Este año, entre el descubrimiento de la partícula compatible con el Higgs y la llegada del Mars Science Laboratory con el rover Curiosity, ha sido uno bastante excitante y que seguro no ha dejado dormir a varios científicos trabajando en dichos asuntos. El amartizaje del Curiosity se espera a las 05:31 UTC (00:31 Ciudad de México) y se puede ver por el Nasa TV, con material a partir las 03:00 UTC.
Marte se encuentra aproximadamente a 10 minutos luz de la Tierra (la luz tarda aprox. este tiempo en viajar de Marte a la Tierra), por lo que todo debe estar perfectamente programado, y de ahí las grandes expectativas de esta hazaña. Entre las misiones a Marte se cuentan las misiones Mariner, las sondas Viking I y II en 1975, luego en 1997 la llamada Mars Pathfinder que llevaría al cutre rover Sojourn, en el 2004 la misión MER con los rovers Spirit y Oportunity, de los cuales sólo Oportunity sigue activo a la fecha y finalmente en 2007 la misión Phoenix, la cual precisamente motivaría de nuevo la búsqueda de compuestos orgánicos en Marte a través del Curiosity, en la cual México tiene un papel relevante con el Dr. Rafael Navarro del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM.Curiosity, Sojourn y Oportunity (Spirit)
Es relevante que el Curiosity es mucho más grande que el Spirit/Oportunity; es prácticamente del tamaño de un Mini Cooper, con una masa de 900kg aproximadamente (puedes ver más datos en Wolfram Alpha). Todo esto hace del trabajo de los ingenieros del Jet Propulsion Laboratory uno loable en gran medida. Para más información de las misiones marcianas, visita http://marsprogram.jpl.nasa.gov/msl/. Sobre la colaboración del Dr. Navarro, visita http://www.nucleares.unam.mx/icn2/images/articulo-Hallazgos1.pdf o la página del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM. También recomiendo el video (que es ya todo un éxito) Curiosity's seven minutes of terror.
Bien, pues intentaré explicar brevemente el principio por el cual se logra hacer llegar una misión a Marte. Con dinámica orbital me refiero precisamente a la determinación de la órbita que debe seguirse para llegar a Marte desde la Tierra. El proceso es más complicado de lo que parece, pues la nave en cuestión podría interactuar gravitacionalmente con varios cuerpos, sin embargo las pequeñas desviaciones que causan pueden ser corregidas fácilmente al momento. Lo que me interesa es describir el proceso más económico (menor gasto energético) para hacer una transferencia interplanetaria, llamado transferencia de Hohmann.
Básicamente una órbita de transferencia de Hohmann sirve para llevar una nave de una órbita menor a una mayor y viceversa que se encuentran sobre un mismo plano. Se asume en general que las órbitas en cuestión son prácticamente circulares (excentricidad muy pequeña). El esquema mostrado es de bastante ayuda y la idea se torna muy simple en una disposición tal de los planetas.
De interés es, entonces, conocer las velocidades de transferencia tanto de ida como de vuelta para la nave. Este es un problema clásico en los primeros cursos de Mecánica en la licenciatura en física o en ingenierías y las matemáticas necesarias son prácticamente de nivel bachillerato. Un detalle es que los cambios de velocidad necesarios se consideran instantáneos en las órbitas de Hohmann, cuando en realidad lleva algún tiempo alcanzarlos.
Walter Hohmann publicó sus resultados en 1925 y las órbitas de Hohmann siguen utilizándose como principio para calcular órbitas de transferencia. En general, los cálculos en la práctica deben realizarse numéricamente y tomando en cuenta muchos factores más, de modo que se tenga una predicción sumamente precisa de las órbitas de transferencia. Las velocidades en el modelo simplista de las órbitas de Hohmann pueden deducirse fácilmente utilizando mecánica clásica con fuerza central y el problema de Kepler (problema de dos cuerpos gravitacional).
