La esencia de la relatividad general es que el espaciotiempo es una variedad cuatrodimensional dotada de una métrica ${g_{\alpha\beta}}$ de signatura de Lorentz (-+++) relacionada con la densidad de materia vía las ecuaciones de Einstein ${G_{\alpha\beta}=8\pi{G}T_{\alpha\beta}}$. Una cuestión vital de la relatividad general es conocer qué solución a las ecuaciones de Einstein corresponde a nuestro universo, o al menos a un modelo idealizado de nuestro universo.
El principio cosmológico declara que en gran escala el universo es isótropo y homogéneo. La principal evidencia para considerar este principio es la estabilidad de la temperatura de la radiación cósmica de fondo o radiación de fondo de microondas (CMB por sus siglas en inglés: cosmic microwave background) medida por el explorador COBE y la sonda WMAP. La forma de obtener el modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o simplemente FLRW, es precisamente aplicar las simetrías de homogeneidad e isotropía a las ecuaciones de Einstein. En seguida se investiga entonces la estructura del espaciotiempo bajo estas condiciones.
Homogeneidad e Isotropía
Otro principio que germinó desde el tiempo de Copérnico es el que dice que no ocupamos (los humanos) una posición privilegiada en nuestro universo, y que si nos moviéramos a alguna otra región del mismo, las características básicas de los alrededores parecerían ser las mismas. Asimismo suele asumirse que no importa en qué dirección miremos, las observaciones a gran escala serán básicamente las mismas. Esto constituye el llamado principio de Copérnico.
Estas ideas son de algún modo hipótesis que se hacen sobre la estructura del universo y corresponden al concepto de homogeneidad e isotropía, respectivamente. Como se menciona en la introducción, estos principios han recibido apoyo por distintas observaciones, lo que las hace un buen candidato de estudio.
Un espaciotiempo ${(\mathscr{M},g)}$ se dice homogéneo si existe una foliación ${\sigma_t}$ de hipersuperficies tipo espacio en un parámetro $t$ tal que para cada $t$ y cualesquiera puntos ${p,q\in\sigma_t}$ existe una isometría $\phi$ tal que ${\phi(p)=q}$. Esto significa que en cualquier instante de tiempo todo punto del espacio debe verse como cualquier otro.
El espaciotiempo ${(\mathscr{M},g)}$ será isótropo si existe una foliación $\alpha$ de curvas congruentes tipo tiempo con vector tangente $u$ tales que para cualquier ${p\in\alpha}$ y cualesquiera vectores tangente unitarios tipo espacio ${v,w\in{T}_p(\mathscr{M})}$ existe una isometría $\varphi$ tal que ${\varphi(p)=p}$, ${\varphi^*(u)=u}$ y ${\varphi^*(v)=w}$. Esto significa que en cualquier punto es imposible construir vectores espaciales preferidos.
Las hipersuperficies homogéneas ${\sigma_t}$ son ortogonales a cada vector $u$, es decir, a las líneas de mundo de los observadores isotrópicos. Véase que isotropía para todos los observadores implica homogeneidad para todos los observadores. Es posible construir universos homogéneos y anisotrópicos pero no universos inhomognéneos e isotrópicos. Un universo isótropo implica que no hay un centro para el universo. Esto es relevante al considerar el origen del universo o Big Bang, pues debido a la isotropía, no hay un punto privilegiado o centro en el cual éste haya ocurrido.
Por supuesto el universo no es exactamente homogéneo; hay irregularidades locales como las estrellas y las galaxias, al referirse a que lo es en gran escala, uno se refiere en un orden de millones de años luz. El principio de Copérnico entonces puede traducirse en que a gran escala el universo es esféricamente simétrico en cada punto.
La métrica FLRW
En 1944 Arthur Geoffrey Walker mostraría que una simetría esférica exacta alrededor de cada punto implicaría que el universo es espacialmente homogéneo y que admitiría un grupo de seis parámetros de isometrías cuyas superficies de transitividad son 3-superficies de curvatura constante ([1]). Tal espacio es el llamado de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o FLRW (algunas personas suelen llamarlo simplemente con un nombre o dos; lo más conveniente parece ser llamarlo simplemente FLRW). Lo que se quiere entonces es determinar las geometrías de las hipersuperficies ${\sigma_t}$ para todo valor $\kappa$ de curvatura. Uno sólo debe preocuparse por curvatura positiva, nula y negativa, que puede describirse por múltiplos de ${\kappa=-1,0,1}$.
Para los respectivos $\kappa$ se tiene una 3-esfera, un 3-plano y un 3-hiperboloide, cuyas métricas (elementos de línea), en coordenadas esféricas, cartesianas e hiperbólicas, respectivamente, son
\begin{equation}d\sigma^2=\begin{cases}d\psi^2+\sin^2\psi\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right),&\text{si}\,\kappa=1,\,\psi\in[0,2\pi)\\
dx^2+dy^2+dz^2,&\text{si}\,\kappa=0\\
d\zeta^2+\sinh^2\zeta\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right),&\text{si}\,\kappa=-1,\,\zeta\in[0,\infty)\end{cases}\end{equation} o bien, en términos de los ángulos polar $\theta$ y azimutal $\phi$,
\begin{equation}d\sigma^2=d\psi^2+\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\begin{cases}\sin^2\psi,&\text{si}\,\kappa=1,\,\psi\in[0,2\pi)\\
\psi^2,&\text{si}\,\kappa=0,\,\psi\in[0,\infty)\\
\sinh^2\psi,&\text{si}\,\kappa=-1,\,\psi\in[0,\infty)\end{cases}\end{equation} que puede escribirse de manera sucinta en términos de la curvatura $\kappa$ como ([2])
\begin{equation}ds^2=\frac{dr^2}{1-\kappa{r}^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\label{1}\end{equation} con los cambios de variable ${r=\sin\psi,\,\psi,\,\sinh\psi}$ para ${\kappa=1,0,-1}$, respectivamente, únicamente restringida en el primer caso con $|r|<1$. En los casos del 3-plano y el 3-hiperboloide, los hiperespacios serán difeomorfos (un difeomorfismo es un equivalente de un isomorfismo pero en variedades diferenciables) a ${\mathbb{R}^3}$ mientras que para las 3-esferas, éstas serán difeomorfas a ${\mathcal{S}^3}$. En el primer caso los espacios son infinitos y las posibilidades para el universo son llamadas universos abiertos, mientras que en el segundo los espacios son compactos, que son finitos y sin frontera, y naturalmente los universos son llamados universos cerrados. De esta manera, al saber que estas soluciones son buenos candidatos para modelar aproximadamente nuestro universo, se abre la pregunta acerca de si el universo es abierto o cerrado.
