientras los irracionales nunca lo son.
Cantor extiende la cardinalidad para conjuntos y dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o son equipotentes si a cada elemento de un conjunto le corresponde otro del otro conjunto. De ahí Cantor desafía nuestras nociones arcaicas y nos dice que un conjunto infinito es aquél para el que existe un subconjunto con el que es equipotente. Por ejemplo, en el conjunto de los naturales podemos hacer corresponder
\begin{align*}1&\mapsto{1^2}\\[0.1in]
2&\mapsto{2^2}\\[0.1in]
3&\mapsto{3^2}\\[0.1in]
4&\mapsto{4^2}\\[0.1in]
&\vdots\end{align*} y es claro que podemos hacer esto ad infinito (rigurosamente se dice que se tiene correspondencia biyectiva).
Pero además de esto, Cantor descubrió que hay distintos tamaños de infinitos. Cantor asignó al cardinal infinito de $\mathbb{N}$ el número ${\aleph_0}$ (un número u ordinal transfinito), que es del mismo orden que el de $\mathbb{Q}$ aunque éste sea un conjunto denso. Sin embargo para el caso de $\mathbb{R}$ debemos considerar los irracionales, en el cual se encuentran los números trascendentes y por tanto no podemos hacer corresponder cada elemento ${\mathbb{R}\to\mathbb{N}}$ (se dice que el conjunto no es numerable) y entonces el transfinito ${\aleph_0}$ debe ser de menor orden al transfinito de $\mathbb{R}$, que llamamos ${\aleph_1}$ (en la llamada hipótesis del continuo se dice que ${\aleph_0<\aleph_1=2^{\aleph_0}}$).
Cantor además consideró que hay un número infinito de números transfinitos, es decir, que no hay un último número transfinito. De aquí se siguen algunas paradojas, como por ejemplo: A todo conjunto infinito se le puede asignar un número transfinito, entonces, hay un conjunto infinito que contiene a todos los números transfinitos, pero… ¡este conjunto sería otro número transfinito! De otro modo, consideremos que este conjunto infinito se contiene a sí mismo, entonces tendríamos conjuntos que se contienen a sí mismos y conjuntos que no, pero entonces ¿el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo?
Exhorto nuevamente a leer la biografía de Georg Cantor, que finalmente murió en un hospital psiquiátrico en 1918. No cualquiera decide nadar en aquellas corrientes.
La última pregunta que cito, fue propuesta por Bertrand Russell, que como Cantor, tengo como uno de los grandes personajes, y quien a propósito puso lo anterior de la siguiente forma:
Existe un peluquero que vive en una isla. El peluquero rasura a todos y sólo a los hombres en la isla que no se rasuran a sí mismos. ¿Quién rasura al peluquero?¿Si el peluquero se rasura a sí mismo, entonces el peluquero no rasura al peluquero…?
Se puede argumentar del siguiente modo:
El enunciado se puede escribir
$\exists$p [ $\forall$h (rasura(p,h)$\longleftrightarrow\;\sim$ rasura(h,h))]
que se lee “existe p tal que para todo h, p rasura h sí y sólo sí h no rasura h”, y como suponemos que p=h
rasura(p,p)$\longleftrightarrow\;\sim$ rasura(p,p)
que es una contradicción, por tanto lo hipótesis debe ser falsa, i.e.
$\sim$ { $\exists$ p [ $\forall$ h ( rasura(p,h)$\longleftrightarrow\;\sim$ rasura(h,h) ) ] }
$\forall$ p [ $\exists$ h ( rasura(p,h) $\longleftrightarrow\;\sim$ rasura(h,h) ) ]
$\sim$ ( rasura(p,p)$\longleftrightarrow\;\sim$ rasura(p,p) )
entonces no hay solución posible para p=h, es decir, o el peluquero no es hombre o simplemente no vive en la isla en que viven los demás hombres.
Por supuesto una astuta dama, un perro, un alienígena o una llama glama habrían hecho al peluquero de su propio género desde un principio y voilà!
Lo anterior (es decir, la pregunta ¿el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo?) no se considera concretamente una paradoja pues no puede satisfacerse desde un principio (axiomas de Zermelo-Fraenkel), sin embargo hay varias paradojas formuladas por Russell e inspiradas en la teoría de Cantor (teoría informal de conjuntos, previa o base a los axiomas de Zermelo-Fraenkel) que desafiaron fuertemente las bases de esta última. No estoy seguro de qué tanto se ha resuelto respecto a estos temas, sin embargo lo único seguro es que hay un tremendo, magnífico, y para muchos inconcebible mundo por descubrir. Sólo puedo invitar a inspirarse en Cantor y a recordar que, como decía Schopenhauer, "toda verdad atraviesa tres fases: primero es ridiculizada, luego recibe violenta oposición y finalmente es aceptada como algo evidente".
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