Hace poco me encontré con esta publicación en el wiki de Cut the knot, gracias al tuit de Alexander Bogomolny:
$$1=\frac{2}{3-1}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-1}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$y también
$$2=\frac{2}{3-2}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$ de modo que se concluye que
$$1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}=2$$
Aún declarándome mero aficionado en el tema de fracciones continuas, lo primero en lo que uno piensa al ver esta falacia es lo mismo en lo que uno piensa cuando lidia con series infinitas, i.e. convergencia. Sea
$$\psi\equiv\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$ entonces el n-ésimo convergente de dicho $\psi$ está dado por
$$c_n\equiv\frac{2}{3-c_{n-1}}$$ Asumiendo que la fracción converge (probarlo puede ser más complicado de lo que parece, o de lo que es probar convergencia en series infinitas; en general, se pide que la diferencia entre convergentes sucesivos se aproxime a cero, i.e. $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}c_{n-1}}$, algunos teoremas pueden ser de ayuda), se tiene, por supuesto, que $\displaystyle{\psi=\lim_{n\to\infty}c_n}$, entonces se sigue que
$$\psi=\frac{2}{3-\psi}\;\Longrightarrow\;\psi^2-3\psi+2=0$$ cuyas soluciones, como era de esperarse, son ${\psi=1,2}$. Es decir, esta fracción continua aparentemente infinita en realidad converge para estos dos valores de forma finita, precisamente por tratarse los convergentes de números enteros; esto en particular, nunca ocurre con números irracionales, como por ejemplo para la razón áurea $\displaystyle{\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}$ cuya fracción continua infinita (se dice además que es simple por que los numeradores parciales son todos iguales a 1) converge a ${\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}$, evidentemente un número irracional y que converge de manera infinita.
En general para la fracción $\displaystyle{x=\frac{a}{b-x}}$, con ${a,b}$ enteros fijos, podemos encontrar, por ejemplo, que siempre que ${b=a+1}$, resolviendo para $x$ y usando su definición,
$$x=\frac{a}{(a+1)-x}\;\Longrightarrow\;1=\frac{a}{(a+1)-\frac{a}{(a+1)-\frac{a}{(a+1)-\ddots}}}=a$$ es decir, podríamos "mostrar" cualquiera de las "contradicciones" ${1=\ldots,-2,-1,0,2,3,\ldots}$ Estas aparentes contradicciones probablemente pueden hacerse pasar como tales fácilmente debido al signo negativo involucrado en el denominador: esto no ocurre, por ejemplo, si expresamos 1 como
$$1=\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\ddots}}}$$ donde sin embargo la fracción también converge de manera finita a 1, lo que tendría que escribirse como $\displaystyle{1=\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{\ddots}{1+\frac{2}{1+1}}}}}$, de cualquier modo en este caso no hay ambigüedad alguna, ya que $\displaystyle{\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\ddots}}}}$ no puede ser igual a -2, la otra solución de $x=\frac{2}{1+x}$.
La moraleja importante es que toda fracción continua infinita es un número irracional; cualquier representación tentativamente infinita de un número racional debe converger de forma finita. Esto invita a ser cuidadoso cuando se trabaja con fracciones continuas y el infinito. Así pues, para lo dicho anteriormente simplemente se tiene que
$$1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{\ddots}{3-\frac{2}{3-1}}}}\hspace{0.75in}\neq\hspace{0.75in}2=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{\ddots}{3-\frac{2}{3-2}}}}$$
de donde se puede leer que1 = 2 via continued fractions http://t.co/PwWLULB1
— Alexander Bogomolny (@CutTheKnotMath) December 4, 2012
$$1=\frac{2}{3-1}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-1}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$y también
$$2=\frac{2}{3-2}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$ de modo que se concluye que
$$1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}=2$$
Aún declarándome mero aficionado en el tema de fracciones continuas, lo primero en lo que uno piensa al ver esta falacia es lo mismo en lo que uno piensa cuando lidia con series infinitas, i.e. convergencia. Sea
$$\psi\equiv\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}$$ entonces el n-ésimo convergente de dicho $\psi$ está dado por
$$c_n\equiv\frac{2}{3-c_{n-1}}$$ Asumiendo que la fracción converge (probarlo puede ser más complicado de lo que parece, o de lo que es probar convergencia en series infinitas; en general, se pide que la diferencia entre convergentes sucesivos se aproxime a cero, i.e. $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}c_{n-1}}$, algunos teoremas pueden ser de ayuda), se tiene, por supuesto, que $\displaystyle{\psi=\lim_{n\to\infty}c_n}$, entonces se sigue que
$$\psi=\frac{2}{3-\psi}\;\Longrightarrow\;\psi^2-3\psi+2=0$$ cuyas soluciones, como era de esperarse, son ${\psi=1,2}$. Es decir, esta fracción continua aparentemente infinita en realidad converge para estos dos valores de forma finita, precisamente por tratarse los convergentes de números enteros; esto en particular, nunca ocurre con números irracionales, como por ejemplo para la razón áurea $\displaystyle{\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}$ cuya fracción continua infinita (se dice además que es simple por que los numeradores parciales son todos iguales a 1) converge a ${\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}$, evidentemente un número irracional y que converge de manera infinita.
En general para la fracción $\displaystyle{x=\frac{a}{b-x}}$, con ${a,b}$ enteros fijos, podemos encontrar, por ejemplo, que siempre que ${b=a+1}$, resolviendo para $x$ y usando su definición,
$$x=\frac{a}{(a+1)-x}\;\Longrightarrow\;1=\frac{a}{(a+1)-\frac{a}{(a+1)-\frac{a}{(a+1)-\ddots}}}=a$$ es decir, podríamos "mostrar" cualquiera de las "contradicciones" ${1=\ldots,-2,-1,0,2,3,\ldots}$ Estas aparentes contradicciones probablemente pueden hacerse pasar como tales fácilmente debido al signo negativo involucrado en el denominador: esto no ocurre, por ejemplo, si expresamos 1 como
$$1=\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\ddots}}}$$ donde sin embargo la fracción también converge de manera finita a 1, lo que tendría que escribirse como $\displaystyle{1=\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{\ddots}{1+\frac{2}{1+1}}}}}$, de cualquier modo en este caso no hay ambigüedad alguna, ya que $\displaystyle{\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\ddots}}}}$ no puede ser igual a -2, la otra solución de $x=\frac{2}{1+x}$.
La moraleja importante es que toda fracción continua infinita es un número irracional; cualquier representación tentativamente infinita de un número racional debe converger de forma finita. Esto invita a ser cuidadoso cuando se trabaja con fracciones continuas y el infinito. Así pues, para lo dicho anteriormente simplemente se tiene que
$$1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{\ddots}{3-\frac{2}{3-1}}}}\hspace{0.75in}\neq\hspace{0.75in}2=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{\ddots}{3-\frac{2}{3-2}}}}$$
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