De aquí entonces para construir la métrica FLRW, se llevan las coordenadas de cada ${\sigma_t}$ a cada una de las otras hipersuperficies por medio de cada observador isótropo (se asignan coordenadas fijas a cada observador) y se dota de un reloj a cada observador isótropo, i.e. se etiqueta cada hipersuperficie por un tiempo propio $\tau$ (también llamado tiempo cósmico), de modo que todo evento en el universo está dado por $\tau$ y las coordenadas espaciales. De este modo entonces la métrica FLRW es
\begin{equation}ds^2=-d\tau^2+a^2(\tau)d\sigma^2\end{equation} donde el factor $a$ es llamado factor de escala (determina la escala total de la métrica espacial) y puede depender de $\tau$.
Las ecuaciones de Friedmann
La métrica entonces es conocida y se puede conocer fácilmente el tensor de energía-momento dada la propiedad de isotropía del universo FLRW, entonces las ecuaciones de Einstein
\begin{equation}G_{\mu\nu}\equiv{R}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi{G}T_{\mu\nu}\end{equation} serán útiles para determinar la evolución dinámica espacial del universo, i.e. el factor de escala ${a(\tau)}$.
La distribución de materia en este caso debe ser también homogénea e isótropa, de modo que el tensor de energía-momento puede modelarse por un fluido perfecto, i.e. un fluido que está completamente especificado por la densidad de energía propia (i.e. en un marco de reposo) $\rho$ y una presión isotrópica propia $p$, i.e.
\begin{equation}T_{\mu\nu}=(p+\rho)u_\mu{u}_\nu+pg_{\mu\nu}\end{equation} donde ${u_\alpha}$ es la 4-velocidad del fluido. Por isotropía, el fluido debe estar en reposo en las coordenadas comóviles (las coordenadas propias de cada punto del fluido), entonces
\begin{equation}u^\mu=(1,\vec{0})\end{equation} y el tensor de energía-momento es de la forma
\begin{equation}T_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\rho&\vec{0}^\mathrm{\,T}\\
\vec{0}&g_{ij}p\end{pmatrix}\label{4}\end{equation} Para calcular las componentes $G_{\alpha\beta}$ lo más sencillo es recurrir a la computadora, siempre que se entienda qué es lo que se está haciendo. Aquí emplearé nuevamente Mathematica. El siguiente código tiene la ventaja de que funcionará para cualquier métrica. Recuérdese que para los símbolos de Christoffel,
\begin{equation}{\Gamma^\rho}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left(\p_{\mu}g_{\sigma\nu}+\p_{\nu}g_{\sigma\mu}-\p_{\sigma}g_{\mu\nu}\right)\end{equation} lo que en Mathematica puede escribirse como una función para la métrica y que trabaje con las coordenadas apropiadas
Luego para el tensor de Riemann, a partir de
\begin{equation}{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\p_\mu{\Gamma^\rho}_{\sigma\nu}-\p_\nu{\Gamma^\rho}_{\sigma\mu}
+{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}{\Gamma^\alpha}_{\sigma\nu}-{\Gamma^\rho}_{\nu\alpha}{\Gamma^\alpha}_{\sigma\mu}\end{equation} de manera análoga,
Y así también, para el tensor de Ricci, sabiendo que
\begin{equation}R_{\mu\nu}={R^\alpha}_{\mu\alpha\nu}\end{equation} de manera análoga,
y finalmente para el escalar de Ricci, ya que
\begin{equation}R={R^\alpha}_\alpha=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\end{equation} de manera análoga
y de este modo se puede calcular fácilmente el tensor ${G_{\alpha\beta}}$. Empleando entonces la métrica FLRW general del elemento (\ref{1}),
\begin{equation}g_{\alpha\beta}=\text{diag}\left(-1,\frac{a^2}{1-\kappa{r}^2},a^2r^2,a^2r^2\sin^2\theta\right)\end{equation} en las coordenadas ${(t,r,\theta,\phi)}$, lo que en Mathematica puede escribirse como
De aquí entonces simplemente puede definirse el tensor de Einstein y evaluarse con la métrica y las coordenadas
de modo que se obtiene que
\begin{align}
G_{00}&=3\frac{\kappa+\dot{a}^2}{a^2}\\
G_{11}&=-\frac{\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}}{1-\kappa{r}^2}\\
G_{22}&=-r^2\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)\\
G_{33}&=-r^2\sin^2\theta\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)
\end{align} con todas las demás componentes nulas. De aquí es evidente que
\begin{align}
{G^0}_0&=g^{0\alpha}G_{\alpha0}=-3\frac{\kappa+\dot{a}^2}{a^2}\\
{G^i}_j\delta^j_i&=g^{i\alpha}G_{\alpha{i}}\delta^j_i=-\frac{1}{a^2}\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)
\end{align} y además de (\ref{4}),
\begin{equation}{T^\mu}_\nu=\text{diag}(-\rho,p,p,p)\end{equation} de modo que resulta conveniente (de forma equivalente, simplemente es más evidente) escribir las ecuaciones de movimiento de Einstein como
\begin{equation}{G^\mu}_\nu=8\pi{G}{T^\mu}_\nu\end{equation} y las ecuaciones de Einstein se reducen a
\begin{align}
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{\kappa}{a^2}&=\frac{8\pi{G}}{3}\rho\label{2}\\
2\frac{\ddot{a}}{a}+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{\kappa}{a^2}&=-8\pi{G}p
\end{align} que a su vez pueden combinarse para producir la ecuación independiente de la curvatura
\begin{equation}\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi{G}}{3}(\rho+3p)\label{3}\end{equation} A (\ref{2}) junto con (\ref{3}) suele llamársele (y en adelante así se hará aquí) las ecuaciones de Friedmann, o algunos autores le llaman ecuación de Friedmann a (\ref{2}) y a (\ref{3}) ecuación de aceleración.
Recuérdese ahora la interpretación de $a$ como un factor que determina la escala total de la métrica espacial. Un resultado impresionante que se sigue de (\ref{3}), es que el universo no es estático dados ${\rho,p>0}$ para la materia ordinaria. Esto significa que el universo está expandiéndose si ${\dot{a}>0}$ o contrayéndose si ${\dot{a}<0}$ y de modo tal que $a$ en el pasado sea más pequeña hasta que en algún momento ${a=0}$ en donde las componentes del tensor de curvatura divergen y se tiene una singularidad. De esto último se sigue la interpretación del Big Bang, misma que es vigente, sin embargo desde hace algunos años se sabe que el universo de hecho se está expandiendo y no contrayendo ([3]).
