PhD en Australia, colecistectomía y la subaditividad de la entropía de von Neumann

Tres entradas en una 😉 Utiliza la lista expandible. Los dos primeros puntos tienen un carácter más personal pero igual con información que puede resultar útil.

1. PhD en Australia
En alrededor de un mes estaré en Melbourne, Australia para comenzar un PhD en el grupo de información cuántica de la Universidad de Monash (si no muero en la colecistectomía ☹️, ver punto 3). En Inglés, el nombre del grupo es Monash Quantum Information Science o MonQIS, que en el mismo idioma es homónimo de la palabra 'monkeys' que significa changos 🐵

El logo del grupo de información cuántica de la Universidad de Monash
El tema o problema específico que desarrollaré está por definirse pero lo más probable es que se trate de dinámica cuántica no-Markoviana (o al menos es el tema que más me atrae y que constituyó mi propuesta de investigación). Mi asesor principal será Kavan Modi, que aunque es relativamente joven, tiene ya una serie de contribuciones importantes al área.

A finales de la maestría ya estaba seguro de que no quería continuar en temas de altas energías y que me interesaba más la información cuántica o intentar en temas relacionados como teoría de probabilidad, procesos estocásticos, etcétera. Buscando proyectos disponibles encontré un anuncio de la Universidad de Monash sobre baterías cuánticas y decidí intentarlo. Cabe mencionar que no conocía la universidad ni tenía un interés particular por Australia; de cualquier modo todo resultó ser bastante bueno, la universidad, mi potencial supervisor y el país.

El proceso de admisión fue relativamente más sencillo que el de la maestría en Edimburgo, principalmente porque no requerí traducciones ni examen de idioma ni trámites de beca. El primer paso fue contactar al supervisor y—una vez que respondió—acordar una entrevista por Skype, que sí incluyó preguntas técnicas, comenzando por lo más básico—qué es la traza de una matriz cuadrada, cómo se calcula una traza parcial, qué es un producto tensorial, qué es un estado cuántico entrelazado— a otras más elaboradas, de las cuales no supe contestar para qué sirve el criterio de la transpuesta parcial positiva (o de Peres-Horodecki, luego me enteré). Sobreviviendo a la entrevista entonces el supervisor pide cartas de referencia, y una vez recibidas, envía una invitación formal para solicitar admisión a la universidad (sin ésta uno no puede comenzar el proceso). De aquí sigue el proceso estándar: subir documentación y esperar... y luego... seguir esperando.

Un punto importante es que al enviar la solicitud de admisión automáticamente uno es considerado como candidato para obtener apoyo financiero. Los tiempos de mi solicitud fueron:


Octubre	Envío de solicitud
Diciembre	Respuesta de financiamiento
Enero	Respuesta de admisión


Luego de esto ya sólo quedan los trámites estándar de inmigración. A propósito, el proceso de obtención de la visa de estudiante Australiana fue también bastante rápido y sencillo comparado con la gran jodienda de la visa de estudiante de Reino Unido. Quizá lo único pesado es que hay que llenar un formato bastante largo en línea pero luego de eso me dieron solución en algo así como una semana o bien algo como cinco o seis días hábiles. Otro detalle importante para Mexicanos es que la mayoría de vuelos a Australia pasan por Estados Unidos y es requisito (a diferencia de casi el resto de países del mundo) contar con alguna visa aún cuando sólo se vaya a hacer tránsito de algunas horas. La otra opción viable es buscar vuelos que pasen por Canadá (aunque luego hagan más escalas). Un dato curioso es que al parecer es más barato un vuelo México-Canadá-China-Singapur-Australia que uno idéntico sin pasar por Singapur aunque resulte más largo y por ende menos ecológico.

Quizá el proceso me resultó más sencillo porque ya tenía la experiencia de Edimburgo; como sea la larga espera fue el único calvario, intensificado por el hecho de que en el sitio de la universidad se promete dar una respuesta dentro de 6 semanas luego de la solicitud. Además de esto, durante la espera fui rechazado del Doctorado en Probabilidad y Estadística del CIMAT, donde se me dio la opción de hacer antes una especialidad de un año con el fin de regularizarme y poder enfrentar el doctorado. Las opciones que me quedaban eran intentar entrar a algún otro programa en verano, continuar con la propuesta de CIMAT o ya de plano intentar buscar trabajo y establecerme definitivamente en el país.

Como sea, por ahora ya tengo un plan de trabajo para los próximos tres años, luego ya la vida dirá 😎




2. Colecistectomía
Una colecistectomía es una extirpación quirúrgica de la vesícula biliar y el día de mañana me toca someterme a una.

En resumidas cuentas, en el año 2011 se me detectó incidentalmente, en un estudio de ultrasonido, un pólipo de 5mm de diámetro en la vesícula biliar e indicios de lodo vesicular (básicamente pequeños gránulos de bilis), luego hace un par de meses, también incidentalmente, se vio que el pólipo había aumentado su tamaño al doble y que en lugar de gránulos tengo ya pequeñas piedras biliares formadas.