Para el lector con una inclinación matemática voraz, simplemente, utilizando un potencial gravitatorio $\displaystyle{U=-\frac{k}{r}}$ y sabiendo que para la energía en una órbita kepleriana cerrada (elipses y circunferencias) de semieje mayor a se cumple $\displaystyle{E=-\frac{k}{2a}}$, se tiene para la nave en la órbita de transferencia
$$E_t=-\frac{k}{2a_t}=-\frac{k}{r_1+r_2}$$ y también debe cumplirse que,
$$E_t=K+U=\frac{1}{2}m{v_{t}}^2-\frac{k}{r_1}$$ donde K es energía cinética, m la masa y ${v_t}$ la velocidad de transferencia de la nave en la órbita; se concluye entonces que
$$v_t=\sqrt{\frac{2k}{mr_1}\left(\frac{r_2}{r_1+r_2}\right)}$$ es la velocidad de transferencia. Sin embargo lo que interesa es el cambio de velocidad desde la Tierra, es decir
$$\Delta{v}=v_t-v_1$$ donde ${v_1}$ es la velocidad de la nave en la Tierra. Y simplemente se ejecuta prácticamente la misma maniobra algebraica, para la energía de la nave en la Tierra
$$E_1=-\frac{k}{2a}=-\frac{k}{2r_1}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{k}{r_1}$$ de donde se sigue que
$$v_1=\sqrt{\frac{k}{mr_1}}$$ Lo análogo puede hacerse de vuelta desde Marte hacia la Tierra. También es de interés, por supuesto, el tiempo que le llevará al satélite llegar a Marte y el cálculo es trivial partiendo de la tercera ley de Kepler:
$$\tau^2\sim{a^3}$$ para el semieje mayor a, y así simplemente se tiene que el tiempo de recorrido es la mitad del periodo,
$$t=\frac{\tau}{2}$$ Bien, pues esta es una de las bases de las transferencias interplanetarias y es la que en general se aprende en las aulas de física e ingeniería. Este tipo de modelos han permitido el comienzo de la historia de la humanidad explorando el espacio exterior, y es cuestión de las nuevas generaciones el llevarla cada vez más lejos, hasta las estrellas más lejanas; otra buena razón para decidirse a estudiar ciencias o una ingeniería.
Marte se encuentra aproximadamente a 10 minutos luz de la Tierra (la luz tarda aprox. este tiempo en viajar de Marte a la Tierra), por lo que todo debe estar perfectamente programado, y de ahí las grandes expectativas de esta hazaña. Entre las misiones a Marte se cuentan las misiones Mariner, las sondas Viking I y II en 1975, luego en 1997 la llamada Mars Pathfinder que llevaría al cutre rover Sojourn, en el 2004 la misión MER con los rovers Spirit y Oportunity, de los cuales sólo Oportunity sigue activo a la fecha y finalmente en 2007 la misión Phoenix, la cual precisamente motivaría de nuevo la búsqueda de compuestos orgánicos en Marte a través del Curiosity, en la cual México tiene un papel relevante con el Dr. Rafael Navarro del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM.Curiosity, Sojourn y Oportunity (Spirit)
Es relevante que el Curiosity es mucho más grande que el Spirit/Oportunity; es prácticamente del tamaño de un Mini Cooper, con una masa de 900kg aproximadamente (puedes ver más datos en Wolfram Alpha). Todo esto hace del trabajo de los ingenieros del Jet Propulsion Laboratory uno loable en gran medida. Para más información de las misiones marcianas, visita http://marsprogram.jpl.nasa.gov/msl/. Sobre la colaboración del Dr. Navarro, visita http://www.nucleares.unam.mx/icn2/images/articulo-Hallazgos1.pdf o la página del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM. También recomiendo el video (que es ya todo un éxito) Curiosity's seven minutes of terror.