Es bien conocida la anécdota de que Einstein se incomodó con el resultado de un universo que no es estático e introdujo la constante cosmológica $\Lambda$, misma que luego llamaría su más grande metida de pata. La idea se deshecharía hasta las observaciones hechas en [3]. Las ecuaciones de Einstein con la modificación $\Lambda$ pueden escribirse como
\begin{equation}G_{\mu\nu}+\Lambda{g}_{\mu\nu}=8\pi{G}T_{\mu\nu}\label{5}\end{equation} de donde se siguen soluciones análogas con el término $\Lambda$, lo que puede cambiar el carácter de (\ref{3}). La constante cosmológica seguido se interpreta como una presión negativa (aunque esto disgusta a más de uno, incluyendo cosmólogos) y de hecho puede incluirse por medio de transformaciones de $\rho$ y $p$, por lo que en adelante salvo que se mencione explícitamente, omitiré el carácter positivo de $p$ y $\rho$ y mantendré el tratamiento general.
Véase luego que (\ref{2}) puede escribirse como,
\begin{equation}\rho{a}^3=\frac{3a}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa\right)\end{equation} cuya derivada es
\begin{equation}\dot{\rho}a^3+3a^2\dot{a}\rho=\frac{3\dot{a}}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa+2a\ddot{a}\right)\end{equation} y también por (\ref{3}) se tiene que
\begin{equation}-3a^2\dot{a}p=\frac{3\dot{a}}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa+2a\ddot{a}\right)\end{equation} y entonces se sigue que
\begin{equation}\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+p)=0\label{6}\end{equation} que es la misma ecuación que puede obtenerse por conservación de energía-momento, i.e. resolviendo
\begin{align}\nabla_\mu{T}^{\mu\nu}=\p_\mu{T}^{\mu\nu}+T^{\alpha\nu}\Gamma^{\mu}_{\alpha\mu}=0\end{align} que nuevamente empleando el código escrito en Mathematica puede calcularse fácilmente.
Dos soluciones particulares
En la escala cósmica que aquí se ha referido como gran escala, las galaxias pueden idealizarse como granitos de polvo cuyas velocidades aleatorias son tan pequeñas que la presión de este polvo es despreciable, de modo que
\begin{equation}p=0\end{equation} Sin embargo, además de materia no relativista, el universo contiene radiación electromagnética que ejerce una presión no nula
\begin{equation}p=\frac{\rho}{3}\end{equation} con $\rho$ la densidad de energía (véase e.g. [4]).
Por la ecuación de conservación de energía-momento (\ref{6}), se sigue que para el caso de polvo ${p=0}$,
\begin{equation}\underbrace{\dot{\rho}a^3+3\rho\dot{a}a^2}_{\frac{d}{dt}(\rho{a}^3)}=0\end{equation} es decir
\begin{equation}\rho{a}^3=\text{cte}\end{equation} mientras que para el caso de radiación ${p=\rho/3}$, se sigue de manera análoga, que
\begin{equation}\rho{a}^4=\text{cte}\end{equation} Con esto entonces para el caso de polvo, la ecuación de Friedmann (\ref{2}) se escribe
\begin{equation}\dot{a}^2+\kappa-\frac{\mc{C}_1}{a}=0\label{7}\end{equation} con ${\mc{C}_1\equiv8\pi\rho{a}^3/3}$ una constante. De manera análoga para el caso de radiación se tiene \begin{equation}\dot{a}^2+\kappa-\frac{\mc{C}_2}{a^2}=0\label{8}\end{equation} con ${\mc{C}_2\equiv8\pi\rho{a}^4/3}$ constante.
Consideremos primero el caso plano ${\kappa=0}$. Para el caso de polvo se tiene
\begin{equation}\left(\frac{da}{d\tau}\right)^2=\frac{\mc{C}_1}{a}\end{equation} cuya solución con ${a(0)=0}$ es
\begin{equation}a=\left(\frac{3}{2}\sqrt{\mc{C}_1}\,\tau\right)^{2/3}\end{equation} mientras que para el caso de radiación, de manera análoga, la solución a la respectiva ecuación es
Para el caso esférico ${\kappa=1}$, se tiene, en el caso de polvo ${p=0}$, la ec. de Friedmann,
\begin{equation}\left(\frac{da}{d\tau}\right)^2=\frac{\mc{C}_1}{a}-1\end{equation} es decir,
\begin{equation}\frac{da}{\sqrt{\frac{\mc{C}_1}{a}-1}}=d\tau\end{equation} que puede resolverse introduciendo el tiempo conforme $\eta$ (intento de traducción de conformal time)
\begin{equation}d\eta\equiv\frac{d\tau}{a}\end{equation} cuya interpretación a un tiempo ${t_0}$ es la cantidad de tiempo que le tomaría a un fotón viajar desde nuestra localización hasta la distancia más lejana observable si en ese instante dejara de expandirse el universo en ${t_0}$. Así, se tiene que
\begin{align}
\int{d\eta}&=\int\frac{da}{\sqrt{\mc{C}_1a-a^2}}
\end{align} cuya solución con ${a(\eta=0)=0}$ es
\begin{equation}\eta=\arcsin\left(\frac{2a-\mc{C}_1}{\mc{C}_1}\right)+\frac{1}{2}\pi\end{equation} es decir
\begin{equation}a=\frac{\mc{C}_1}{2}\left(1-\cos\eta\right)\end{equation} y ya que también ${a\,d\eta=d\tau}$, se sigue que con ${\eta(\tau=0)=0}$,
\begin{equation}\tau=\frac{\mc{C}_1}{2}\left(\eta-\sin\eta\right)\end{equation} de modo que se tiene la solución en términos del parámetro de tiempo conforme $\eta$ y puede graficarse con una curva paramétrica. Para el caso de radiación ${p=\rho/3}$, de manera análoga se tienen las soluciones
\begin{align}
a&=\sqrt{\mc{C}_2}\sin\eta\\
\tau&=\sqrt{\mc{C}_2}(1-\cos\eta)
\end{align}
Finalmente en el caso hiperbólico ${\kappa=-1}$, de manera análoga se encuentra la solución en términos del parámetro $\eta$, para el caso de polvo ${p=0}$,
\begin{align}
a&=\frac{\mc{C}_1}{2}(\cosh\eta-1)\\
\tau&=\frac{\mc{C}_1}{2}(\sinh\eta-\eta)
\end{align} y para el caso de radiación ${p=\rho/3}$,
\begin{align}
a&=\mc{C}_2\sinh\eta\\
\tau&=\mc{C}_2(\cosh\eta-1)
\end{align}
En conjunto se tiene el siguiente gráfico para ${a(\tau)}$,
en donde se puede ver cualitativamente el comportamiento de las soluciones para cada $\kappa$. Resalta el hecho de que en ${\kappa=0}$ existen tiempos ${\tau\neq0}$ para los cuales la rapidez de expansión ${\dot{a}}$ cambia de signo y lleva a otro $\tau$ para el cual el factor de escala se anula, llevando al llamado Big Crunch, mientras que para ${\kappa=0,-1}$ el universo sigue expandiéndose para todo $\tau$. De (\ref{7}) y de (\ref{8}), puede graficarse el comportamiento del valor absoluto de la velocidad, que en el caso de ${\kappa=1}$, se tiene
mientras que para ${\kappa=0,-1}$,
donde puede verse que $\displaystyle{\lim_{\tau\to\infty}|\dot{a}|=0}$ para ${\kappa=0}$, mientras que $\displaystyle{\lim_{\tau\to\infty}|\dot{a}|=1}$ para ${\kappa=-1}$.
