Desde los cursos de matemáticas del bachillerato se habla del factorial, el cual sabemos tiene una definición muy sencilla, ${\forall n\in\mathbb{N}}$:
$$n!=n\cdot{(n-1)}\cdot\ldots\cdot{2}\cdot{1}$$ Generalizando un poco más, y para establecer 0!=1, podemos definirlo con la siguiente relación de recurrencia $\displaystyle{\forall{n}\in\mathbb{Z},n\geq{0}}$:
Sea ${a_n=n!}$, de modo que
$${a_0=1}\\
{a_{n+1}=(n+1)a_n}$$ En cualquier carrera de ciencias o ingeniería es muy común hacer uso del factorial, aparece en muchas formulaciones de utilidad y a veces cuando se quiere modelar o hacer un sistema efectivo, se necesita emplear de forma inteligente, por ejemplo:
$$n!!=\begin{cases}n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot4\cdot2,&\text{si n es par}\\n\cdot (n-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot1,&\text{si n es impar}\end{cases}$$ También por definición tenemos que 0!!=1 y en especial para multifactoriales (-1)!!=1. El doble factorial cumple varias relaciones que he encontrado en las referencias [1], [2] y [3] que resultan bastante interesantes, y son a considerar:
$$\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2n+1}\mathrm{d}\theta =\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$ y
$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!!}=e^{x^{2}/2}$$ De la definición del doble-factorial, se sigue casi inmediatamente la del multifactorial. Podemos decir que el k-factorial de n, que denotaré ${n!^{(k)}}$, es el producto de enteros positivos menores o iguales a n congruentes con ${n\mod{k}}$. Es decir:
$$n!^{(k)}=n\cdot (n-k)\cdot (n-2k)\ldots$$ Donde los factores siempre son enteros mayores a cero. Por ejemplo podemos decir que ${8!!!=8\times{5}\times{2}}$ o que ${11!^{(4)}=11\times{7}\times{3}}$. Ésta por supuesto no es una definición muy rigurosa, pero puedes ahondar en el tema si deseas.
Para finalizar hablaré del subfactorial. En los últimos problemas que he resuelto de Project Euler me he topado con varios problemas que requieren programar combinatorias (o que una buena forma para resolverlos es usando combinatorias) y el factorial ha sido de gran ayuda. Los factoriales nos hablan de todas las formas en que un conjunto de n elementos distintos puede combinarse, que es precisamente n! formas. Ahora supón que no quieres que un elemento ocupe una posición que ya ha ocupado en alguna combinación previa, es decir no quieres que se quede en una misma posición. Pues entonces usas el subfactorial de n.
El subfactorial de n, denotado !n o de preferencia n¡, es el número de permutaciones de n objetos para las que ningún objeto aparece en su posición “natural”. Por ejemplo el conjunto {1,2,3} puede combinarse del modo descrito con las permutaciones {2,1,3}, {3,2,1}, por lo que decimos 3¡=2. Los subfactoriales satisfacen la siguiente relación de recurrencia:
$${n\text{<}=n\cdot(n-1)\text{<}+(-1)^{n}}$$ Por definición, también el subfactorial 0¡=1. Formas para calcular el subfactorial sencillamente, son las siguientes:
$$n\text{<}=\sum_{i=0}^{n} i\text{<}(-1)^{n-i}\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)$$ para ${n\geq{1}}$, donde ${\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)}$ es el coeficiente binomial. Y otra un poco más sencilla es:
$$n\text{<}=\left\lfloor{\frac{n\text{<}+1}{e}}\right\rfloor$$ para ${n\geq{1}}$, donde ${\lfloor{x}\rfloor}$ denota el mayor entero menor que x.
Los subfactoriales se implementan en Mathematica con la instrucción Subfactorial[n]. El comportamiento del subfatorial se puede observar mediante el siguiente gráfico de n¡, con la parte real marcada en color azul y la parte imaginaria en anaranjado.