Bien, pues intentaré explicar brevemente el principio por el cual se logra hacer llegar una misión a Marte. Con dinámica orbital me refiero precisamente a la determinación de la órbita que debe seguirse para llegar a Marte desde la Tierra. El proceso es más complicado de lo que parece, pues la nave en cuestión podría interactuar gravitacionalmente con varios cuerpos, sin embargo las pequeñas desviaciones que causan pueden ser corregidas fácilmente al momento. Lo que me interesa es describir el proceso más económico (menor gasto energético) para hacer una transferencia interplanetaria, llamado transferencia de Hohmann.
Básicamente una órbita de transferencia de Hohmann sirve para llevar una nave de una órbita menor a una mayor y viceversa que se encuentran sobre un mismo plano. Se asume en general que las órbitas en cuestión son prácticamente circulares (excentricidad muy pequeña). El esquema mostrado es de bastante ayuda y la idea se torna muy simple en una disposición tal de los planetas.
De interés es, entonces, conocer las velocidades de transferencia tanto de ida como de vuelta para la nave. Este es un problema clásico en los primeros cursos de Mecánica en la licenciatura en física o en ingenierías y las matemáticas necesarias son prácticamente de nivel bachillerato. Un detalle es que los cambios de velocidad necesarios se consideran instantáneos en las órbitas de Hohmann, cuando en realidad lleva algún tiempo alcanzarlos.
Walter Hohmann publicó sus resultados en 1925 y las órbitas de Hohmann siguen utilizándose como principio para calcular órbitas de transferencia. En general, los cálculos en la práctica deben realizarse numéricamente y tomando en cuenta muchos factores más, de modo que se tenga una predicción sumamente precisa de las órbitas de transferencia. Las velocidades en el modelo simplista de las órbitas de Hohmann pueden deducirse fácilmente utilizando mecánica clásica con fuerza central y el problema de Kepler (problema de dos cuerpos gravitacional).
Para el lector con una inclinación matemática voraz, simplemente, utilizando un potencial gravitatorio $\displaystyle{U=-\frac{k}{r}}$ y sabiendo que para la energía en una órbita kepleriana cerrada (elipses y circunferencias) de semieje mayor a se cumple $\displaystyle{E=-\frac{k}{2a}}$, se tiene para la nave en la órbita de transferencia
$$E_t=-\frac{k}{2a_t}=-\frac{k}{r_1+r_2}$$ y también debe cumplirse que,
$$E_t=K+U=\frac{1}{2}m{v_{t}}^2-\frac{k}{r_1}$$ donde K es energía cinética, m la masa y ${v_t}$ la velocidad de transferencia de la nave en la órbita; se concluye entonces que
$$v_t=\sqrt{\frac{2k}{mr_1}\left(\frac{r_2}{r_1+r_2}\right)}$$ es la velocidad de transferencia. Sin embargo lo que interesa es el cambio de velocidad desde la Tierra, es decir
$$\Delta{v}=v_t-v_1$$ donde ${v_1}$ es la velocidad de la nave en la Tierra. Y simplemente se ejecuta prácticamente la misma maniobra algebraica, para la energía de la nave en la Tierra
$$E_1=-\frac{k}{2a}=-\frac{k}{2r_1}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{k}{r_1}$$ de donde se sigue que
$$v_1=\sqrt{\frac{k}{mr_1}}$$ Lo análogo puede hacerse de vuelta desde Marte hacia la Tierra. También es de interés, por supuesto, el tiempo que le llevará al satélite llegar a Marte y el cálculo es trivial partiendo de la tercera ley de Kepler:
El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita.Matemáticamente escribimos que
$$\tau^2\sim{a^3}$$ para el semieje mayor a, y así simplemente se tiene que el tiempo de recorrido es la mitad del periodo,
$$t=\frac{\tau}{2}$$ Bien, pues esta es una de las bases de las transferencias interplanetarias y es la que en general se aprende en las aulas de física e ingeniería. Este tipo de modelos han permitido el comienzo de la historia de la humanidad explorando el espacio exterior, y es cuestión de las nuevas generaciones el llevarla cada vez más lejos, hasta las estrellas más lejanas; otra buena razón para decidirse a estudiar ciencias o una ingeniería.
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