Además de trabajar directamente en temas relacionados a mi doctorado, he tenido la oportunidad de ser ayudante en un curso de física nuclear y partículas elementales de último año de licenciatura (aquí son de tres años y luego los alumnos tienen opción de hacer un cuarto año equivalente a una maestría llamado honours) y actualmente en uno de mecánica cuántica y física estadística. Además de recibir un muy buen salario a cambio de ser torturado con calificar tareas y exámenes, el trabajo en sí resulta bastante gratificante y seguido uno termina aprendiendo más o reafirmando mucho mejor lo que sabe.
El día de ayer, uno de aquellos estudiantes que como siempre ocurre, destacan y van mucho más rápido que el resto, me preguntó si la energía en un sistema cuántico podía ser igual a cero. El sistema en cuestión es una partícula cuántica de masa $m$ confinada a un anillo de circunferencia $R$ descrita por el Hamiltoniano
\begin{equation}H=-\frac{\hbar^2}{2mR^2}\frac{d^2}{d\theta^2},\end{equation} y se les da la eigenfunción $\psi_\ell(\theta)=Ae^{i\ell\theta}$. De aquí se determina que $E_\ell=\frac{\ell^2\hbar^2}{2mR^2}$ son los eigenvalores de $H$, y dado que $\psi(0)=\psi(\theta)$, se sigue que $\ell=0,\pm1,\pm2,\ldots$. En principio $\ell$ puede tomar cualquier valor, no afecta en nada a $\psi$ y la densidad de probabilidad es constante, $|\psi|^2=|A|^2=\frac{1}{2\pi R}$.
Este problema es clásico en mecánica clásica 😉 pero nunca había lidiado con él en cuántica. La situación es parecida a la de la partícula en una caja, aunque en ese caso la función de onda se anula y eso hace evidente que el cero en energía debe descartarse; la diferencia precisamente radica en las condiciones de frontera, para la caja la función de onda debe anularse en las paredes, mientras que aquí no hay tales condiciones.
Hasta aquí todo bien, el verdadero problema llega cuando se quiere verificar el principio de incertidumbre; para la partícula en una caja el cero en energía implica cero incertidumbre en el momento lineal $p$ y se viola $\Delta\hat{x}\Delta\hat{p}\geq\hbar/2$. En este caso lo más tentador sería afirmar que $\Delta\hat{L}\Delta\hat{\theta}\geq\hbar/2$ donde $\hat{L}=-i\hbar\frac{d}{d\theta}$ es el operador de momento angular, pero esto deja de ser cierto y en realidad $\Delta\hat{L}\Delta\hat{\theta}\geq0$.
Esto no lo supe contestar de inmediato, ya luego entendí que el problema estaba también en el hecho de que $\theta\in[0,2\pi]$ y $\hat{L}$ debe estar definido sólo en este intervalo. Una discusión sobre cómo corregir esto está en este enlace: Uncertainty Principle in the Ground State of a Rigid Rotor; la respuesta resuelve el problema agregando una delta de Dirac, o equivalentemente modificando la definición de $\hat{\theta}$, mientras que un comentario cita Quantum Mechanics and Quantum Information de Fayngold & Fayngold (con enlace de acceso abierto incluido) en donde se discute el problema en términos del dominio del operador $\hat\theta$, o equivalentemente en el dominio de validez del principio de incertidumbre. Llama la atención que la discusión está en un foro de química, pero al parecer el modelo del anillo puede servir de modelo de juguete para ciertas moléculas o en aplicaciones más específicas.
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