Para más información sobre estos temas consulta las siguientes ligas:
[1] Weisstein, Eric W. "Double Factorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[2] The Endeavour
[3] Gaussianos
[4]Weisstein, Eric W. "Subfactorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[5]Weisstein, Eric W. "Multifactorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
$$n!=n\cdot{(n-1)}\cdot\ldots\cdot{2}\cdot{1}$$ Generalizando un poco más, y para establecer 0!=1, podemos definirlo con la siguiente relación de recurrencia $\displaystyle{\forall{n}\in\mathbb{Z},n\geq{0}}$:
Sea ${a_n=n!}$, de modo que
$${a_0=1}\\
{a_{n+1}=(n+1)a_n}$$ En cualquier carrera de ciencias o ingeniería es muy común hacer uso del factorial, aparece en muchas formulaciones de utilidad y a veces cuando se quiere modelar o hacer un sistema efectivo, se necesita emplear de forma inteligente, por ejemplo:
- La fórmula de Stirling para aproximación de factoriales grandes: ${n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}$.
- Combinatoria, coeficientes binomiales: ${\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$
- La función Gamma, una generalización más amplia del factorial: ${\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$
$$n!!=\begin{cases}n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot4\cdot2,&\text{si n es par}\\n\cdot (n-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot1,&\text{si n es impar}\end{cases}$$ También por definición tenemos que 0!!=1 y en especial para multifactoriales (-1)!!=1. El doble factorial cumple varias relaciones que he encontrado en las referencias [1], [2] y [3] que resultan bastante interesantes, y son a considerar:
$$\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2n+1}\mathrm{d}\theta =\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$ y
$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!!}=e^{x^{2}/2}$$ De la definición del doble-factorial, se sigue casi inmediatamente la del multifactorial. Podemos decir que el k-factorial de n, que denotaré ${n!^{(k)}}$, es el producto de enteros positivos menores o iguales a n congruentes con ${n\mod{k}}$. Es decir:
$$n!^{(k)}=n\cdot (n-k)\cdot (n-2k)\ldots$$ Donde los factores siempre son enteros mayores a cero. Por ejemplo podemos decir que ${8!!!=8\times{5}\times{2}}$ o que ${11!^{(4)}=11\times{7}\times{3}}$. Ésta por supuesto no es una definición muy rigurosa, pero puedes ahondar en el tema si deseas.
Para finalizar hablaré del subfactorial. En los últimos problemas que he resuelto de Project Euler me he topado con varios problemas que requieren programar combinatorias (o que una buena forma para resolverlos es usando combinatorias) y el factorial ha sido de gran ayuda. Los factoriales nos hablan de todas las formas en que un conjunto de n elementos distintos puede combinarse, que es precisamente n! formas. Ahora supón que no quieres que un elemento ocupe una posición que ya ha ocupado en alguna combinación previa, es decir no quieres que se quede en una misma posición. Pues entonces usas el subfactorial de n.
El subfactorial de n, denotado !n o de preferencia n¡, es el número de permutaciones de n objetos para las que ningún objeto aparece en su posición “natural”. Por ejemplo el conjunto {1,2,3} puede combinarse del modo descrito con las permutaciones {2,1,3}, {3,2,1}, por lo que decimos 3¡=2. Los subfactoriales satisfacen la siguiente relación de recurrencia:
$${n\text{<}=n\cdot(n-1)\text{<}+(-1)^{n}}$$ Por definición, también el subfactorial 0¡=1. Formas para calcular el subfactorial sencillamente, son las siguientes:
$$n\text{<}=\sum_{i=0}^{n} i\text{<}(-1)^{n-i}\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)$$ para ${n\geq{1}}$, donde ${\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)}$ es el coeficiente binomial. Y otra un poco más sencilla es:
$$n\text{<}=\left\lfloor{\frac{n\text{<}+1}{e}}\right\rfloor$$ para ${n\geq{1}}$, donde ${\lfloor{x}\rfloor}$ denota el mayor entero menor que x.
Los subfactoriales se implementan en Mathematica con la instrucción Subfactorial[n]. El comportamiento del subfatorial se puede observar mediante el siguiente gráfico de n¡, con la parte real marcada en color azul y la parte imaginaria en anaranjado.
[1] Weisstein, Eric W. "Double Factorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[2] The Endeavour
[3] Gaussianos
[4]Weisstein, Eric W. "Subfactorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[5]Weisstein, Eric W. "Multifactorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
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