Considera la ecuación
$$\alpha^2f_{xx}+2\,\alpha\beta\,f_{xy}+\beta^2f_{yy}=g\hspace{1in}(1)$$ con ${g=g(x,y)}$ y coeficientes constantes. Ya que se tiene el discriminante ${\Delta\equiv(\alpha\beta)^2-\alpha^2\beta^2=0}$, la ecuación es parabólica y tiene una única curva característica dada por
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\beta}{\alpha}\,\Longleftrightarrow\,d(\alpha{y}-\beta{x})=0$$ entonces sean ${\zeta\equiv\alpha{y}-\beta{x}}$, ${\eta=\beta{x}}$ las nuevas variables independientes, de modo que por regla de la cadena se tiene
$$\begin{array}{ll}\partial_x&=\zeta_x\partial_\zeta+\eta_x\partial_\eta=-\beta\,\partial_\zeta+\beta\partial_\eta=\beta(\partial_\eta-\partial_\zeta)\\[0.1in]\partial^2_{x}&=\beta^2\left(\partial^2_\eta-2\partial_{\eta\zeta}^2+\partial_\zeta^2\right)\\[0.1in]\partial_y&=\zeta_y\partial_\zeta+\eta_y\partial_\eta=\alpha\,\partial_\zeta\\[0.1in]\partial^2_y&=\alpha^2\partial^2_\zeta\\[0.1in]\partial^2_{xy}&=\alpha\beta\left(\partial^2_{\eta\zeta}-\partial^2_\zeta\right)\end{array}$$ con lo que entonces también se tiene simplemente que
$$\alpha^2\partial^2_x+2\alpha\beta\,\partial^2_{xy}+\beta^2\partial^2_y=\alpha^2\beta^2\partial^2_\eta$$ es decir, podemos escribir la ecuación original en la forma
$$\alpha^2\bar{f}_{xx}=\bar{g}\hspace{1in}(2)$$ con ${\bar{g}=\bar{g}(x,\zeta)\equiv{g\left[x,\alpha^{-1}(\zeta+\beta{x})\right]}}$ y de manera análoga para $\bar{f}$. La solución de esta ecuación en un intervalo ${[x_0,x]}$ es de la forma
$$\bar{f}(x,\zeta)=\alpha^{-2}\int_{x_0}^{x}\left[\int_{x_0}^s\bar{g}(\tau,\zeta)\,d\tau\right]\,ds+x\,u(\zeta)+v(\zeta)$$ con u, v, determinadas por las condiciones de frontera del problema, que ya sean tipo Dirichlet, Neumann o mixtas, sólo se admitirán dos (por supuesto en x). Lo interesante es que se trata de un problema dos dimensional que sólo precisa condiciones en una dimensión para tener solución única, si se considera la otra, el problema queda sobredeterminado. Esto no ocurre así, por ejemplo, si g incluye una primer derivada parcial con signo positivo en y, tornando la ecuación (2) en una ec. de calor, que requeriría el equivalente a una condición inicial en y.
Esto ilustra bien que puede sobredeterminarse un problema si no hay cuidado en tratar el carácter del mismo. La pregunta interesante es en realidad, ¿qué sucede si en general ${\alpha=\alpha(x,y),\;\beta=\beta(x,y)}$ en la ec. (1)? La ecuación podría resolverse únicamente de forma numérica, por lo que sería conveniente responder antes a la pregunta hecha; aparentemente nada impide emplear nuevamente la ecuación para la curva característica y regla de la cadena.
$$\alpha^2f_{xx}+2\,\alpha\beta\,f_{xy}+\beta^2f_{yy}=g\hspace{1in}(1)$$ con ${g=g(x,y)}$ y coeficientes constantes. Ya que se tiene el discriminante ${\Delta\equiv(\alpha\beta)^2-\alpha^2\beta^2=0}$, la ecuación es parabólica y tiene una única curva característica dada por
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\beta}{\alpha}\,\Longleftrightarrow\,d(\alpha{y}-\beta{x})=0$$ entonces sean ${\zeta\equiv\alpha{y}-\beta{x}}$, ${\eta=\beta{x}}$ las nuevas variables independientes, de modo que por regla de la cadena se tiene
$$\begin{array}{ll}\partial_x&=\zeta_x\partial_\zeta+\eta_x\partial_\eta=-\beta\,\partial_\zeta+\beta\partial_\eta=\beta(\partial_\eta-\partial_\zeta)\\[0.1in]\partial^2_{x}&=\beta^2\left(\partial^2_\eta-2\partial_{\eta\zeta}^2+\partial_\zeta^2\right)\\[0.1in]\partial_y&=\zeta_y\partial_\zeta+\eta_y\partial_\eta=\alpha\,\partial_\zeta\\[0.1in]\partial^2_y&=\alpha^2\partial^2_\zeta\\[0.1in]\partial^2_{xy}&=\alpha\beta\left(\partial^2_{\eta\zeta}-\partial^2_\zeta\right)\end{array}$$ con lo que entonces también se tiene simplemente que
$$\alpha^2\partial^2_x+2\alpha\beta\,\partial^2_{xy}+\beta^2\partial^2_y=\alpha^2\beta^2\partial^2_\eta$$ es decir, podemos escribir la ecuación original en la forma
$$\alpha^2\bar{f}_{xx}=\bar{g}\hspace{1in}(2)$$ con ${\bar{g}=\bar{g}(x,\zeta)\equiv{g\left[x,\alpha^{-1}(\zeta+\beta{x})\right]}}$ y de manera análoga para $\bar{f}$. La solución de esta ecuación en un intervalo ${[x_0,x]}$ es de la forma
$$\bar{f}(x,\zeta)=\alpha^{-2}\int_{x_0}^{x}\left[\int_{x_0}^s\bar{g}(\tau,\zeta)\,d\tau\right]\,ds+x\,u(\zeta)+v(\zeta)$$ con u, v, determinadas por las condiciones de frontera del problema, que ya sean tipo Dirichlet, Neumann o mixtas, sólo se admitirán dos (por supuesto en x). Lo interesante es que se trata de un problema dos dimensional que sólo precisa condiciones en una dimensión para tener solución única, si se considera la otra, el problema queda sobredeterminado. Esto no ocurre así, por ejemplo, si g incluye una primer derivada parcial con signo positivo en y, tornando la ecuación (2) en una ec. de calor, que requeriría el equivalente a una condición inicial en y.
Esto ilustra bien que puede sobredeterminarse un problema si no hay cuidado en tratar el carácter del mismo. La pregunta interesante es en realidad, ¿qué sucede si en general ${\alpha=\alpha(x,y),\;\beta=\beta(x,y)}$ en la ec. (1)? La ecuación podría resolverse únicamente de forma numérica, por lo que sería conveniente responder antes a la pregunta hecha; aparentemente nada impide emplear nuevamente la ecuación para la curva característica y regla de la cadena.
No comments:
Post a Comment