El universo de Friedmann sigue siendo de los mejores candidatos para modelar el universo en el que vivimos, y sin embargo quedan cuestiones que tomar en cuenta como la constante cosmológica, y otras más que entender, como la materia oscura para poder tener un panorama mucho más completo. Para un universo de Friedmann, en general, dada una ecuación de estado termodinámico ${p=p(\rho)}$ (que podría incluir a la constante cosmológica) y las ecuaciones de Friedmann, queda completamente determinada la evolución del universo.
Parámetro de Hubble $H$
La tasa de expansión del universo está caracterizada por el llamado parámetro de Hubble, definido como
\begin{equation}H=\frac{\dot{a}}{a}\end{equation} en honor a Edwin Hubble. Alrededor del año 1920, Hubble descubrió una relación lineal entre las distancias de las galaxias y su corrimiento al rojo debido a su alejamiento relativo, llamado {velocidad de recesión}. Esta relación velocidad-distancia, seguido llamada la ley de Hubble, se expresa como
\begin{equation}\vec{v}=H\vec{r}\end{equation} con $\vec{v}$ la velocidad de recesión y $\vec{r}=a\vec{x}$ la distancia a una galaxia dada, con $\vec{x}$ la coordenada comóvil. Recientemente ([6]) se ha medido el valor de $H$, encontrándose un valor positivo, implicando que en efecto el universo se está expandiendo. El valor de $H$ en el tiempo presente es llamado constante de Hubble y se denota como ${H_0}$.
Parámetro de densidad $\Omega$
La ecuación de Friedmann (\ref{2}) puede escribirse con el parámetro de Hubble como
\begin{equation}H^2=\frac{8\pi{G}}{3}\rho-\frac{\kappa}{a^2}\end{equation} A partir de esta ecuación, se define la densidad crítica ${\rho_c}$ como aquella que vuelve nula la curvatura, i.e.
\begin{equation}\rho_c\equiv\frac{3H^2}{8\pi{G}}\end{equation} de aquí entonces se define el parámetro de densidad $\Omega$ como
\begin{equation}\Omega\equiv\frac{\rho}{\rho_c}\end{equation} y de este modo se reescribe la ecuación de Friedmann como
\begin{equation}H^2=\frac{8\pi{G}}{3}\rho_c\Omega-\frac{\kappa}{a^2}=H^2\Omega-\frac{\kappa}{a^2}\end{equation} y entonces se sigue que
\begin{equation}\Omega=1+\frac{\kappa}{a^2{H}^2}\end{equation} y de este modo si ${0<\Omega<1}$, se tiene curvatura negativa y un universo abierto, si ${\Omega=1}$, la curvatura es nula, el universo es plano y abierto y finalmente si ${\Omega>1}$ la curvatura es positiva y se tiene un universo cerrado.
Tómese en cuenta que se deben considerar los distintos tipos de materia para un valor total de $\Omega$. Recientemente se ha encontrado un valor aproximado de 1 para $\Omega$ total ([6]), por lo que se piensa que actualmente el universo es aproximadamente plano.
Parámetro de desaceleración $q$
El llamado parámetro de desaceleración es una manera de cuantificar la rapidez de la razón de expansión del universo y se define como
\begin{equation}q\equiv-\frac{a\ddot{a}}{\dot{a}^2}\end{equation} Puede verse que esta cantidad surge de la siguiente manera. Considérese una expansión del factor de escala en serie de Taylor alrededor de un tiempo ${t}$,
\begin{equation}a(\tau)=a(t)+\dot{a}(t)(\tau-t)+\frac{1}{2}\ddot{a}(t)(\tau-t)^2+\ldots\end{equation} y dividiendo sobre ${a(t)}$,
\begin{equation}\frac{a(\tau)}{a(t)}=1+H(\tau-t)+\frac{1}{2}qH^2(\tau-t)^2+\ldots\end{equation} donde $H$ es el parámetro de Hubble introducido anteriormente.
Constante Cosmológica $\Lambda$
Un hecho característico de la relatividad general es que relaciona vía las ecuaciones de Einstein el tensor de energía-momento con el campo gravitacional. En gravitación, a diferencia de la física que no incorpora la gravedad, los valores puntuales de la energía importan, no sólo las diferencias de energía de uno a otro estado, lo que abre la posibilidad de introducir una energía de vacío, i.e. una densidad de energía característica del espacio vacío ([5]).
Para construir el tensor de energía-momento del vacío, lo primero que se pediría es que sea un invariante de Lorentz, de modo que no tenga direcciones privilegiadas. La forma de que esto ocurra es que ${T_{\mu\nu}}$ sea proporcional a la métrica,
\begin{equation}T_{\mu\nu}^{(\text{vac})}\equiv-\rho_{\text{vac}}{g}_{\mu\nu}\end{equation} donde mañosamente se ha escrito la densidad de energía ${-\rho_{\text{vac}}}$ (constante), dado que al comparar con (\ref{4}), puede verse que tenemos que el vacío es un fluido perfecto tal que la presión es igual a la densidad de energía con signo opuesto,
\begin{equation}p_{\text{vac}}=-\rho_{\text{vac}}\end{equation} De aquí entonces al considerar el tensor de energía-momento del vacío, las ecuaciones de Einstein se escriben
\begin{equation}G_{\mu\nu}=8\pi{G}\left(T_{\mu\nu}-\rho_{\text{vac}}g_{\mu\nu}\right)\end{equation} que comparando con la ecuación que incluye la histórica metida de pata $\Lambda$ de Einstein (\ref{5}), se sigue que
\begin{equation}\Lambda\equiv8\pi{G}\rho_{\text{vac}}\end{equation} de modo que los términos constante cosmológica y densidad de energía del vacío son intercambiables. En mecánica cuántica, siendo una teoría sin gravedad, surge este tipo de densidad de energía del vacío como la llamada energía de punto cero, que existe aunque no haya partículas presentes. Aunque a veces se trata a la constante cosmológica como nula, como se ha mencionado, ésta es una de las mejores candidatas para representar a la energía oscura y/o la actual expansión acelerada del universo.
[1] Stephen Hawking & George Ellis,The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, 1975.
[2] José A. Vázquez, Sistemas dinámicos en cosmologías para campo escalar, Tesis de maestría, CINVESTAV, 2007.
[3] Adam G. Riess et. al., Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, arXiv:astro-ph/9805201 (1998).
[4] Leopoldo García-Colín, Introducción a la Termodinámica Clásica, Trillas, 4a ed., 2008.