Vale, no soy médico así que no daré mucho detalle, aunque igual aprendí varias cosillas (que de hecho debí haber aprendido desde el bachillerato).

La vesícula biliar es un pequeño órgano con forma de pera alargada que está situado del lado derecho del abdomen a la media altura de las costillas, además de estar adherido al hígado; su función es básicamente guardar una sustancia llamada bilis—producida por el hígado—que permite la digestión de grasas, liberándola una vez que éstas son ingeridas.





En este tan preciso diagrama se observa la vesícula en color verde reteniendo cálculos de bilis


Las causas tanto de los pólipos como de los cálculos biliares al parecer son poco claras y sólo se identifican factores de riesgo como ser mujer, tener sobrepeso u obesidad, tener más de 40 años o la propia genética. Usualmente las piedras y los pólipos están constituidos principalmente por colesterol y triglicéridos.




El trabajo de la vesícula es sencillo pero igual lo puede arruinar


En general, ni el pólipo ni las pequeñas piedras me han manifestado síntomas (directos), aunque en mi caso el mayor problema lo puede representar el pólipo y su crecimiento descontrolado, ya que en un futuro puede convertirse en cáncer, que a su vez puede extenderse a otras zonas. En cuanto a los cálculos, el problema es que éstos pueden salir de la vesícula luego de una comida grasosa (como casi no nos gustan a los Mexicanos) y atorarse en un conducto o en general provocando problemas en otros lados. En mi caso luego de una endoscopía con biopsias se me diagnosticó con gastritis química y esofagitis, básicamente provocadas por la misma bilis. Así que al final todo se vuelve un lío.




De los problemas más graves que pueden causar las piedras biliares está la pancreatitis


Al final igual parece demasiado tener que extirpar a la pobre vesícula pero parece ser lo más sensato, pues luego no parece haber garantía de que los cálculos o el pólipo mismo no regresen, además de que presuntamente los tratamientos para eliminarlos son costosos y elaborados. La colecistectomía más usual hoy en día es la de tipo laparoscópico, que es un procedimiento mínimamente invasivo para acceder a los órganos y hacer las manipulaciones necesarias. Básicamente se hace una serie de incisiones en puntos bien determinados por las que se insertan unos tubos que permiten ver y manipular los órganos.




Diferencia entre colecistectomía laparoscópica y abierta; la segunda actualmente se realiza sólo en casos excepcionales


En YouTube hay vídeos con el procedimiento completo y a mí incluso me entregarán uno con mi cirugía 😎 (tanta emoción!). Un detalle un tanto escalofriante es que usualmente cierran dos conductos (por el que pasa la bilis y una arteria) con unos pequeños clips de titanio y al final éstos se le quedan a uno ahí como si nada 😨 Como sea, espero que todo vaya bien y que pueda llegar sin mayor problema a la land down under para el PhD.




Afortunadamente mi vesícula no será ni linda ni popular, así que no hará falta una colecistectomía inversa 😉

3. Subaditividad de la entropía de von Neumann
Antes de empezar el PhD he estado tratando de aceitar mi cabeza con las cosas básicas que debo saber. Revisando mis notas de mi curso de información cuántica de la maestría di con lo siguiente.

La entropía de von Neumann para un sistema cuántico descrito por una matriz de densidad $\rho$ está definida por \begin{equation}S(\rho)=-\mathrm{tr}(\rho\ln\rho)\end{equation} Al considerar un sistema compuesto $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ descrito por $\rho^{AB}$, se satisface \begin{equation}S(\rho^{AB})\leq{S}(\rho^A)+S(\rho^B)\label{subadd}\end{equation} donde $\rho^A=\mathrm{tr}_B(\rho^{AB})$ y $\rho^B=\mathrm{tr}_A(\rho^{AB})$ son las matrices reducidas. Esto se conoce como propiedad de subaditividad. Para mostrar que $S$ en efecto tiene esta propiedad, antes se puede usar la definición \begin{equation}S(\rho\|\sigma)\equiv-S(\rho)-\mathrm{tr}(\rho\ln\sigma)\end{equation} que satisface $S(\rho\|\sigma)\geq0$, que a su vez se puede mostrar definiendo $\rho=\sum_ip_i|i\rangle\langle{i}|$, $\sigma=\sum_jr_j|j\rangle\langle{j}|$ y llegando luego a que $S(\rho\|\sigma)\geq{D}(p_i\|r_j)=\sum_ip_i\ln\frac{p_i}{r_i}$, donde el lado derecho es entropía condicional clásica (base nat) que se sabe es positiva o nula.