[5] Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison Wesley, 2004.
[6] Planck Collaboration, Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters, arXiv:1303.5076 [astro-ph.CO] (2013).
El principio cosmológico declara que en gran escala el universo es isótropo y homogéneo. La principal evidencia para considerar este principio es la estabilidad de la temperatura de la radiación cósmica de fondo o radiación de fondo de microondas (CMB por sus siglas en inglés: cosmic microwave background) medida por el explorador COBE y la sonda WMAP. La forma de obtener el modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o simplemente FLRW, es precisamente aplicar las simetrías de homogeneidad e isotropía a las ecuaciones de Einstein. En seguida se investiga entonces la estructura del espaciotiempo bajo estas condiciones.
Homogeneidad e Isotropía
Otro principio que germinó desde el tiempo de Copérnico es el que dice que no ocupamos (los humanos) una posición privilegiada en nuestro universo, y que si nos moviéramos a alguna otra región del mismo, las características básicas de los alrededores parecerían ser las mismas. Asimismo suele asumirse que no importa en qué dirección miremos, las observaciones a gran escala serán básicamente las mismas. Esto constituye el llamado principio de Copérnico.
Estas ideas son de algún modo hipótesis que se hacen sobre la estructura del universo y corresponden al concepto de homogeneidad e isotropía, respectivamente. Como se menciona en la introducción, estos principios han recibido apoyo por distintas observaciones, lo que las hace un buen candidato de estudio.
Un espaciotiempo ${(\mathscr{M},g)}$ se dice homogéneo si existe una foliación ${\sigma_t}$ de hipersuperficies tipo espacio en un parámetro $t$ tal que para cada $t$ y cualesquiera puntos ${p,q\in\sigma_t}$ existe una isometría $\phi$ tal que ${\phi(p)=q}$. Esto significa que en cualquier instante de tiempo todo punto del espacio debe verse como cualquier otro.
El espaciotiempo ${(\mathscr{M},g)}$ será isótropo si existe una foliación $\alpha$ de curvas congruentes tipo tiempo con vector tangente $u$ tales que para cualquier ${p\in\alpha}$ y cualesquiera vectores tangente unitarios tipo espacio ${v,w\in{T}_p(\mathscr{M})}$ existe una isometría $\varphi$ tal que ${\varphi(p)=p}$, ${\varphi^*(u)=u}$ y ${\varphi^*(v)=w}$. Esto significa que en cualquier punto es imposible construir vectores espaciales preferidos.
Las hipersuperficies homogéneas ${\sigma_t}$ son ortogonales a cada vector $u$, es decir, a las líneas de mundo de los observadores isotrópicos. Véase que isotropía para todos los observadores implica homogeneidad para todos los observadores. Es posible construir universos homogéneos y anisotrópicos pero no universos inhomognéneos e isotrópicos. Un universo isótropo implica que no hay un centro para el universo. Esto es relevante al considerar el origen del universo o Big Bang, pues debido a la isotropía, no hay un punto privilegiado o centro en el cual éste haya ocurrido.
Por supuesto el universo no es exactamente homogéneo; hay irregularidades locales como las estrellas y las galaxias, al referirse a que lo es en gran escala, uno se refiere en un orden de millones de años luz. El principio de Copérnico entonces puede traducirse en que a gran escala el universo es esféricamente simétrico en cada punto.
La métrica FLRW
En 1944 Arthur Geoffrey Walker mostraría que una simetría esférica exacta alrededor de cada punto implicaría que el universo es espacialmente homogéneo y que admitiría un grupo de seis parámetros de isometrías cuyas superficies de transitividad son 3-superficies de curvatura constante ([1]). Tal espacio es el llamado de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o FLRW (algunas personas suelen llamarlo simplemente con un nombre o dos; lo más conveniente parece ser llamarlo simplemente FLRW). Lo que se quiere entonces es determinar las geometrías de las hipersuperficies ${\sigma_t}$ para todo valor $\kappa$ de curvatura. Uno sólo debe preocuparse por curvatura positiva, nula y negativa, que puede describirse por múltiplos de ${\kappa=-1,0,1}$.
Para los respectivos $\kappa$ se tiene una 3-esfera, un 3-plano y un 3-hiperboloide, cuyas métricas (elementos de línea), en coordenadas esféricas, cartesianas e hiperbólicas, respectivamente, son
\begin{equation}d\sigma^2=\begin{cases}d\psi^2+\sin^2\psi\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right),&\text{si}\,\kappa=1,\,\psi\in[0,2\pi)\\
dx^2+dy^2+dz^2,&\text{si}\,\kappa=0\\
d\zeta^2+\sinh^2\zeta\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right),&\text{si}\,\kappa=-1,\,\zeta\in[0,\infty)\end{cases}\end{equation} o bien, en términos de los ángulos polar $\theta$ y azimutal $\phi$,
\begin{equation}d\sigma^2=d\psi^2+\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\begin{cases}\sin^2\psi,&\text{si}\,\kappa=1,\,\psi\in[0,2\pi)\\
\psi^2,&\text{si}\,\kappa=0,\,\psi\in[0,\infty)\\
\sinh^2\psi,&\text{si}\,\kappa=-1,\,\psi\in[0,\infty)\end{cases}\end{equation} que puede escribirse de manera sucinta en términos de la curvatura $\kappa$ como ([2])
\begin{equation}ds^2=\frac{dr^2}{1-\kappa{r}^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\label{1}\end{equation} con los cambios de variable ${r=\sin\psi,\,\psi,\,\sinh\psi}$ para ${\kappa=1,0,-1}$, respectivamente, únicamente restringida en el primer caso con $|r|<1$. En los casos del 3-plano y el 3-hiperboloide, los hiperespacios serán difeomorfos (un difeomorfismo es un equivalente de un isomorfismo pero en variedades diferenciables) a ${\mathbb{R}^3}$ mientras que para las 3-esferas, éstas serán difeomorfas a ${\mathcal{S}^3}$. En el primer caso los espacios son infinitos y las posibilidades para el universo son llamadas universos abiertos, mientras que en el segundo los espacios son compactos, que son finitos y sin frontera, y naturalmente los universos son llamados universos cerrados. De esta manera, al saber que estas soluciones son buenos candidatos para modelar aproximadamente nuestro universo, se abre la pregunta acerca de si el universo es abierto o cerrado.
De aquí entonces para construir la métrica FLRW, se llevan las coordenadas de cada ${\sigma_t}$ a cada una de las otras hipersuperficies por medio de cada observador isótropo (se asignan coordenadas fijas a cada observador) y se dota de un reloj a cada observador isótropo, i.e. se etiqueta cada hipersuperficie por un tiempo propio $\tau$ (también llamado tiempo cósmico), de modo que todo evento en el universo está dado por $\tau$ y las coordenadas espaciales. De este modo entonces la métrica FLRW es
\begin{equation}ds^2=-d\tau^2+a^2(\tau)d\sigma^2\end{equation} donde el factor $a$ es llamado factor de escala (determina la escala total de la métrica espacial) y puede depender de $\tau$.