Vale, a lo que voy es que con esto, que implica $S(\rho^{AB}\|\rho^A\otimes\rho^B)\geq0$, se puede decir (o concretamente, se dice en mis notas de la maestría) en una línea que \begin{equation}S(\rho^{AB})\leq-\mathrm{tr}\left[\rho^{AB}\ln(\rho^A\otimes\rho^B)\right]=-\mathrm{tr}\left[\rho^{AB}(\ln\rho^A+\ln\rho^B)\right]=S(\rho^A)+S(\rho^B)\end{equation} y (\ref{subadd}) queda demostrado.

El detalle es que hay varios pasos que no se ven muy claros. Primero, debe ser evidente que \begin{equation}\rho^{AB}(\ln\rho^A+\ln\rho^B)\equiv\rho^{AB}(\ln\rho^A\otimes{I}^B+I^A\otimes\ln\rho^B)\end{equation} donde $I$ son identidades, que es un pasillo inocentón hasta cierto punto, ya que \begin{equation}\ln(\rho^A\otimes\rho^B)=\ln\rho^A\otimes{I}^B+\rho^A\otimes\ln{I}^B+\ln{I}^A\otimes\rho^B+I^A\otimes\ln\rho^B\end{equation} y por supuesto $\ln{I}=0$ dado que $e^0=I$ por definición, además $X\otimes{0}=0\otimes{X}=0$, así que realmente sólo se busca ahorrar notación. Como sea, la última igualdad no parece tan evidente, dado que por definición \begin{equation}S(\rho^A)=\mathrm{tr}_A(\rho^A\ln\rho^A)\end{equation} Vale, la igualdad, explícitamente, se sigue de la siguiente manera: \begin{align}\mathrm{tr}[\rho^{AB}(\ln\rho^A\otimes{I}^B)]&=\mathrm{tr}_A\left\{\mathrm{tr}_B\left[\rho^{AB}(\ln\rho^A\otimes{I}^B)\right]\right\}\label{p1}\\ &=\mathrm{tr}_A\left\{\mathrm{tr}_B\left[\rho^{AB}(I^A\otimes{I}^B)\right]\ln\rho^A\right\}\label{p2}\\ &=\mathrm{tr}_A\left[\mathrm{tr}_B\left(\rho^{AB}\right)\ln\rho^A\right]\\ &=\mathrm{tr}_A(\rho^A\ln\rho^A)\end{align} y de forma similar para $S(\rho^B)$. De aquí los dos pasos importantes son (\ref{p1}) y (\ref{p2}): el primero afirma que \begin{equation}\mathrm{tr}(X^{AB})=\mathrm{tr}_A[\mathrm{tr}_B(X^{AB})]=\mathrm{tr}_B[\mathrm{tr}_A(X^{AB})]\end{equation} y en efecto, si $\{|a_i\rangle\}_A$, $\{|b_j\rangle\}_B$ son bases de $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_B$, respectivamente, se sigue (explícitamente) que \begin{align}\mathrm{tr}(X^{AB})&=\sum_i\sum_j\left(\langle{a}_i|\otimes\langle{b}_j|\right)X^{AB}\left(|a_i\rangle\otimes|b_j\rangle\right)\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_A[\sum_j\left(I^A\otimes\langle{b}_j|\right)X^{AB}\left(I^A\otimes|b_j\rangle\right)]\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_A[\mathrm{tr}_B(X^{AB})]\\ &=\sum_j\sum_i\left(\langle{a}_i|\otimes\langle{b}_j|\right)X^{AB}\left(|a_i\rangle\otimes|b_j\rangle\right)\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_B[\sum_i\left(\langle{a}_i|\otimes{I}^B\right)X^{AB}\left(|a_i\rangle\otimes{I}^B\right)]\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_B[\mathrm{tr}_A(X^{AB})]\end{align} De manera similar, para la segunda, de la misma definición de la traza parcial, \begin{align}\mathrm{tr}_A\{\mathrm{tr}_B\left[X^{AB}(Y^A\otimes{I}^B)\right]\}&=\mathrm{tr}_A\{\sum_j\left[(I^A\otimes\langle{b}_j|)X^{AB}(Y^A\otimes{I}^B)(I^A\otimes|b_j\rangle)\right]\}\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_A\{\sum_j\left[(I^A\otimes\langle{b}_j|)X^{AB}(I^A\otimes|b_j\rangle)\right]Y^A\}\nonumber\\ &=\mathrm{tr}_A\left[\mathrm{tr}_B(X^{AB})Y^A\right]\end{align} que funciona de manera similar con $\mathrm{tr}_B\left\{\mathrm{tr}_A\left[X^{AB}(I^A\otimes{Y}^B)\right]\right\}$.

En efecto esto no se escribe explícitamente la mayoría del tiempo y prácticamente siempre se omiten productos tensoriales con identidades; como sea vale la pena destripar todas estas expresiones si se quiere entender realmente cómo está funcionando todo.