Las ecuaciones de Friedmann
La métrica entonces es conocida y se puede conocer fácilmente el tensor de energía-momento dada la propiedad de isotropía del universo FLRW, entonces las ecuaciones de Einstein
\begin{equation}G_{\mu\nu}\equiv{R}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi{G}T_{\mu\nu}\end{equation} serán útiles para determinar la evolución dinámica espacial del universo, i.e. el factor de escala ${a(\tau)}$.
La distribución de materia en este caso debe ser también homogénea e isótropa, de modo que el tensor de energía-momento puede modelarse por un fluido perfecto, i.e. un fluido que está completamente especificado por la densidad de energía propia (i.e. en un marco de reposo) $\rho$ y una presión isotrópica propia $p$, i.e.
\begin{equation}T_{\mu\nu}=(p+\rho)u_\mu{u}_\nu+pg_{\mu\nu}\end{equation} donde ${u_\alpha}$ es la 4-velocidad del fluido. Por isotropía, el fluido debe estar en reposo en las coordenadas comóviles (las coordenadas propias de cada punto del fluido), entonces
\begin{equation}u^\mu=(1,\vec{0})\end{equation} y el tensor de energía-momento es de la forma
\begin{equation}T_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\rho&\vec{0}^\mathrm{\,T}\\
\vec{0}&g_{ij}p\end{pmatrix}\label{4}\end{equation} Para calcular las componentes $G_{\alpha\beta}$ lo más sencillo es recurrir a la computadora, siempre que se entienda qué es lo que se está haciendo. Aquí emplearé nuevamente Mathematica. El siguiente código tiene la ventaja de que funcionará para cualquier métrica. Recuérdese que para los símbolos de Christoffel,
\begin{equation}{\Gamma^\rho}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left(\p_{\mu}g_{\sigma\nu}+\p_{\nu}g_{\sigma\mu}-\p_{\sigma}g_{\mu\nu}\right)\end{equation} lo que en Mathematica puede escribirse como una función para la métrica y que trabaje con las coordenadas apropiadas
Luego para el tensor de Riemann, a partir de
\begin{equation}{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\p_\mu{\Gamma^\rho}_{\sigma\nu}-\p_\nu{\Gamma^\rho}_{\sigma\mu}
+{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}{\Gamma^\alpha}_{\sigma\nu}-{\Gamma^\rho}_{\nu\alpha}{\Gamma^\alpha}_{\sigma\mu}\end{equation} de manera análoga,
Y así también, para el tensor de Ricci, sabiendo que
\begin{equation}R_{\mu\nu}={R^\alpha}_{\mu\alpha\nu}\end{equation} de manera análoga,
y finalmente para el escalar de Ricci, ya que
\begin{equation}R={R^\alpha}_\alpha=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\end{equation} de manera análoga
y de este modo se puede calcular fácilmente el tensor ${G_{\alpha\beta}}$. Empleando entonces la métrica FLRW general del elemento (\ref{1}),
\begin{equation}g_{\alpha\beta}=\text{diag}\left(-1,\frac{a^2}{1-\kappa{r}^2},a^2r^2,a^2r^2\sin^2\theta\right)\end{equation} en las coordenadas ${(t,r,\theta,\phi)}$, lo que en Mathematica puede escribirse como
De aquí entonces simplemente puede definirse el tensor de Einstein y evaluarse con la métrica y las coordenadas
de modo que se obtiene que
\begin{align}
G_{00}&=3\frac{\kappa+\dot{a}^2}{a^2}\\
G_{11}&=-\frac{\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}}{1-\kappa{r}^2}\\
G_{22}&=-r^2\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)\\
G_{33}&=-r^2\sin^2\theta\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)
\end{align} con todas las demás componentes nulas. De aquí es evidente que
\begin{align}
{G^0}_0&=g^{0\alpha}G_{\alpha0}=-3\frac{\kappa+\dot{a}^2}{a^2}\\
{G^i}_j\delta^j_i&=g^{i\alpha}G_{\alpha{i}}\delta^j_i=-\frac{1}{a^2}\left(\kappa+\dot{a}^2+2a\ddot{a}\right)
\end{align} y además de (\ref{4}),
\begin{equation}{T^\mu}_\nu=\text{diag}(-\rho,p,p,p)\end{equation} de modo que resulta conveniente (de forma equivalente, simplemente es más evidente) escribir las ecuaciones de movimiento de Einstein como
\begin{equation}{G^\mu}_\nu=8\pi{G}{T^\mu}_\nu\end{equation} y las ecuaciones de Einstein se reducen a
\begin{align}
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{\kappa}{a^2}&=\frac{8\pi{G}}{3}\rho\label{2}\\
2\frac{\ddot{a}}{a}+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{\kappa}{a^2}&=-8\pi{G}p
\end{align} que a su vez pueden combinarse para producir la ecuación independiente de la curvatura
\begin{equation}\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi{G}}{3}(\rho+3p)\label{3}\end{equation} A (\ref{2}) junto con (\ref{3}) suele llamársele (y en adelante así se hará aquí) las ecuaciones de Friedmann, o algunos autores le llaman ecuación de Friedmann a (\ref{2}) y a (\ref{3}) ecuación de aceleración.
Recuérdese ahora la interpretación de $a$ como un factor que determina la escala total de la métrica espacial. Un resultado impresionante que se sigue de (\ref{3}), es que el universo no es estático dados ${\rho,p>0}$ para la materia ordinaria. Esto significa que el universo está expandiéndose si ${\dot{a}>0}$ o contrayéndose si ${\dot{a}<0}$ y de modo tal que $a$ en el pasado sea más pequeña hasta que en algún momento ${a=0}$ en donde las componentes del tensor de curvatura divergen y se tiene una singularidad. De esto último se sigue la interpretación del Big Bang, misma que es vigente, sin embargo desde hace algunos años se sabe que el universo de hecho se está expandiendo y no contrayendo ([3]).
Es bien conocida la anécdota de que Einstein se incomodó con el resultado de un universo que no es estático e introdujo la constante cosmológica $\Lambda$, misma que luego llamaría su más grande metida de pata. La idea se deshecharía hasta las observaciones hechas en [3]. Las ecuaciones de Einstein con la modificación $\Lambda$ pueden escribirse como
\begin{equation}G_{\mu\nu}+\Lambda{g}_{\mu\nu}=8\pi{G}T_{\mu\nu}\label{5}\end{equation} de donde se siguen soluciones análogas con el término $\Lambda$, lo que puede cambiar el carácter de (\ref{3}). La constante cosmológica seguido se interpreta como una presión negativa (aunque esto disgusta a más de uno, incluyendo cosmólogos) y de hecho puede incluirse por medio de transformaciones de $\rho$ y $p$, por lo que en adelante salvo que se mencione explícitamente, omitiré el carácter positivo de $p$ y $\rho$ y mantendré el tratamiento general.
Véase luego que (\ref{2}) puede escribirse como,
\begin{equation}\rho{a}^3=\frac{3a}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa\right)\end{equation} cuya derivada es
\begin{equation}\dot{\rho}a^3+3a^2\dot{a}\rho=\frac{3\dot{a}}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa+2a\ddot{a}\right)\end{equation} y también por (\ref{3}) se tiene que
\begin{equation}-3a^2\dot{a}p=\frac{3\dot{a}}{8\pi{G}}\left(\dot{a}^2+\kappa+2a\ddot{a}\right)\end{equation} y entonces se sigue que
\begin{equation}\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+p)=0\label{6}\end{equation} que es la misma ecuación que puede obtenerse por conservación de energía-momento, i.e. resolviendo
\begin{align}\nabla_\mu{T}^{\mu\nu}=\p_\mu{T}^{\mu\nu}+T^{\alpha\nu}\Gamma^{\mu}_{\alpha\mu}=0\end{align} que nuevamente empleando el código escrito en Mathematica puede calcularse fácilmente.
Dos soluciones particulares
En la escala cósmica que aquí se ha referido como gran escala, las galaxias pueden idealizarse como granitos de polvo cuyas velocidades aleatorias son tan pequeñas que la presión de este polvo es despreciable, de modo que
\begin{equation}p=0\end{equation} Sin embargo, además de materia no relativista, el universo contiene radiación electromagnética que ejerce una presión no nula
\begin{equation}p=\frac{\rho}{3}\end{equation} con $\rho$ la densidad de energía (véase e.g. [4]).
Por la ecuación de conservación de energía-momento (\ref{6}), se sigue que para el caso de polvo ${p=0}$,
\begin{equation}\underbrace{\dot{\rho}a^3+3\rho\dot{a}a^2}_{\frac{d}{dt}(\rho{a}^3)}=0\end{equation} es decir
\begin{equation}\rho{a}^3=\text{cte}\end{equation} mientras que para el caso de radiación ${p=\rho/3}$, se sigue de manera análoga, que
\begin{equation}\rho{a}^4=\text{cte}\end{equation} Con esto entonces para el caso de polvo, la ecuación de Friedmann (\ref{2}) se escribe
\begin{equation}\dot{a}^2+\kappa-\frac{\mc{C}_1}{a}=0\label{7}\end{equation} con ${\mc{C}_1\equiv8\pi\rho{a}^3/3}$ una constante. De manera análoga para el caso de radiación se tiene \begin{equation}\dot{a}^2+\kappa-\frac{\mc{C}_2}{a^2}=0\label{8}\end{equation} con ${\mc{C}_2\equiv8\pi\rho{a}^4/3}$ constante.
Consideremos primero el caso plano ${\kappa=0}$. Para el caso de polvo se tiene
\begin{equation}\left(\frac{da}{d\tau}\right)^2=\frac{\mc{C}_1}{a}\end{equation} cuya solución con ${a(0)=0}$ es
\begin{equation}a=\left(\frac{3}{2}\sqrt{\mc{C}_1}\,\tau\right)^{2/3}\end{equation} mientras que para el caso de radiación, de manera análoga, la solución a la respectiva ecuación es
Para el caso esférico ${\kappa=1}$, se tiene, en el caso de polvo ${p=0}$, la ec. de Friedmann,
\begin{equation}\left(\frac{da}{d\tau}\right)^2=\frac{\mc{C}_1}{a}-1\end{equation} es decir,
\begin{equation}\frac{da}{\sqrt{\frac{\mc{C}_1}{a}-1}}=d\tau\end{equation} que puede resolverse introduciendo el tiempo conforme $\eta$ (intento de traducción de conformal time)
\begin{equation}d\eta\equiv\frac{d\tau}{a}\end{equation} cuya interpretación a un tiempo ${t_0}$ es la cantidad de tiempo que le tomaría a un fotón viajar desde nuestra localización hasta la distancia más lejana observable si en ese instante dejara de expandirse el universo en ${t_0}$. Así, se tiene que
\begin{align}
\int{d\eta}&=\int\frac{da}{\sqrt{\mc{C}_1a-a^2}}
\end{align} cuya solución con ${a(\eta=0)=0}$ es
\begin{equation}\eta=\arcsin\left(\frac{2a-\mc{C}_1}{\mc{C}_1}\right)+\frac{1}{2}\pi\end{equation} es decir
\begin{equation}a=\frac{\mc{C}_1}{2}\left(1-\cos\eta\right)\end{equation} y ya que también ${a\,d\eta=d\tau}$, se sigue que con ${\eta(\tau=0)=0}$,
\begin{equation}\tau=\frac{\mc{C}_1}{2}\left(\eta-\sin\eta\right)\end{equation} de modo que se tiene la solución en términos del parámetro de tiempo conforme $\eta$ y puede graficarse con una curva paramétrica. Para el caso de radiación ${p=\rho/3}$, de manera análoga se tienen las soluciones
\begin{align}
a&=\sqrt{\mc{C}_2}\sin\eta\\
\tau&=\sqrt{\mc{C}_2}(1-\cos\eta)
\end{align}
Finalmente en el caso hiperbólico ${\kappa=-1}$, de manera análoga se encuentra la solución en términos del parámetro $\eta$, para el caso de polvo ${p=0}$,
\begin{align}
a&=\frac{\mc{C}_1}{2}(\cosh\eta-1)\\
\tau&=\frac{\mc{C}_1}{2}(\sinh\eta-\eta)
\end{align} y para el caso de radiación ${p=\rho/3}$,
\begin{align}
a&=\mc{C}_2\sinh\eta\\
\tau&=\mc{C}_2(\cosh\eta-1)
\end{align}
En conjunto se tiene el siguiente gráfico para ${a(\tau)}$,
en donde se puede ver cualitativamente el comportamiento de las soluciones para cada $\kappa$. Resalta el hecho de que en ${\kappa=0}$ existen tiempos ${\tau\neq0}$ para los cuales la rapidez de expansión ${\dot{a}}$ cambia de signo y lleva a otro $\tau$ para el cual el factor de escala se anula, llevando al llamado Big Crunch, mientras que para ${\kappa=0,-1}$ el universo sigue expandiéndose para todo $\tau$. De (\ref{7}) y de (\ref{8}), puede graficarse el comportamiento del valor absoluto de la velocidad, que en el caso de ${\kappa=1}$, se tiene
mientras que para ${\kappa=0,-1}$,
donde puede verse que $\displaystyle{\lim_{\tau\to\infty}|\dot{a}|=0}$ para ${\kappa=0}$, mientras que $\displaystyle{\lim_{\tau\to\infty}|\dot{a}|=1}$ para ${\kappa=-1}$.
El universo de Friedmann sigue siendo de los mejores candidatos para modelar el universo en el que vivimos, y sin embargo quedan cuestiones que tomar en cuenta como la constante cosmológica, y otras más que entender, como la materia oscura para poder tener un panorama mucho más completo. Para un universo de Friedmann, en general, dada una ecuación de estado termodinámico ${p=p(\rho)}$ (que podría incluir a la constante cosmológica) y las ecuaciones de Friedmann, queda completamente determinada la evolución del universo.
Parámetro de Hubble $H$
La tasa de expansión del universo está caracterizada por el llamado parámetro de Hubble, definido como
\begin{equation}H=\frac{\dot{a}}{a}\end{equation} en honor a Edwin Hubble. Alrededor del año 1920, Hubble descubrió una relación lineal entre las distancias de las galaxias y su corrimiento al rojo debido a su alejamiento relativo, llamado {velocidad de recesión}. Esta relación velocidad-distancia, seguido llamada la ley de Hubble, se expresa como
\begin{equation}\vec{v}=H\vec{r}\end{equation} con $\vec{v}$ la velocidad de recesión y $\vec{r}=a\vec{x}$ la distancia a una galaxia dada, con $\vec{x}$ la coordenada comóvil. Recientemente ([6]) se ha medido el valor de $H$, encontrándose un valor positivo, implicando que en efecto el universo se está expandiendo. El valor de $H$ en el tiempo presente es llamado constante de Hubble y se denota como ${H_0}$.
Parámetro de densidad $\Omega$
La ecuación de Friedmann (\ref{2}) puede escribirse con el parámetro de Hubble como
\begin{equation}H^2=\frac{8\pi{G}}{3}\rho-\frac{\kappa}{a^2}\end{equation} A partir de esta ecuación, se define la densidad crítica ${\rho_c}$ como aquella que vuelve nula la curvatura, i.e.
\begin{equation}\rho_c\equiv\frac{3H^2}{8\pi{G}}\end{equation} de aquí entonces se define el parámetro de densidad $\Omega$ como
\begin{equation}\Omega\equiv\frac{\rho}{\rho_c}\end{equation} y de este modo se reescribe la ecuación de Friedmann como
\begin{equation}H^2=\frac{8\pi{G}}{3}\rho_c\Omega-\frac{\kappa}{a^2}=H^2\Omega-\frac{\kappa}{a^2}\end{equation} y entonces se sigue que
\begin{equation}\Omega=1+\frac{\kappa}{a^2{H}^2}\end{equation} y de este modo si ${0<\Omega<1}$, se tiene curvatura negativa y un universo abierto, si ${\Omega=1}$, la curvatura es nula, el universo es plano y abierto y finalmente si ${\Omega>1}$ la curvatura es positiva y se tiene un universo cerrado.
Tómese en cuenta que se deben considerar los distintos tipos de materia para un valor total de $\Omega$. Recientemente se ha encontrado un valor aproximado de 1 para $\Omega$ total ([6]), por lo que se piensa que actualmente el universo es aproximadamente plano.
Parámetro de desaceleración $q$
El llamado parámetro de desaceleración es una manera de cuantificar la rapidez de la razón de expansión del universo y se define como
\begin{equation}q\equiv-\frac{a\ddot{a}}{\dot{a}^2}\end{equation} Puede verse que esta cantidad surge de la siguiente manera. Considérese una expansión del factor de escala en serie de Taylor alrededor de un tiempo ${t}$,
\begin{equation}a(\tau)=a(t)+\dot{a}(t)(\tau-t)+\frac{1}{2}\ddot{a}(t)(\tau-t)^2+\ldots\end{equation} y dividiendo sobre ${a(t)}$,
\begin{equation}\frac{a(\tau)}{a(t)}=1+H(\tau-t)+\frac{1}{2}qH^2(\tau-t)^2+\ldots\end{equation} donde $H$ es el parámetro de Hubble introducido anteriormente.
Constante Cosmológica $\Lambda$
Un hecho característico de la relatividad general es que relaciona vía las ecuaciones de Einstein el tensor de energía-momento con el campo gravitacional. En gravitación, a diferencia de la física que no incorpora la gravedad, los valores puntuales de la energía importan, no sólo las diferencias de energía de uno a otro estado, lo que abre la posibilidad de introducir una energía de vacío, i.e. una densidad de energía característica del espacio vacío ([5]).
Para construir el tensor de energía-momento del vacío, lo primero que se pediría es que sea un invariante de Lorentz, de modo que no tenga direcciones privilegiadas. La forma de que esto ocurra es que ${T_{\mu\nu}}$ sea proporcional a la métrica,
\begin{equation}T_{\mu\nu}^{(\text{vac})}\equiv-\rho_{\text{vac}}{g}_{\mu\nu}\end{equation} donde mañosamente se ha escrito la densidad de energía ${-\rho_{\text{vac}}}$ (constante), dado que al comparar con (\ref{4}), puede verse que tenemos que el vacío es un fluido perfecto tal que la presión es igual a la densidad de energía con signo opuesto,
\begin{equation}p_{\text{vac}}=-\rho_{\text{vac}}\end{equation} De aquí entonces al considerar el tensor de energía-momento del vacío, las ecuaciones de Einstein se escriben
\begin{equation}G_{\mu\nu}=8\pi{G}\left(T_{\mu\nu}-\rho_{\text{vac}}g_{\mu\nu}\right)\end{equation} que comparando con la ecuación que incluye la histórica metida de pata $\Lambda$ de Einstein (\ref{5}), se sigue que
\begin{equation}\Lambda\equiv8\pi{G}\rho_{\text{vac}}\end{equation} de modo que los términos constante cosmológica y densidad de energía del vacío son intercambiables. En mecánica cuántica, siendo una teoría sin gravedad, surge este tipo de densidad de energía del vacío como la llamada energía de punto cero, que existe aunque no haya partículas presentes. Aunque a veces se trata a la constante cosmológica como nula, como se ha mencionado, ésta es una de las mejores candidatas para representar a la energía oscura y/o la actual expansión acelerada del universo.
[1] Stephen Hawking & George Ellis,The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, 1975.
[2] José A. Vázquez, Sistemas dinámicos en cosmologías para campo escalar, Tesis de maestría, CINVESTAV, 2007.
[3] Adam G. Riess et. al., Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, arXiv:astro-ph/9805201 (1998).
[4] Leopoldo García-Colín, Introducción a la Termodinámica Clásica, Trillas, 4a ed., 2008.
[5] Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison Wesley, 2004.
[6] Planck Collaboration, Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters, arXiv:1303.5076 [astro-ph.CO] (2013).
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